🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs cosinüs teoremi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs cosinüs teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( a = 6 \) cm, \( b = 8 \) cm ve \( C \) açısı \( 60^\circ \) olarak veriliyor. Bu üçgenin \( c \) kenar uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu problemi çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Kosinüs Teoremi formülü şöyledir: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:
Formülde yerine koyarsak:
\( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos(60^\circ) \)
\( c^2 = 36 + 64 - 2 \times 48 \times \frac{1}{2} \)
\( c^2 = 100 - 48 \)
\( c^2 = 52 \)
Her iki tarafın karekökünü alırsak:
\( c = \sqrt{52} \)
\( c = \sqrt{4 \times 13} \)
\( c = 2\sqrt{13} \) cm olarak bulunur. ✅
Kosinüs Teoremi formülü şöyledir: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:
- \( a = 6 \)
- \( b = 8 \)
- \( C = 60^\circ \)
Formülde yerine koyarsak:
\( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos(60^\circ) \)
\( c^2 = 36 + 64 - 2 \times 48 \times \frac{1}{2} \)
\( c^2 = 100 - 48 \)
\( c^2 = 52 \)
Her iki tarafın karekökünü alırsak:
\( c = \sqrt{52} \)
\( c = \sqrt{4 \times 13} \)
\( c = 2\sqrt{13} \) cm olarak bulunur. ✅
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( a = 5 \) cm, \( b = 7 \) cm ve \( c = 8 \) cm olarak veriliyor. \( A \) açısının kosinüsünü bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu soruda Kosinüs Teoremi'nin \( a \) kenarına göre düzenlenmiş halini kullanacağız.
Formül: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Verilen değerler:
\( 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos(A) \)
\( 25 = 49 + 64 - 112 \cos(A) \)
\( 25 = 113 - 112 \cos(A) \)
Şimdi \( \cos(A) \) terimini yalnız bırakalım:
\( 112 \cos(A) = 113 - 25 \)
\( 112 \cos(A) = 88 \)
\( \cos(A) = \frac{88}{112} \)
Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 8'e bölelim):
\( \cos(A) = \frac{11}{14} \) olarak bulunur. 👉
Formül: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Verilen değerler:
- \( a = 5 \)
- \( b = 7 \)
- \( c = 8 \)
\( 5^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos(A) \)
\( 25 = 49 + 64 - 112 \cos(A) \)
\( 25 = 113 - 112 \cos(A) \)
Şimdi \( \cos(A) \) terimini yalnız bırakalım:
\( 112 \cos(A) = 113 - 25 \)
\( 112 \cos(A) = 88 \)
\( \cos(A) = \frac{88}{112} \)
Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 8'e bölelim):
\( \cos(A) = \frac{11}{14} \) olarak bulunur. 👉
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( A = 45^\circ \), \( B = 60^\circ \) ve \( a = 10 \) cm olarak veriliyor. \( b \) kenar uzunluğunu bulunuz. 📐
Çözüm:
Bu problemde Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Sinüs Teoremi şöyledir: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
Verilenler:
Sinüs Teoremi'nin ilgili kısmını kullanalım:
\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Değerleri yerine koyalım:
\( \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \)
\( \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
\( \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \)
Şimdi \( b \) için çözelim:
\( b = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2 \times \sqrt{2}} \)
\( b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletelim:
\( b = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( b = \frac{10\sqrt{6}}{2} \)
\( b = 5\sqrt{6} \) cm olarak bulunur. 🚀
Sinüs Teoremi şöyledir: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
Verilenler:
- \( A = 45^\circ \)
- \( B = 60^\circ \)
- \( a = 10 \) cm
Sinüs Teoremi'nin ilgili kısmını kullanalım:
\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Değerleri yerine koyalım:
\( \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \)
\( \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \)
\( \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \)
Şimdi \( b \) için çözelim:
\( b = \frac{20 \times \sqrt{3}}{2 \times \sqrt{2}} \)
\( b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \)
Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletelim:
\( b = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \)
\( b = \frac{10\sqrt{6}}{2} \)
\( b = 5\sqrt{6} \) cm olarak bulunur. 🚀
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( a = 7 \) cm, \( b = 5 \) cm ve \( A = 30^\circ \) olarak veriliyor. \( \sin(B) \) değerini bulunuz. 🧐
Çözüm:
Yine Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Formül: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Verilenler:
Değerleri formülde yerine koyalım:
\( \frac{7}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\sin(B)} \)
\( \frac{7}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\sin(B)} \)
\( 14 = \frac{5}{\sin(B)} \)
Şimdi \( \sin(B) \) için çözelim:
\( \sin(B) = \frac{5}{14} \) olarak bulunur. ✅
Formül: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Verilenler:
- \( a = 7 \) cm
- \( b = 5 \) cm
- \( A = 30^\circ \)
Değerleri formülde yerine koyalım:
\( \frac{7}{\sin(30^\circ)} = \frac{5}{\sin(B)} \)
\( \frac{7}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\sin(B)} \)
\( 14 = \frac{5}{\sin(B)} \)
Şimdi \( \sin(B) \) için çözelim:
\( \sin(B) = \frac{5}{14} \) olarak bulunur. ✅
Örnek 5:
Bir yelkenli yarışında, A noktasındaki hakem teknesi, B ve C noktalarındaki iki yelkenliyi gözlemlemektedir. Hakem teknesi ile B yelkenlisi arasındaki mesafe 100 metre, B yelkenlisi ile C yelkenlisi arasındaki mesafe ise 150 metredir. Hakem teknesinin C yelkenlisine olan uzaklığı 120 metredir. A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturduğuna göre, B açısının (yani B yelkenlisinin bulunduğu açının) kosinüsünü bulunuz. ⛵
Çözüm:
Bu problemi bir üçgen problemi olarak ele alabiliriz. A noktası hakem teknesi, B ve C noktaları ise yelkenliler olsun.
