💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs cosinüs tanjant kotanjant Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sinüs cosinüs tanjant kotanjant Çözümlü Örnekler
Bir ABC dik üçgeninde B açısının ölçüsü \( 90^\circ \) olarak verilmiştir.
Üçgenin kenar uzunlukları:
\( AB = 3 \) birim
\( BC = 4 \) birim
\( AC = 5 \) birimdir.
Buna göre, A açısının sinüs (\( \sin(A) \)) değerini bulunuz. 📐
Dik üçgende sinüs değeri, karşı dik kenar uzunluğunun hipotenüs uzunluğuna oranıdır. ✅
- Adım 1: A açısının karşı dik kenarını belirleyelim. A açısının karşısındaki kenar \( BC \) kenarıdır.
\( BC = 4 \) - Adım 2: Hipotenüs uzunluğunu belirleyelim. Hipotenüs, \( 90^\circ \)'lik açının karşısındaki en uzun kenardır.
\( AC = 5 \) - Adım 3: Sinüs formülünü uygulayalım:
\[ \sin(A) = \frac{BC}{AC} \] - Adım 4: Değerleri yerine koyalım:
\[ \sin(A) = \frac{4}{5} \]
Sonuç olarak \( \sin(A) = 0,8 \) bulunur. 🌟
Bir dik üçgende dar bir açının tanjant değeri ile kotanjant değeri arasındaki ilişkiyi kullanarak aşağıdaki soruyu çözünüz:
Bir \( x \) dar açısı için \( \tan(x) = \frac{5}{12} \) olduğuna göre, \( \cot(x) \) değeri kaçtır? 💡
Trigonometrik oranlar arasındaki temel kuralları hatırlayalım. 📝
- Kural: Aynı dar açının tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımı her zaman \( 1 \)'e eşittir.
\[ \tan(x) \cdot \cot(x) = 1 \] - Adım 1: Verilen tanjant değerini formülde yerine yazalım:
\[ \frac{5}{12} \cdot \cot(x) = 1 \] - Adım 2: Kotanjant değerini yalnız bırakmak için her iki tarafı \( \frac{12}{5} \) ile çarpalım:
\[ \cot(x) = \frac{12}{5} \]
Pratik Bilgi: Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersidir. Yani pay ve payda yer değiştirir. 🚀
Özel açılı üçgenlerin trigonometrik değerlerini hesaplayalım. 📏
Aşağıdaki işlemin sonucunu bulunuz:
\[ \sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) \]
Bu soruyu çözmek için \( 30-60-90 \) dik üçgenindeki oranları bilmemiz gerekir. 📐
- Bilgi 1: \( 30^\circ \)'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır.
\[ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \] - Bilgi 2: Birbirini \( 90^\circ \)'ye tamamlayan (tümler) açılardan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
\[ \sin(30^\circ) = \cos(60^\circ) \] - Adım 1: Değerleri yerleştirelim:
\( \sin(30^\circ) = 0,5 \)
\( \cos(60^\circ) = 0,5 \) - Adım 2: Toplama işlemini yapalım:
\[ 0,5 + 0,5 = 1 \]
Cevap: \( 1 \) 🎯
Bir ABC dik üçgeninde \( m(C) = 90^\circ \)'dir.
Eğer \( \cos(A) = \frac{8}{17} \) ise, \( \tan(A) \) değeri kaçtır? 🔍
Bu tür sorularda en iyi yöntem bir dik üçgen çizmektir. ✍️
- Adım 1: Kosinüs tanımını hatırlayalım: Kosinüs = Komşu dik kenar / Hipotenüs.
Komşu kenar \( = 8 \), Hipotenüs \( = 17 \). - Adım 2: Pisagor teoremi ile karşı dik kenarı (x) bulalım:
\[ x^2 + 8^2 = 17^2 \]
\[ x^2 + 64 = 289 \]
\[ x^2 = 225 \]
\[ x = 15 \] (Bu bir 8-15-17 özel üçgenidir). - Adım 3: Tanjant tanımını uygulayalım: Tanjant = Karşı dik kenar / Komşu dik kenar.
\[ \tan(A) = \frac{15}{8} \]
Sonuç: \( \frac{15}{8} \) ✅
Güneşli bir günde, boyu \( 1,8 \) metre olan bir gencin yere dik konumdaki gölgesinin uzunluğu \( 1,8 \) metre olarak ölçülmüştür. ☀️
Buna göre, Güneş ışınlarının yerle yaptığı açının tanjant değeri kaçtır ve bu açı kaç derecedir? 🧐
Bu durumu bir dik üçgen olarak modelleyebiliriz. 📐
- Adım 1: Gencin boyu dik kenar (karşı kenar), gölgesi ise diğer dik kenardır (komşu kenar).
