🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sin cos tan cot genel test Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sin cos tan cot genel test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC dik üçgeninde \(B\) açısı \(90^\circ\) dir.
\(AB = 3\) birim ve \(BC = 4\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs değeri ile kosinüs değerinin toplamı kaçtır? 📐
\(AB = 3\) birim ve \(BC = 4\) birim olduğuna göre, \(A\) açısının sinüs değeri ile kosinüs değerinin toplamı kaçtır? 📐
Çözüm:
Adım adım çözümümüzü gerçekleştirelim:
- 1. Adım: Öncelikle hipotenüs uzunluğunu bulalım. Pisagor teoremine göre:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2\] \[AC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\] Buradan hipotenüs uzunluğu \(AC = 5\) birim bulunur. - 2. Adım: \(A\) açısının sinüs değerini hesaplayalım. Sinüs, karşı dik kenar bölü hipotenüstür:
\[\sin A = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5}\] - 3. Adım: \(A\) açısının kosinüs değerini hesaplayalım. Kosinüs, komşu dik kenar bölü hipotenüstür:
\[\cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5}\] - 4. Adım: Bizden istenen bu iki değerin toplamıdır:
\[\sin A + \cos A = \frac{4}{5} + \frac{3}{5} = \frac{7}{5}\]
Örnek 2:
Dar açılı bir \(x\) açısı için aşağıdaki ifadenin en sade halini bulunuz: 💡
\[\sin^2 x + \cos^2 x + \tan x \cdot \cot x\]
\[\sin^2 x + \cos^2 x + \tan x \cdot \cot x\]
Çözüm:
Trigonometrideki en temel özdeşlikleri kullanarak sorumuzu kolayca çözelim:
- 1. Özdeşlik: Aynı açıya ait sinüs ve kosinüsün kareleri toplamı her zaman \(1\) değerine eşittir.
\[\sin^2 x + \cos^2 x = 1\] - 2. Özdeşlik: Aynı açıya ait tanjant ve kotanjant değerlerinin çarpımı her zaman \(1\) değerine eşittir.
\[\tan x \cdot \cot x = 1\] - Sonuç: Bulduğumuz bu değerleri soruda verilen ifadede yerlerine yazalım:
\[1 + 1 = 2\]
Örnek 3:
Bir \(x\) dar açısı için \(\tan x = \frac{5}{12}\) olduğuna göre, \(\cos x\) değeri kaçtır? 🔍
Çözüm:
Bu tarz sorularda en pratik yöntem bir dik üçgen çizmektir:
- 1. Adım: Bir açısı \(x\) olan dik üçgen hayal edelim. Tanjant değeri karşı dik kenar bölü komşu dik kenar olduğuna göre:
Karşı dik kenar = \(5\) birim
Komşu dik kenar = \(12\) birim olsun. - 2. Adım: Pisagor bağıntısını kullanarak hipotenüsü bulalım. Bu üçgen meşhur 5-12-13 özel dik üçgenidir:
\[5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\] Hipotenüs uzunluğu = \(13\) birim bulunur. - 3. Adım: Bizden istenen \(\cos x\) değerini bulalım. Kosinüs, komşu dik kenar bölü hipotenüstür:
\[\cos x = \frac{12}{13}\]
Örnek 4:
Bir belediye, parktaki ağacı desteklemek için yere \(60^\circ\) lik açı yapacak şekilde \(8\) metre uzunluğunda bir destek kalası yerleştirmiştir.
Buna göre, kalasın ağaca değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🌳
Buna göre, kalasın ağaca değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Günlük hayattan bu problemi çözmek için dik üçgendeki \(30^\circ - 60^\circ - 90^\circ\) özel üçgeni kurallarını veya trigonometrik oranları kullanabiliriz:
- 1. Adım: Kalas, yer ve ağaç gövdesi bir dik üçgen oluşturur. Kalasın uzunluğu hipotenüstür ve \(8\) metredir. Yerle yapılan açı \(60^\circ\) dir.
- 2. Adım: Ağacın yüksekliği (karşı kenar) ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi sinüs fonksiyonu ile kurabiliriz:
\[\sin 60^\circ = \frac{\text{Yükseklik}}{\text{Kalas Uzunluğu}}\] - 3. Adım: \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) olduğunu biliyoruz. Değerleri yerine yazalım:
\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{Yükseklik}}{8}\] - 4. Adım: İçler dışlar çarpımı yaparak yüksekliği yalnız bırakalım:
\[\text{Yükseklik} = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\text{ metre}\]
Örnek 5:
Bir \(ABC\) dik üçgeninde \(B\) açısı \(90^\circ\) dir.