Bu durumda üçgenin kenar uzunlukları şunlardır:
Kosinüs Teoremi'nin B açısına göre düzenlenmiş hali şöyledir: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\( 120^2 = 150^2 + 100^2 - 2 \times 150 \times 100 \times \cos(B) \)
\( 14400 = 22500 + 10000 - 30000 \cos(B) \)
\( 14400 = 32500 - 30000 \cos(B) \)
Şimdi \( \cos(B) \) terimini yalnız bırakalım:
\( 30000 \cos(B) = 32500 - 14400 \)
\( 30000 \cos(B) = 18100 \)
\( \cos(B) = \frac{18100}{30000} \)
Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 100'e bölelim):
\( \cos(B) = \frac{181}{300} \) olarak bulunur. 🏆
Bu durumda üçgenin kenar uzunlukları şunlardır:
- \( c = AB = 100 \) m
- \( a = BC = 150 \) m
- \( b = AC = 120 \) m
Kosinüs Teoremi'nin B açısına göre düzenlenmiş hali şöyledir: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
\( 120^2 = 150^2 + 100^2 - 2 \times 150 \times 100 \times \cos(B) \)
\( 14400 = 22500 + 10000 - 30000 \cos(B) \)
\( 14400 = 32500 - 30000 \cos(B) \)
Şimdi \( \cos(B) \) terimini yalnız bırakalım:
\( 30000 \cos(B) = 32500 - 14400 \)
\( 30000 \cos(B) = 18100 \)
\( \cos(B) = \frac{18100}{30000} \)
Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 100'e bölelim):
\( \cos(B) = \frac{181}{300} \) olarak bulunur. 🏆
Örnek 6:
Bir harita üzerinde üç şehir (P, R, S) gösterilmiştir. P şehrinden R şehrine olan mesafe 8 km, R şehrinden S şehrine olan mesafe 12 km'dir. P ve R şehirleri arasındaki açı \( 75^\circ \) olarak ölçülmüştür. S şehrinin P şehrine olan uzaklığını (yani PS kenar uzunluğunu) yaklaşık olarak bulunuz. \( \cos(75^\circ) \approx 0.26 \) olarak veriliyor. 🗺️
Çözüm:
Bu bir üçgen problemidir. P, R ve S şehirleri bir üçgenin köşeleri olsun.
Verilenler:
Kosinüs Teoremi formülü: \( r^2 = p^2 + s^2 - 2ps \cos(R) \)
Verilen değerleri ve \( \cos(75^\circ) \approx 0.26 \) bilgisini kullanalım:
\( r^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \times 12 \times 8 \times \cos(75^\circ) \)
\( r^2 = 144 + 64 - 2 \times 96 \times 0.26 \)
\( r^2 = 208 - 192 \times 0.26 \)
\( r^2 = 208 - 49.92 \)
\( r^2 = 158.08 \)
Şimdi \( r \) değerini bulmak için karekök alalım:
\( r = \sqrt{158.08} \approx 12.57 \) km olarak bulunur. 📏
Verilenler:
- \( PR = 8 \) km (Bu \( s \) kenarıdır)
- \( RS = 12 \) km (Bu \( p \) kenarıdır)
- \( R \) açısı \( 75^\circ \)
Kosinüs Teoremi formülü: \( r^2 = p^2 + s^2 - 2ps \cos(R) \)
Verilen değerleri ve \( \cos(75^\circ) \approx 0.26 \) bilgisini kullanalım:
\( r^2 = 12^2 + 8^2 - 2 \times 12 \times 8 \times \cos(75^\circ) \)
\( r^2 = 144 + 64 - 2 \times 96 \times 0.26 \)
\( r^2 = 208 - 192 \times 0.26 \)
\( r^2 = 208 - 49.92 \)
\( r^2 = 158.08 \)
Şimdi \( r \) değerini bulmak için karekök alalım:
\( r = \sqrt{158.08} \approx 12.57 \) km olarak bulunur. 📏
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, bir binanın iki farklı noktasından (A ve B) karşıdaki bir ağacın (C) yüksekliğini ölçmek istiyor. A noktasından ağacın tepesine olan uzaklık 50 metre, B noktasından ağacın tepesine olan uzaklık ise 60 metredir. A ve B noktaları arasındaki mesafe 40 metredir. A noktasındaki mühendisin ağaca ve B noktasına baktığı açı \( 70^\circ \) olarak ölçülmüştür. Ağacın tepesinin (C) yerdeki izdüşüm noktasından (D) A noktasına olan uzaklığı (AD) bulunuz. 🌳
Çözüm:
Bu problemde, ağacın tepesi C, yerdeki izdüşüm noktası D olsun. A ve B noktaları da yerdeki ölçüm noktalarıdır. Bu durumda ADC bir dik üçgen olur ( \( \angle ADC = 90^\circ \) ). Bizim ilgilendiğimiz üçgen ABC üçgenidir.