Karşı Kenar \( = 1,8 \)
Komşu Kenar \( = 1,8 \) - Adım 2: Tanjant oranını yazalım:
\[ \tan(x) = \frac{1,8}{1,8} \]
\[ \tan(x) = 1 \] - Adım 3: Hangi açının tanjantı \( 1 \)'dir?
İkizkenar dik üçgende (\( 45-45-90 \)) dik kenarlar birbirine eşittir.
Dolayısıyla, açının tanjant değeri \( 1 \)'dir ve bu açı \( 45^\circ \)'dir. 🌈
Bir itfaiye merdiveni, yerle \( 60^\circ \)'lik açı yapacak şekilde bir binaya yaslanmıştır. 🚒
Merdivenin uzunluğu \( 12 \) metre olduğuna göre, merdivenin binaya değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
(Not: \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) alınız.)
Merdiven, bina ve yer bir dik üçgen oluşturur. 🏗️
- Adım 1: Merdivenin uzunluğu hipotenüstür.
Hipotenüs \( = 12 \) - Adım 2: İstenen yükseklik, \( 60^\circ \)'lik açının karşısındaki dik kenardır.
- Adım 3: Karşı kenarı bulmak için sinüs oranını kullanalım:
\[ \sin(60^\circ) = \frac{h}{12} \] - Adım 4: Verilen değeri yerine koyalım:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{12} \] - Adım 5: İçler dışlar çarpımı yaparak \( h \) değerini bulalım:
\[ 2 \cdot h = 12 \cdot \sqrt{3} \]
\[ h = 6\sqrt{3} \]
Merdivenin yerden yüksekliği \( 6\sqrt{3} \) metredir. 📏
Bir dar açı olan \( x \) için aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz: 🧠
\[ \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \]
(İpucu: Payda eşitleyiniz ve \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) özdeşliğini kullanınız.)
Adım adım sadeleştirme yapalım: 📝
- Adım 1: Paydaları eşitlemek için birinci kesri \( \sin(x) \), ikinci kesri \( \cos(x) \) ile genişletelim:
\[ \frac{\sin^2(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} \] - Adım 2: Payları ortak payda altında toplayalım:
\[ \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x) \cdot \cos(x)} \] - Adım 3: Temel trigonometrik özdeşliği kullanalım: \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \).
\[ \frac{1}{\sin(x) \cdot \cos(x)} \]
Ek Bilgi: Bu ifade aynı zamanda \( \tan(x) + \cot(x) \) toplamına eşittir. ✨
Bir çocuk, uçurtmasını uçururken ipin uzunluğunu \( 20 \) metre olarak salmıştır. İp gergin durmaktadır ve yerle \( 30^\circ \)'lik bir açı yapmaktadır. 🪁
Çocuğun eli yerden \( 1 \) metre yükseklikte olduğuna göre, uçurtmanın yerden toplam yüksekliği kaç metredir?
(Not: \( \sin(30^\circ) = 0,5 \))
Soruyu iki aşamada çözelim. 🪜
- Adım 1: İpin oluşturduğu dik üçgendeki dikey yüksekliği (y) bulalım.
İp hipotenüstür (\( 20 \) m).
\[ \sin(30^\circ) = \frac{y}{20} \]
\[ 0,5 = \frac{y}{20} \]
\[ y = 10 \] metre. - Adım 2: Çocuğun elinin yerden yüksekliğini bu değere ekleyelim.
Toplam Yükseklik = Üçgen Yüksekliği + Elin Yüksekliği
Toplam Yükseklik \( = 10 + 1 = 11 \) metre.
Uçurtma yerden tam olarak \( 11 \) metre yüksekliktedir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sinus-cosinus-tanjant-kotanjant/sorular