🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs kosinüs ile ilgili sorular Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs kosinüs ile ilgili sorular Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle B = 90^\circ \). \( |AB| = 6 \) birim ve \( |BC| = 8 \) birim olduğuna göre, \( \sin A \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Öncelikle üçgenin hipotenüsünü Pisagor teoremi ile bulalım: \( |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \).
- \( |AC|^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \).
- Bu durumda \( |AC| = \sqrt{100} = 10 \) birim olur.
- Sinüs tanımına göre, bir açının sinüsü, karşı dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
- \( \sin A = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{8}{10} \).
- Sadeleştirirsek, \( \sin A = \frac{4}{5} \) bulunur. ✅
Örnek 2:
Bir ABC dik üçgeninde, \( \angle C = 90^\circ \). \( |AC| = 5 \) birim ve \( |BC| = 12 \) birim olduğuna göre, \( \cos B \) değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
- Öncelikle üçgenin hipotenüsünü Pisagor teoremi ile bulalım: \( |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 \).
- \( |AB|^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \).
- Bu durumda \( |AB| = \sqrt{169} = 13 \) birim olur.
- Kosinüs tanımına göre, bir açının kosinüsü, komşu dik kenarın hipotenüse oranına eşittir.
- A açısı için komşu dik kenar \( |AC| \), B açısı için komşu dik kenar \( |BC| \) dir.
- \( \cos B = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{12}{13} \) bulunur. ✅
Örnek 3:
Birim çember üzerinde \( P(x, y) \) noktası veriliyor. Eğer bu noktanın x-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı \( \theta \) ise, \( \cos \theta \) ve \( \sin \theta \) değerleri bu noktanın koordinatları ile nasıl ifade edilir? 📌
Çözüm:
- Birim çember, merkezi orijinde (0,0) olan ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir.
- Birim çember üzerindeki bir \( P(x, y) \) noktasının koordinatları, bu noktadan x-ekseni ile pozitif yönde yapılan \( \theta \) açısının trigonometrik değerleriyle doğrudan ilişkilidir.
- Bu ilişkiye göre: \( x = \cos \theta \) ve \( y = \sin \theta \) olur.
- Dolayısıyla, \( P(\cos \theta, \sin \theta) \) şeklinde ifade edilir. 👉
Örnek 4:
\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) olduğuna göre, \( \cos \alpha \) değerini bulunuz. ( \( \alpha \) dar açı kabul edilecektir.) 💡
Çözüm:
- Temel trigonometrik özdeşliklerden biri \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) dir.
- Verilen \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \) değerini bu özdeşlikte yerine koyalım: \( (\frac{3}{5})^2 + \cos^2 \alpha = 1 \).
- \( \frac{9}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \).
- \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} \).
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5} \).
- Soruda \( \alpha \) açısının dar açı olduğu belirtildiği için (0 ile 90 derece arası), kosinüs değeri pozitif olacaktır.
- Bu nedenle, \( \cos \alpha = \frac{4}{5} \) bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir parkta bulunan iki ağaç arasındaki mesafe 10 metredir. Birinci ağacın tepesinden ikinci ağacın tepesine bakıldığında oluşan yükseliş açısı \( 30^\circ \) dir. İkinci ağacın tepesinden birinci ağacın tepesine bakıldığında oluşan alçalış açısı da \( 30^\circ \) dir. Bu iki ağacın boyları arasındaki fark kaç metredir? (Ağaçların dik olduğu varsayılacaktır.) 🌳
Çözüm:
- Soruda verilen bilgilerle, iki ağaç ve aralarındaki mesafe ile oluşan dik üçgenleri düşünebiliriz.
- Birinci ağacın boyu \( h_1 \), ikinci ağacın boyu \( h_2 \) olsun. Ağaçlar arasındaki mesafe 10 metredir.
- Birinci ağacın tepesinden ikinci ağacın tepesine bakıldığında oluşan yükseliş açısı \( 30^\circ \) ise, bu durum birinci ağacın boyunun, ikinci ağacın boyundan kısa olduğunu gösterir.
- Oluşan dik üçgende, karşı kenar \( |h_2 - h_1| \) ve komşu kenar 10 metredir.
- \( \tan 30^\circ = \frac{|h_2 - h_1|}{10} \).
- \( \tan 30^\circ \) değerinin \( \frac{1}{\sqrt{3}} \) olduğunu biliyoruz.
- \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{|h_2 - h_1|}{10} \).
- Bu durumda, ağaçların boyları arasındaki fark \( |h_2 - h_1| = \frac{10}{\sqrt{3}} \) metredir.
- Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{3} \) ile çarparsak: \( |h_2 - h_1| = \frac{10\sqrt{3}}{3} \) metre bulunur. 👉
Örnek 6:
Bir deniz fenerinin tepesinden, denizde ilerleyen bir gemiye bakılıyor. Deniz fenerinin yüksekliği 50 metre ve gemiden deniz fenerinin tepesine bakıldığında oluşan yükseliş açısı \( 45^\circ \) dir. Gemi, deniz fenerinden kaç metre uzaktadır? 🚢
Çözüm:
- Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz.