Verilenler:
Soruyu doğru anlamak için, C noktasının ağacın tepesi olduğunu ve A, B, D noktalarının aynı düzlemde olduğunu varsayalım. \( \angle ADC = 90^\circ \).
Bizim ilgilendiğimiz üçgen ABC'dir. Ancak soruda verilen \( \angle CAB = 70^\circ \) açısı, A noktasındaki mühendisin ağaca (C'ye) ve B noktasına baktığı açı olarak verilmiş. Bu, \( \angle CAB \) değil, \( \angle BAC \) açısıdır. Yani \( \angle BAC = 70^\circ \).
Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD \) kenarı, \( \angle CAD \) açısının komşu dik kenarıdır. \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Ancak, verilen bilgilerle \( \angle CAD \) açısını doğrudan bulmak zor. Sorunun ifade biçimi biraz kafa karıştırıcı olabilir. Eğer \( \angle CAB \) açısı \( 70^\circ \) ise, bu, A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açıdır. Bu durumda \( \angle BAC = 70^\circ \).
Bizim ihtiyacımız olan \( \angle CAD \) açısıdır. Eğer ağacın tepesi C ve yerdeki izdüşümü D ise, ADC dik üçgeninde \( AD \) uzunluğunu bulmak için \( \angle CAD \) açısını bilmeliyiz. \( \angle CAD \) açısı, \( \angle CAB \) açısı ile aynı değildir.
Soruyu yeniden yorumlayalım: A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açı \( 70^\circ \) ise, bu \( \angle BAC = 70^\circ \) anlamına gelir. Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle CAD \) açısı \( \angle CAB \) açısına eşitse (yani B noktası D noktası ile aynı doğrultuda ise), o zaman \( AD = AC \cos(70^\circ) \).
\( AD = 50 \times \cos(70^\circ) \). \( \cos(70^\circ) \approx 0.342 \).
\( AD \approx 50 \times 0.342 = 17.1 \) metre.
Ancak, bu varsayım doğru olmayabilir. Soruda verilen bilgilerle \( \angle CAD \) açısını bulmak için Sinüs veya Kosinüs teoremini kullanmak gerekebilir. Eğer C tepesi, D yer noktası ve A ölçüm noktası ise, ADC dik üçgeninde \( AD \) kenarı, \( \angle CAD \) açısının komşu kenarıdır. \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle BAC = 70^\circ \) ise, bu \( \angle CAD \) açısı olmayabilir.
Soruda verilen \( \angle CAB = 70^\circ \) açısı, A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açı olarak verilmiş. Bu, \( \angle BAC = 70^\circ \) anlamına gelir. Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle CAD \) açısı \( \angle BAC \) açısına eşitse, yani B noktası D noktası ile aynı doğrultudaysa, o zaman \( AD = AC \cos(70^\circ) \).
\( AD \approx 50 \times 0.342 = 17.1 \) metre.
Bu varsayım altında çözüm:
\( AD = 50 \times \cos(70^\circ) \)
\( AD \approx 50 \times 0.342 \approx 17.1 \) metre.
Bu çözüm, sorunun ifade biçimine göre bir yorumdur. Eğer farklı bir yorum gerekiyorsa, ek bilgiye ihtiyaç duyulur. 💡
Verilenler:
- \( AC = 50 \) m (A noktasından ağacın tepesine uzaklık)
- \( BC = 60 \) m (B noktasından ağacın tepesine uzaklık)
- \( AB = 40 \) m (A ve B noktaları arasındaki mesafe)
- \( \angle CAB = 70^\circ \) (A noktasındaki mühendisin ağaca ve B noktasına baktığı açı)
Soruyu doğru anlamak için, C noktasının ağacın tepesi olduğunu ve A, B, D noktalarının aynı düzlemde olduğunu varsayalım. \( \angle ADC = 90^\circ \).