\(\sin A = \frac{3}{5}\) olduğuna göre, \(\cot C\) değeri kaçtır? 📐
\(\sin A = \frac{3}{5}\) olduğuna göre, \(\cot C\) değeri kaçtır? 📐
Çözüm:
Bir dik üçgende birbirini \(90^\circ\) ye tamamlayan iki açının trigonometrik oranları arasındaki ilişkiyi kullanalım:
- 1. Adım: \(ABC\) dik üçgeninde \(B\) açısı \(90^\circ\) ise, \(A\) ve \(C\) açılarının toplamı \(90^\circ\) dir:
\[A + C = 90^\circ\] - 2. Adım: Birbirini \(90^\circ\) ye tamamlayan açılardan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı ise diğerinin kotanjantına eşittir.
Ancak doğrudan kenar uzunlukları üzerinden gitmek daha garantidir. Üçgenimizi çizelim:
\(A\) açısının karşısı \(3\) birim, hipotenüs \(5\) birim olsun. Bu durumda komşu kenar (Pisagor'dan) \(4\) birim olur. - 3. Adım: \(C\) açısına göre kenarları belirleyelim:
\(C\) açısının karşı dik kenarı = \(4\) birim (yani \(AB\) kenarı)
\(C\) açısının komşu dik kenarı = \(3\) birim (yani \(BC\) kenarı) - 4. Adım: \(\cot C\) değerini hesaplayalım. Kotanjant, komşu dik kenar bölü karşı dik kenardır:
\[\cot C = \frac{3}{4}\]
Örnek 6:
Bir engelli rampasının eğim açısı en fazla \(30^\circ\) olmalıdır. Bir okul girişine yüksekliği \(3\) metre olan bir platform için tam sınır değerde (\(30^\circ\) eğimli) bir rampa yapılacaktır.
Buna göre, yapılacak olan rampanın boyu (eğik kısım) kaç metre olmalıdır? ♿
Buna göre, yapılacak olan rampanın boyu (eğik kısım) kaç metre olmalıdır? ♿
Çözüm:
Rampanın tasarımı bir dik üçgen modeli oluşturur:
- 1. Adım: Rampanın yüksekliği dik üçgenin karşı kenarıdır ve \(3\) metredir.
- 2. Adım: Rampanın boyu ise hipotenüstür. Bu uzunluğa \(x\) diyelim.
- 3. Adım: Karşı kenar ve hipotenüs arasındaki ilişkiyi sinüs oranı belirler:
\[\sin 30^\circ = \frac{\text{Karşı Kenar}}{\text{Hipotenüs}}\] - 4. Adım: \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\) değerini yerine yazalım:
\[\frac{1}{2} = \frac{3}{x}\] Buradan içler dışlar çarpımı yaparsak:
\[x = 6\text{ metre}\]
Örnek 7:
Aşağıdaki trigonometrik ifadeyi en sade biçimde yazınız: 📌
\[\frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}\]
\[\frac{1 - \sin^2 x}{\cos x}\]
Çözüm:
Temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanarak sadeleştirme işlemini yapalım:
- 1. Adım: En temel özdeşliğimiz olan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) formülünü hatırlayalım.
- 2. Adım: Bu formülde \(\sin^2 x\) ifadesini eşitliğin sağ tarafına atarsak:
\[\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\] elde ederiz. - 3. Adım: Soruda verilen pay kısmındaki \(1 - \sin^2 x\) yerine \(\cos^2 x\) yazalım:
\[\frac{\cos^2 x}{\cos x}\] - 4. Adım: Pay ve paydadaki \(\cos x\) terimlerini sadeleştirelim:
\[\frac{\cos x \cdot \cos x}{\cos x} = \cos x\]
Örnek 8:
Bir \(ABC\) ikizkenar üçgeninde \(AB = AC = 10\) cm ve \(BC = 12\) cm'dir.
Buna göre, \(\cos B\) değeri kaçtır? 📐
Buna göre, \(\cos B\) değeri kaçtır? 📐
Çözüm:
İkizkenar üçgen sorularında trigonometrik oran bulmak için yükseklik çizerek dik üçgenler elde ederiz:
- 1. Adım: \(A\) köşesinden \(BC\) tabanına bir dikme (yükseklik) indirelim. Bu dikmenin tabanı kestiği noktaya \(H\) diyelim.
- 2. Adım: İkizkenar üçgende tabana indirilen dikme, tabanı iki eşit parçaya böler:
\[BH = HC = \frac{12}{2} = 6\text{ cm}\] - 3. Adım: Oluşan \(ABH\) dik üçgenine bakalım. Hipotenüs \(AB = 10\) cm ve dik kenar \(BH = 6\) cm'dir.
Bu üçgen 6-8-10 özel dik üçgenidir. Dolayısıyla yükseklik \(AH = 8\) cm olur. - 4. Adım: Şimdi \(B\) açısının kosinüs değerini \(ABH\) dik üçgeninden kolayca bulabiliriz:
\[\cos B = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{BH}{AB}\] \[\cos B = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sin-cos-tan-cot-genel-test/sorular