- Deniz fenerinin yüksekliği karşı dik kenar (50 metre), geminin deniz fenerine olan uzaklığı ise komşu dik kenardır.
- Oluşan yükseliş açısı \( 45^\circ \) dir.
- Trigonometride tanjant fonksiyonu, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranını verir: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- Burada \( \tan 45^\circ = \frac{50}{\text{gemi uzaklığı}} \).
- \( \tan 45^\circ \) değerinin 1 olduğunu biliyoruz.
- \( 1 = \frac{50}{\text{gemi uzaklığı}} \).
- Bu durumda geminin deniz fenerinden uzaklığı 50 metre olur. ✅
Örnek 7:
\( \sin x = \frac{1}{3} \) ve \( \cos y = \frac{1}{2} \) olduğuna göre, \( \sin(x+y) \) değerini hesaplayınız. ( \( x \) ve \( y \) dar açılardır.) 💡
Çözüm:
- \( \sin(x+y) \) formülü \( \sin x \cos y + \cos x \sin y \) şeklindedir.
- Verilenler: \( \sin x = \frac{1}{3} \) ve \( \cos y = \frac{1}{2} \).
- Şimdi \( \cos x \) ve \( \sin y \) değerlerini bulmamız gerekiyor.
- \( x \) dar açı olduğu için \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) özdeşliğinden: \( (\frac{1}{3})^2 + \cos^2 x = 1 \).
- \( \frac{1}{9} + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \).
- \( x \) dar açı olduğundan \( \cos x = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \).
- \( y \) dar açı olduğu için \( \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \) özdeşliğinden: \( \sin^2 y + (\frac{1}{2})^2 = 1 \).
- \( \sin^2 y + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow \sin^2 y = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
- \( y \) dar açı olduğundan \( \sin y = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Şimdi \( \sin(x+y) \) formülünde değerleri yerine koyalım:
- \( \sin(x+y) = (\frac{1}{3})(\frac{1}{2}) + (\frac{2\sqrt{2}}{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) \).
- \( \sin(x+y) = \frac{1}{6} + \frac{2\sqrt{6}}{6} \).
- \( \sin(x+y) = \frac{1 + 2\sqrt{6}}{6} \) bulunur. ✅
Örnek 8:
Bir yamaç paraşütü pilotu, yerden 800 metre yükseklikte süzülmektedir. Pilot, yamaçtaki bir noktaya iniş yapmayı planlıyor. Eğer pilotun görüş açısı ile yamaç arasındaki açı \( 60^\circ \) ise, pilotun iniş yapacağı nokta yamaç boyunca kaç metre ileridedir? (Yamaç eğiminin sabit olduğu ve pilotun düz bir çizgide ilerlediği varsayılacaktır.) 🪂
Çözüm:
- Bu problemi bir dik üçgen ile modelleyebiliriz.
- Pilotun yüksekliği (800 metre) dik üçgenin karşı dik kenarıdır.
- Pilotun iniş yapacağı noktanın yamaç boyunca olan mesafesi ise komşu dik kenardır.
- Görüş açısı ile yamaç arasındaki açı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
- Tanjant fonksiyonunu kullanarak bu mesafeyi bulabiliriz: \( \tan(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{komşu dik kenar}} \).
- Burada \( \tan 60^\circ = \frac{800}{\text{mesafe}} \).
- \( \tan 60^\circ \) değerinin \( \sqrt{3} \) olduğunu biliyoruz.
- \( \sqrt{3} = \frac{800}{\text{mesafe}} \).
- Bu durumda iniş yapılacak noktanın yamaç boyunca mesafesi \( \text{mesafe} = \frac{800}{\sqrt{3}} \) metredir.
- Paydayı rasyonel hale getirmek için \( \sqrt{3} \) ile çarparsak: \( \text{mesafe} = \frac{800\sqrt{3}}{3} \) metre bulunur. 👉
Örnek 9:
\( \cos \theta = -\frac{1}{2} \) olduğuna göre, \( \sin \theta \) değerini bulunuz. ( \( \theta \) ikinci bölgede bir açıdır.) 💡
Çözüm:
- Temel trigonometrik özdeşlik \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \) kullanılır.
- Verilen \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \) değerini yerine koyalım: \( \sin^2 \theta + (-\frac{1}{2})^2 = 1 \).
- \( \sin^2 \theta + \frac{1}{4} = 1 \).
- \( \sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
- Her iki tarafın karekökünü alırsak: \( \sin \theta = \pm \sqrt{\frac{3}{4}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Soruda \( \theta \) açısının ikinci bölgede olduğu belirtilmiştir. İkinci bölgede sinüs değeri pozitiftir.
- Bu nedenle, \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) bulunur. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-kosinus-ile-ilgili-sorular/sorular