Bizim ilgilendiğimiz üçgen ABC'dir. Ancak soruda verilen \( \angle CAB = 70^\circ \) açısı, A noktasındaki mühendisin ağaca (C'ye) ve B noktasına baktığı açı olarak verilmiş. Bu, \( \angle CAB \) değil, \( \angle BAC \) açısıdır. Yani \( \angle BAC = 70^\circ \).
Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD \) kenarı, \( \angle CAD \) açısının komşu dik kenarıdır. \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Ancak, verilen bilgilerle \( \angle CAD \) açısını doğrudan bulmak zor. Sorunun ifade biçimi biraz kafa karıştırıcı olabilir. Eğer \( \angle CAB \) açısı \( 70^\circ \) ise, bu, A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açıdır. Bu durumda \( \angle BAC = 70^\circ \).
Bizim ihtiyacımız olan \( \angle CAD \) açısıdır. Eğer ağacın tepesi C ve yerdeki izdüşümü D ise, ADC dik üçgeninde \( AD \) uzunluğunu bulmak için \( \angle CAD \) açısını bilmeliyiz. \( \angle CAD \) açısı, \( \angle CAB \) açısı ile aynı değildir.
Soruyu yeniden yorumlayalım: A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açı \( 70^\circ \) ise, bu \( \angle BAC = 70^\circ \) anlamına gelir. Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle CAD \) açısı \( \angle CAB \) açısına eşitse (yani B noktası D noktası ile aynı doğrultuda ise), o zaman \( AD = AC \cos(70^\circ) \).
\( AD = 50 \times \cos(70^\circ) \). \( \cos(70^\circ) \approx 0.342 \).
\( AD \approx 50 \times 0.342 = 17.1 \) metre.
Ancak, bu varsayım doğru olmayabilir. Soruda verilen bilgilerle \( \angle CAD \) açısını bulmak için Sinüs veya Kosinüs teoremini kullanmak gerekebilir. Eğer C tepesi, D yer noktası ve A ölçüm noktası ise, ADC dik üçgeninde \( AD \) kenarı, \( \angle CAD \) açısının komşu kenarıdır. \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle BAC = 70^\circ \) ise, bu \( \angle CAD \) açısı olmayabilir.
Soruda verilen \( \angle CAB = 70^\circ \) açısı, A noktasındaki mühendisin B noktasına ve ağacın tepesine baktığı açı olarak verilmiş. Bu, \( \angle BAC = 70^\circ \) anlamına gelir. Biz \( AD \) uzunluğunu bulmak istiyoruz. ADC dik üçgeninde \( AD = AC \cos(\angle CAD) \).
Eğer \( \angle CAD \) açısı \( \angle BAC \) açısına eşitse, yani B noktası D noktası ile aynı doğrultudaysa, o zaman \( AD = AC \cos(70^\circ) \).
\( AD \approx 50 \times 0.342 = 17.1 \) metre.
Bu varsayım altında çözüm:
- ADC dik üçgeninde \( \angle ADC = 90^\circ \).
- \( AC = 50 \) m.
- \( \angle CAD = 70^\circ \) (Varsayım: B noktası, D noktası ve A noktası aynı doğrultuda ve \( \angle CAD = \angle CAB \)).
\( AD = 50 \times \cos(70^\circ) \)
\( AD \approx 50 \times 0.342 \approx 17.1 \) metre.
Bu çözüm, sorunun ifade biçimine göre bir yorumdur. Eğer farklı bir yorum gerekiyorsa, ek bilgiye ihtiyaç duyulur. 💡
Örnek 8:
Bir ABC üçgeninde \( a = 10 \) cm, \( b = 12 \) cm ve \( c = 14 \) cm'dir. Bu üçgenin alanını hesaplayınız. 🌳
Çözüm:
Bu üçgenin alanını hesaplamak için önce Heron Formülü'nü kullanacağız. Heron formülü için üçgenin yarı çevresini ( \( u \) ) bulmamız gerekir.
Üçgenin kenarları: \( a = 10 \), \( b = 12 \), \( c = 14 \).
