💡 10. Sınıf Matematik: Sinüs alan formülü, üçgende alan Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için sinüs alan formülünü kullanacağız. Formül şöyledir:

• Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \)

Burada \( a \) ve \( b \) üçgenin iki kenar uzunluğunu, \( C \) ise bu kenarlar arasındaki açıyı temsil eder.

1. Verilen kenar uzunlukları \( a = 8 \) cm ve \( b = 6 \) cm'dir.
2. Kenarlar arasındaki açı \( C = 30^\circ \) olarak verilmiştir.
3. Sinüs \( 30^\circ \) değerini biliyoruz: \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
4. Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin(30^\circ) \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \frac{1}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{48}{4} \] \[ \text{Alan} = 12 cm²

Sonuç olarak, üçgenin alanı 12 cm²'dir. ✅

Sinüs alan formülü, iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının sinüs değeri bilindiğinde üçgenin alanını hesaplamak için çok kullanışlıdır.

1. Verilenler: |AB| = 10 , |AC| = 12 , \angle BAC = 60^\circ .
2. Sinüs alan formülü: Alan = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| \times \sin(\angle BAC) .
3. \sin(60^\circ) değerini hatırlayalım: \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} .
4. Değerleri formülde yerine yazalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 120 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = 30\sqrt{3} birim²

Üçgenin alanı 30\sqrt{3} birim kare olarak bulunur. 👉

Bu problemde, üçgenin alanını ve iki kenar uzunluğunu biliyoruz. Sinüs alan formülünü kullanarak aradaki açının sinüsünü bulacağız.

1. Sinüs alan formülü: Alan = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) .
2. Verilenler: Alan = 24 cm², a = 8 cm, b = 12 cm.
3. Formülde bilinen değerleri yerine koyalım:

\[ 24 = \frac{1}{2} \times 8 \times 12 \times \sin(C) \] \[ 24 = \frac{1}{2} \times 96 \times \sin(C) \] \[ 24 = 48 \times \sin(C) \]

Şimdi \( \sin(C) \) değerini yalnız bırakalım:

\[ \sin(C) = \frac{24}{48} \] \[ \sin(C) = \frac{1}{2} \]

Bu iki kenar arasındaki açının sinüs değeri \( \frac{1}{2} \)'dir. Bu, açının \( 30^\circ \) veya \( 150^\circ \) olabileceği anlamına gelir. 📌

Bu, günlük hayatta sinüs alan formülünün nasıl kullanılabileceğine dair harika bir örnektir. Bahçıvanın ihtiyacı olan alanı hesaplamak için formülü uygulayacağız.

1. Verilen bilgiler: İki kenar \( a = 5 \) m, \( b = 7 \) m ve aralarındaki açı \( C = 120^\circ \).
2. Sinüs alan formülü: Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \).
3. \( \sin(120^\circ) \) değerini bulalım. \( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
4. Değerleri formülde yerine koyalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 35 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{35\sqrt{3}}{4} m²

Bahçıvanın çiçek tarhı için ihtiyacı olan alan \frac{35\sqrt{3}}{4} metrekare'dir. Bu, yaklaşık olarak 15.15 m²'ye denk gelir. 🌳

Burada verilenler kenar uzunlukları a ve b ile bu kenarlar arasındaki \angle C açısıdır. Sinüs alan formülünü doğrudan uygulayabiliriz.

1. Verilenler: a = 10 , b = 12 , \angle C = 45^\circ .
2. Sinüs alan formülü: Alan = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) .
3. \sin(45^\circ) değerini biliyoruz: \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} .
4. Formülde yerine koyalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 120 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Alan} = 60 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \text{Alan} = 30\sqrt{2} birim²

Üçgenin alanı 30\sqrt{2} birim kare'dir. 🚀

Bu soruda, iki kenar uzunluğu ve alan verilmiş. Bizden istenen, bu kenarlar arasındaki açının kendisini bulmak.

1. Verilenler: |AB| = 7 , |AC| = 8 , Alan = 28.
2. Sinüs alan formülü: Alan = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| \times \sin(\angle BAC) .
3. Değerleri yerine yazalım:

\[ 28 = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \sin(\angle BAC) \] \[ 28 = \frac{1}{2} \times 56 \times \sin(\angle BAC) \] \[ 28 = 28 \times \sin(\angle BAC) \]

\( \sin(\angle BAC) \) değerini bulmak için denklemi düzenleyelim:

\[ \sin(\angle BAC) = \frac{28}{28} \] \[ \sin(\angle BAC) = 1 \]

Sinüsü 1 olan açı \( 90^\circ \)'dir. Soruda \( \angle BAC \) açısının dar açı olduğu belirtilmişti, ancak sinüsü 1 olan tek açı \( 90^\circ \)'dir ve bu da dik açıdır (ne dar ne de geniş). Bu durumda, soruda bir çelişki olabilir veya \( \angle BAC = 90^\circ \) olarak kabul edilmelidir. Eğer soru "geniş açı" demeseydi, \( 90^\circ \) olurdu. Dar açı koşulu ile sinüsü 1 olan bir açı yoktur. Ancak, bu tür sorularda genellikle \( \sin(\theta) = 1 \) çıktığında \( \theta = 90^\circ \) kabul edilir. 💡

Mimarlar ve tasarımcılar, alan hesaplamaları için temel geometrik formülleri sıkça kullanırlar. Bu durumda sinüs alan formülü, istenen alanı bulmamıza yardımcı olacaktır.

1. Verilenler: Kenar uzunlukları \( a = 3 \) m, \( b = 4 \) m ve aralarındaki açı \( C = 150^\circ \).
2. Sinüs alan formülü: Alan = \( \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin(C) \).
3. \( \sin(150^\circ) \) değerini hesaplayalım. \( \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \).
4. Değerleri formülde yerine koyalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 \times \frac{1}{2} \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{1}{2} \] \[ \text{Alan} = 6 \times \frac{1}{2} \] \[ \text{Alan} = 3 m²

Cam panelin kaplayacağı alan 3 metrekare'dir. Bu, tasarımın pratikte ne kadar malzeme gerektireceğini anlamak için önemlidir. 👍

Bu soru, sinüs alan formülünün bir üçgenin alanını hesaplamak için nasıl kullanıldığını gösterir. İlerleyen sorularda bu alan bilgisi, kenar uzunluklarını bulmak için kullanılabilir.

1. Verilenler: |AB| = 10 km, |AC| = 12 km, \angle BAC = 75^\circ .
2. Sinüs alan formülü: Alan = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| \times \sin(\angle BAC) .
3. \sin(75^\circ) değerini hesaplamamız gerekiyor. \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) .
4. \sin(75^\circ) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} .
5. Şimdi bu değeri alan formülünde yerine koyalım:

\[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 \times \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) \] \[ \text{Alan} = \frac{1}{2} \times 120 \times \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) \] \[ \text{Alan} = 60 \times \left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\right) \] \[ \text{Alan} = 15(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \) km²

ABC üçgeninin alanı \( 15(\sqrt{6}+\sqrt{2}) \) kilometrekare'dir. Bu değer yaklaşık olarak 77.6 km²'dir. 🌟