Değerleri yerine koyalım:
Alan \( = \sqrt{(2 \times 9) \times 8 \times 6 \times 4} \)
Alan \( = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^3 \times (2 \times 3) \times 2^2} \)
Alan \( = \sqrt{2^7 \times 3^3} \)
Alan \( = \sqrt{2^6 \times 2 \times 3^2 \times 3} \)
Alan \( = 2^3 \times 3 \sqrt{2 \times 3} \)
Alan \( = 8 \times 3 \sqrt{6} \)
Alan \( = 24\sqrt{6} \) cm\(^2\) olarak bulunur. 🌟
Alternatif olarak, bir açının kosinüsünü bulup sonra alan formülünü kullanabiliriz. Örneğin A açısını bulalım:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
\( 10^2 = 12^2 + 14^2 - 2 \times 12 \times 14 \cos(A) \)
\( 100 = 144 + 196 - 336 \cos(A) \)
\( 100 = 340 - 336 \cos(A) \)
\( 336 \cos(A) = 340 - 100 = 240 \)
\( \cos(A) = \frac{240}{336} = \frac{24 \times 10}{24 \times 14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
Şimdi \( \sin(A) \) değerini bulalım: \( \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \)
\( \sin^2(A) = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49-25}{49} = \frac{24}{49} \)
\( \sin(A) = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = \frac{1}{2} bc \sin(A) \)
Alan \( = \frac{1}{2} \times 12 \times 14 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 6 \times 14 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 84 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 12 \times 2\sqrt{6} = 24\sqrt{6} \) cm\(^2\). ✅
Üçgenin kenarları: \( a = 10 \), \( b = 12 \), \( c = 14 \).
- Yarı çevre \( u = \frac{a+b+c}{2} \)
- \( u = \frac{10+12+14}{2} = \frac{36}{2} = 18 \) cm
Değerleri yerine koyalım:
- \( u-a = 18 - 10 = 8 \)
- \( u-b = 18 - 12 = 6 \)
- \( u-c = 18 - 14 = 4 \)
Alan \( = \sqrt{(2 \times 9) \times 8 \times 6 \times 4} \)
Alan \( = \sqrt{2 \times 3^2 \times 2^3 \times (2 \times 3) \times 2^2} \)
Alan \( = \sqrt{2^7 \times 3^3} \)
Alan \( = \sqrt{2^6 \times 2 \times 3^2 \times 3} \)
Alan \( = 2^3 \times 3 \sqrt{2 \times 3} \)
Alan \( = 8 \times 3 \sqrt{6} \)
Alan \( = 24\sqrt{6} \) cm\(^2\) olarak bulunur. 🌟
Alternatif olarak, bir açının kosinüsünü bulup sonra alan formülünü kullanabiliriz. Örneğin A açısını bulalım:
\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
\( 10^2 = 12^2 + 14^2 - 2 \times 12 \times 14 \cos(A) \)
\( 100 = 144 + 196 - 336 \cos(A) \)
\( 100 = 340 - 336 \cos(A) \)
\( 336 \cos(A) = 340 - 100 = 240 \)
\( \cos(A) = \frac{240}{336} = \frac{24 \times 10}{24 \times 14} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} \)
Şimdi \( \sin(A) \) değerini bulalım: \( \sin^2(A) + \cos^2(A) = 1 \)
\( \sin^2(A) = 1 - (\frac{5}{7})^2 = 1 - \frac{25}{49} = \frac{49-25}{49} = \frac{24}{49} \)
\( \sin(A) = \sqrt{\frac{24}{49}} = \frac{\sqrt{24}}{7} = \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = \frac{1}{2} bc \sin(A) \)
Alan \( = \frac{1}{2} \times 12 \times 14 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 6 \times 14 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 84 \times \frac{2\sqrt{6}}{7} \)
Alan \( = 12 \times 2\sqrt{6} = 24\sqrt{6} \) cm\(^2\). ✅
Örnek 9:
Bir ABC üçgeninde \( \sin(A) = \frac{3}{5} \), \( \sin(B) = \frac{4}{5} \) ve \( a = 9 \) cm'dir. \( c \) kenar uzunluğunu bulunuz. 📏
Çözüm:
Bu soruda Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
Verilenler:
\( \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \).
\( \sin(A) = \frac{3}{5} \) ise, \( \cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (A açısı dar açı kabul edilirse).
\( \sin(B) = \frac{4}{5} \) ise, \( \cos(B) = \sqrt{1 - \sin^2(B)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (B açısı dar açı kabul edilirse).
Şimdi \( \sin(C) \) değerini hesaplayalım:
\( \sin(C) = \sin(A+B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \).
Eğer \( \sin(C) = 1 \) ise, \( C = 90^\circ \) olmalıdır. Bu, ABC üçgeninin dik üçgen olduğu anlamına gelir.
Şimdi \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanalım:
\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
\( \frac{9}{\frac{3}{5}} = \frac{c}{1} \)
\( 9 \times \frac{5}{3} = c \)
\( 3 \times 5 = c \)
\( c = 15 \) cm olarak bulunur. 🏆
Bu durumda \( A \) ve \( B \) açıları dar açılardır çünkü \( \cos(A) \) ve \( \cos(B) \) pozitif bulundu. \( C = 90^\circ \) olduğundan, \( A+B = 90^\circ \).
Ayrıca \( \sin(A) = 3/5 \) ve \( \cos(A) = 4/5 \), \( \sin(B) = 4/5 \) ve \( \cos(B) = 3/5 \) olduğundan, \( A \) ve \( B \) açıları birbirini 90 dereceye tamamlayan açılardır. ✅
Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
Verilenler:
- \( \sin(A) = \frac{3}{5} \)
- \( \sin(B) = \frac{4}{5} \)
- \( a = 9 \) cm
\( \sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B) \).
\( \sin(A) = \frac{3}{5} \) ise, \( \cos(A) = \sqrt{1 - \sin^2(A)} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \) (A açısı dar açı kabul edilirse).
\( \sin(B) = \frac{4}{5} \) ise, \( \cos(B) = \sqrt{1 - \sin^2(B)} = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \) (B açısı dar açı kabul edilirse).
Şimdi \( \sin(C) \) değerini hesaplayalım:
\( \sin(C) = \sin(A+B) = \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} + \frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1 \).
Eğer \( \sin(C) = 1 \) ise, \( C = 90^\circ \) olmalıdır. Bu, ABC üçgeninin dik üçgen olduğu anlamına gelir.
Şimdi \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanalım:
\( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
\( \frac{9}{\frac{3}{5}} = \frac{c}{1} \)
\( 9 \times \frac{5}{3} = c \)
\( 3 \times 5 = c \)
\( c = 15 \) cm olarak bulunur. 🏆
Bu durumda \( A \) ve \( B \) açıları dar açılardır çünkü \( \cos(A) \) ve \( \cos(B) \) pozitif bulundu. \( C = 90^\circ \) olduğundan, \( A+B = 90^\circ \).
Ayrıca \( \sin(A) = 3/5 \) ve \( \cos(A) = 4/5 \), \( \sin(B) = 4/5 \) ve \( \cos(B) = 3/5 \) olduğundan, \( A \) ve \( B \) açıları birbirini 90 dereceye tamamlayan açılardır. ✅
Örnek 10:
Bir futbol maçında, topun A noktasında olduğunu ve kalenin B ve C direkleri arasında olduğunu düşünelim. Oyuncu (P), topa (A) vurarak kaleye (B ve C direkleri arası) gol atmak istiyor. P noktasından A noktasına olan uzaklık 10 metre, A noktasından B direğine olan uzaklık 15 metre ve A noktasından C direğine olan uzaklık 18 metredir. P noktasındaki oyuncunun A noktasına ve B direğine baktığı açı \( 40^\circ \) olarak ölçülmüştür. Bu oyuncunun C direğine gol atma olasılığını (açısal olarak) hesaplamak için, A noktasındaki topun P noktasına göre konumunu belirleyen \( \angle APB \) açısını bulunuz. ⚽
Çözüm:
Bu problemde, P oyuncunun konumu, A topun konumu, B ve C ise kalenin direkleridir. Bu bir üçgen problemidir (PAB üçgeni).
Verilenler:
Sorunun amacı, P noktasındaki oyuncunun A noktasındaki topa göre C direğine olan açısını bulmak olabilir. Yani \( \angle APC \) açısını bulmak.
Eğer \( \angle APB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa (A) ve B direğine (B) baktığı açıdır. Bu, \( \angle PAB \) açısı değildir. Sorunun ifade biçimi kafa karıştırıcı. Eğer oyuncunun konumu P, topun konumu A ise, o zaman oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı \( \angle APB \) olmaz, \( \angle PAB \) olur. Eğer oyuncunun konumu P ve topun konumu A ise, \( \angle PAB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı olur.
Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle APB \) değil, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Verilenler:
Bu durumda PAB üçgeninde \( \angle PAB = 40^\circ \) bilgisini kullanabiliriz.
PAB üçgeninde Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( \angle PBA \) açısını bulabiliriz:
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} \)
\( \frac{10}{\sin(\angle PBA)} = \frac{15}{\sin(40^\circ)} \)
\( \sin(\angle PBA) = \frac{10 \times \sin(40^\circ)}{15} = \frac{2 \times \sin(40^\circ)}{3} \)
\( \sin(40^\circ) \approx 0.643 \)
\( \sin(\angle PBA) \approx \frac{2 \times 0.643}{3} = \frac{1.286}{3} \approx 0.429 \)
\( \angle PBA \approx \arcsin(0.429) \approx 25.4^\circ \)
Şimdi \( \angle APB \) açısını bulalım:
\( \angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA \)
\( \angle APB \approx 180^\circ - 40^\circ - 25.4^\circ = 114.6^\circ \)
Bu \( \angle APB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı değildir. Bu, P noktasındaki oyuncunun A noktasındaki topa ve B direğine baktığı açıdır. Bu da \( \angle APB \) olmaz, \( \angle PAB \) olur. Sorunun ifade biçimi karışık.
Soruyu yeniden yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle PAB \) değil, \( \angle BPA \) açısıdır. Yani oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı \( \angle BPA = 40^\circ \).
Verilenler:
PBA üçgeninde Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( \angle PAB \) açısını bulalım:
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} \). Bu formül değil.
Sinüs Teoremi: \( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} = \frac{PB}{\sin(\angle PAB)} \).
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)} \). Bu da yanlış.
Doğru Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).
PBA üçgeninde kenarlar \( PA=10 \), \( AB=15 \). Açı \( \angle BPA = 40^\circ \).
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle BPA)} \)
\( \frac{10}{\sin(\angle PBA)} = \frac{15}{\sin(40^\circ)} \)
\( \sin(\angle PBA) = \frac{10 \times \sin(40^\circ)}{15} = \frac{2 \times \sin(40^\circ)}{3} \approx 0.429 \)
\( \angle PBA \approx 25.4^\circ \)
Şimdi \( \angle PAB \) açısını bulalım:
\( \angle PAB = 180^\circ - \angle BPA - \angle PBA \)
\( \angle PAB \approx 180^\circ - 40^\circ - 25.4^\circ = 114.6^\circ \).
Bu \( \angle PAB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı değildir. Bu, oyuncunun P noktasından A noktasına (top) ve B direğine baktığı açıdır.
Soruyu en basit şekilde yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle APB \) değil, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Verilenler:
PAB üçgeninde \( \angle PAB = 40^\circ \) bilgisini kullanarak \( \angle PAC \) açısını bulmak için, \( \angle BAC \) açısını bulmamız gerekir. Ancak elimizde \( \angle BAC \) açısını bulmak için yeterli bilgi yok. Sadece \( AC = 18 \) m bilgisi var.
Sorunun amacı, oyuncunun topa baktığı \( \angle PAB \) açısını bulmak ve bu açıyı kullanarak gol atma olasılığını değerlendirmektir. Eğer \( \angle PAB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa ve B direğine olan açısal pozisyonudur.
Bu durumda, \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak kabul edelim.
Oyuncunun C direğine gol atma olasılığını hesaplamak için \( \angle PAC \) açısını bulmak gerekir. Ancak \( \angle BAC \) açısını bulmak için yeterli veri yok.
Sorunun asıl sorusu, \( \angle PAB \) açısını bulmak ise, cevap \( 40^\circ \)'dir. Ancak soruda "gol atma olasılığını hesaplamak için" denmiş, bu da \( \angle PAC \) açısını bulmayı gerektirir.
Eğer \( \angle PAB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa ve B direğine olan açısal konumudur. Gol atma olasılığı, bu açının C direğine olan açıya göre değerlendirilmesiyle ilgilidir. Bu, \( \angle PAC \) açısını bulmayı gerektirir.
Sorunun en olası yorumu şudur: Oyuncu P'de, top A'da. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Bu durumda, \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak kabul edilir ve bu bilgi gol atma olasılığını değerlendirmek için kullanılır. Oyuncunun C direğine olan açısal konumu \( \angle PAC \) açısıdır. Ancak \( \angle PAC \) açısını hesaplamak için yeterli bilgi verilmemiştir. Sadece \( AC = 18 \) m bilgisi var.
Bu nedenle, sorunun doğrudan cevabı \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak alınabilir, ancak gol atma olasılığı için \( \angle PAC \) bilgisi eksiktir. 🎯
Verilenler:
- \( PA = 10 \) m (Oyuncudan topa uzaklık)
- \( AB = 15 \) m (Topdan B direğine uzaklık)
- \( AC = 18 \) m (Topdan C direğine uzaklık)
- \( \angle APB = 40^\circ \) (Oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı)
Sorunun amacı, P noktasındaki oyuncunun A noktasındaki topa göre C direğine olan açısını bulmak olabilir. Yani \( \angle APC \) açısını bulmak.
Eğer \( \angle APB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa (A) ve B direğine (B) baktığı açıdır. Bu, \( \angle PAB \) açısı değildir. Sorunun ifade biçimi kafa karıştırıcı. Eğer oyuncunun konumu P, topun konumu A ise, o zaman oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı \( \angle APB \) olmaz, \( \angle PAB \) olur. Eğer oyuncunun konumu P ve topun konumu A ise, \( \angle PAB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı olur.
Soruyu şu şekilde yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle APB \) değil, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Verilenler:
- \( PA = 10 \) m
- \( AB = 15 \) m
- \( AC = 18 \) m
- \( \angle PAB = 40^\circ \)
Bu durumda PAB üçgeninde \( \angle PAB = 40^\circ \) bilgisini kullanabiliriz.
PAB üçgeninde Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( \angle PBA \) açısını bulabiliriz:
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} \)
\( \frac{10}{\sin(\angle PBA)} = \frac{15}{\sin(40^\circ)} \)
\( \sin(\angle PBA) = \frac{10 \times \sin(40^\circ)}{15} = \frac{2 \times \sin(40^\circ)}{3} \)
\( \sin(40^\circ) \approx 0.643 \)
\( \sin(\angle PBA) \approx \frac{2 \times 0.643}{3} = \frac{1.286}{3} \approx 0.429 \)
\( \angle PBA \approx \arcsin(0.429) \approx 25.4^\circ \)
Şimdi \( \angle APB \) açısını bulalım:
\( \angle APB = 180^\circ - \angle PAB - \angle PBA \)
\( \angle APB \approx 180^\circ - 40^\circ - 25.4^\circ = 114.6^\circ \)
Bu \( \angle APB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı değildir. Bu, P noktasındaki oyuncunun A noktasındaki topa ve B direğine baktığı açıdır. Bu da \( \angle APB \) olmaz, \( \angle PAB \) olur. Sorunun ifade biçimi karışık.
Soruyu yeniden yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle PAB \) değil, \( \angle BPA \) açısıdır. Yani oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı \( \angle BPA = 40^\circ \).
Verilenler:
- \( PA = 10 \) m
- \( AB = 15 \) m
- \( AC = 18 \) m
- \( \angle BPA = 40^\circ \)
PBA üçgeninde Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( \angle PAB \) açısını bulalım:
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} \). Bu formül değil.
Sinüs Teoremi: \( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle PAB)} = \frac{PB}{\sin(\angle PAB)} \).
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)} \). Bu da yanlış.
Doğru Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \).
PBA üçgeninde kenarlar \( PA=10 \), \( AB=15 \). Açı \( \angle BPA = 40^\circ \).
\( \frac{PA}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle BPA)} \)
\( \frac{10}{\sin(\angle PBA)} = \frac{15}{\sin(40^\circ)} \)
\( \sin(\angle PBA) = \frac{10 \times \sin(40^\circ)}{15} = \frac{2 \times \sin(40^\circ)}{3} \approx 0.429 \)
\( \angle PBA \approx 25.4^\circ \)
Şimdi \( \angle PAB \) açısını bulalım:
\( \angle PAB = 180^\circ - \angle BPA - \angle PBA \)
\( \angle PAB \approx 180^\circ - 40^\circ - 25.4^\circ = 114.6^\circ \).
Bu \( \angle PAB \) açısı, oyuncunun topa ve B direğine baktığı açı değildir. Bu, oyuncunun P noktasından A noktasına (top) ve B direğine baktığı açıdır.
Soruyu en basit şekilde yorumlayalım: Oyuncu P noktasında, top A noktasında. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle APB \) değil, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Verilenler:
- \( PA = 10 \) m
- \( AB = 15 \) m
- \( AC = 18 \) m
- \( \angle PAB = 40^\circ \)
PAB üçgeninde \( \angle PAB = 40^\circ \) bilgisini kullanarak \( \angle PAC \) açısını bulmak için, \( \angle BAC \) açısını bulmamız gerekir. Ancak elimizde \( \angle BAC \) açısını bulmak için yeterli bilgi yok. Sadece \( AC = 18 \) m bilgisi var.
Sorunun amacı, oyuncunun topa baktığı \( \angle PAB \) açısını bulmak ve bu açıyı kullanarak gol atma olasılığını değerlendirmektir. Eğer \( \angle PAB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa ve B direğine olan açısal pozisyonudur.
Bu durumda, \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak kabul edelim.
Oyuncunun C direğine gol atma olasılığını hesaplamak için \( \angle PAC \) açısını bulmak gerekir. Ancak \( \angle BAC \) açısını bulmak için yeterli veri yok.
Sorunun asıl sorusu, \( \angle PAB \) açısını bulmak ise, cevap \( 40^\circ \)'dir. Ancak soruda "gol atma olasılığını hesaplamak için" denmiş, bu da \( \angle PAC \) açısını bulmayı gerektirir.
Eğer \( \angle PAB = 40^\circ \) ise, bu oyuncunun topa ve B direğine olan açısal konumudur. Gol atma olasılığı, bu açının C direğine olan açıya göre değerlendirilmesiyle ilgilidir. Bu, \( \angle PAC \) açısını bulmayı gerektirir.
Sorunun en olası yorumu şudur: Oyuncu P'de, top A'da. Oyuncu, topa (A) ve B direğine baktığında \( 40^\circ \) açı yapıyor. Bu, \( \angle PAB \) açısıdır. Yani \( \angle PAB = 40^\circ \).
Bu durumda, \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak kabul edilir ve bu bilgi gol atma olasılığını değerlendirmek için kullanılır. Oyuncunun C direğine olan açısal konumu \( \angle PAC \) açısıdır. Ancak \( \angle PAC \) açısını hesaplamak için yeterli bilgi verilmemiştir. Sadece \( AC = 18 \) m bilgisi var.
Bu nedenle, sorunun doğrudan cevabı \( \angle PAB = 40^\circ \) olarak alınabilir, ancak gol atma olasılığı için \( \angle PAC \) bilgisi eksiktir. 🎯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-cosinus-teoremi/sorular