Bir okulun yemekhanesinde öğle yemeği için 4 farklı çorba ve 6 farklı ana yemek seçeneği sunulmaktadır. Bir öğrenci bu menüden sadece bir çeşit yemek seçecektir.
Buna göre, bu öğrenci bir çorba veya bir ana yemeği kaç farklı şekilde seçebilir? 🍲
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda "veya" bağlacı kullanıldığı için toplama yoluyla sayma kuralını uygulamalıyız:
Çorba seçeneklerinin sayısı: \( 4 \)
Ana yemek seçeneklerinin sayısı: \( 6 \)
Toplam seçim sayısı = \( 4 + 6 = 10 \)
✅ Öğrenci, yemeğini 10 farklı şekilde seçebilir.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir veri grubunda 5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.
Matematik kitaplarının tamamı bir arada olmak koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? 📚
Çözüm ve Açıklama
Bu bir permütasyon (sıralama) sorusudur. Adım adım çözelim:
Matematik kitaplarını bir arada tutmak için onları tek bir paket (1 kitap gibi) kabul edelim.
Bu durumda 1 paket (matematik kitapları) ve 3 ayrı fizik kitabı olmak üzere toplam \( 1 + 3 = 4 \) nesne vardır.
Bu 4 nesne kendi arasında \( 4! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Paket içindeki 5 farklı matematik kitabı da kendi arasında \( 5! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Toplam sıralama sayısı = \( 4! \cdot 5! \)
\( 4! = 24 \) ve \( 5! = 120 \) olduğuna göre;
Sonuç = \( 24 \cdot 120 = 2880 \)
👉 Kitaplar 2880 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir torbada aynı büyüklükte 4 mavi ve 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm ve Açıklama
Olasılık hesabı için istenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlamalıyız:
Tüm bilyelerin sayısı (Örnek Uzay): \( 4 + 5 = 9 \)
İstenen durum sayısı (Mavi bilyeler): \( 4 \)
Olasılık formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
Olasılık = \( \frac{4}{9} \)
✅ Torbadan çekilen bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{4}{9} \) olarak bulunur.
4
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 30 TL olarak belirlenmiştir. Gidilen her bir kilometre için ise 20 TL ek ücret alınmaktadır.
Gidilen yolu \( x \) (kilometre) ve ödenecek toplam tutarı \( f(x) \) (TL) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 15 km yol giden bir yolcunun kaç TL ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm ve Açıklama
Bu problemde ücret, gidilen yola bağlı bir fonksiyondur:
Sabit ücret (başlangıç): 30 TL
Birim mesafe ücreti: 20 TL
Fonksiyon kuralı: \( f(x) = 20x + 30 \)
15 km yol için \( x = 15 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
\( f(15) = 20 \cdot 15 + 30 \)
\( f(15) = 300 + 30 = 330 \)
💰 Yolcu toplam 330 TL ödeme yapar.
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( P(x) = x^2 - 5x + 8 \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır? 🔍
Çözüm ve Açıklama
Bir polinomun \( x - a \) ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda \( x \) yerine \( a \) yazılır:
Bölen olan \( x - 2 \) ifadesini sıfıra eşitleyelim: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Kalanı bulmak için \( P(2) \) değerini hesaplamalıyız.
\( P(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 8 \)
\( P(2) = 4 - 10 + 8 \)
\( P(2) = 2 \)
✅ Polinomun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan 2'dir.
Bir ABCD yamuğunda [AB] alt taban, [DC] üst tabandır. Alt taban uzunluğu 15 birim, üst taban uzunluğu 9 birim ve bu iki taban arasındaki dik uzaklık (yükseklik) 10 birimdir.
Bu yamuk şeklindeki bahçenin alanı kaç birimkaredir? 🌳
Çözüm ve Açıklama
Yamuğun alanını hesaplamak için tabanlar toplamının yarısını yükseklik ile çarparız:
Alt taban (a) = 15
Üst taban (c) = 9
Yükseklik (h) = 10
Alan formülü: \( \text{Alan} = \frac{(a + c) \cdot h}{2} \)
Alan = \( \frac{(15 + 9) \cdot 10}{2} \)
Alan = \( \frac{24 \cdot 10}{2} \)
Alan = \( 12 \cdot 10 = 120 \)
✅ Bahçenin alanı 120 birimkare olarak hesaplanır.
8
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Taban ayrıtları 4 birim ve 5 birim, yüksekliği 8 birim olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç birimküptür? 📦
Çözüm ve Açıklama
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir:
Ayrıtlar: \( a = 4 \), \( b = 5 \), \( c = 8 \)
Hacim formülü: \( V = a \cdot b \cdot c \)
Hacim = \( 4 \cdot 5 \cdot 8 \)
Hacim = \( 20 \cdot 8 = 160 \)
✅ Prizmanın hacmi 160 birimküp bulunur.
10. Sınıf Matematik: Senaryo Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir okulun yemekhanesinde öğle yemeği için 4 farklı çorba ve 6 farklı ana yemek seçeneği sunulmaktadır. Bir öğrenci bu menüden sadece bir çeşit yemek seçecektir.
Buna göre, bu öğrenci bir çorba veya bir ana yemeği kaç farklı şekilde seçebilir? 🍲
Çözüm:
Bu soruda "veya" bağlacı kullanıldığı için toplama yoluyla sayma kuralını uygulamalıyız:
Çorba seçeneklerinin sayısı: \( 4 \)
Ana yemek seçeneklerinin sayısı: \( 6 \)
Toplam seçim sayısı = \( 4 + 6 = 10 \)
✅ Öğrenci, yemeğini 10 farklı şekilde seçebilir.
Örnek 2:
Bir veri grubunda 5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.
Matematik kitaplarının tamamı bir arada olmak koşuluyla bu kitaplar kaç farklı şekilde sıralanabilir? 📚
Çözüm:
Bu bir permütasyon (sıralama) sorusudur. Adım adım çözelim:
Matematik kitaplarını bir arada tutmak için onları tek bir paket (1 kitap gibi) kabul edelim.
Bu durumda 1 paket (matematik kitapları) ve 3 ayrı fizik kitabı olmak üzere toplam \( 1 + 3 = 4 \) nesne vardır.
Bu 4 nesne kendi arasında \( 4! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Paket içindeki 5 farklı matematik kitabı da kendi arasında \( 5! \) kadar farklı şekilde sıralanır.
Toplam sıralama sayısı = \( 4! \cdot 5! \)
\( 4! = 24 \) ve \( 5! = 120 \) olduğuna göre;
Sonuç = \( 24 \cdot 120 = 2880 \)
👉 Kitaplar 2880 farklı şekilde sıralanabilir.
Örnek 3:
Bir torbada aynı büyüklükte 4 mavi ve 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır? 🔵
Çözüm:
Olasılık hesabı için istenen durum sayısını tüm durumların sayısına oranlamalıyız:
Tüm bilyelerin sayısı (Örnek Uzay): \( 4 + 5 = 9 \)
İstenen durum sayısı (Mavi bilyeler): \( 4 \)
Olasılık formülü: \( P(A) = \frac{s(A)}{s(E)} \)
Olasılık = \( \frac{4}{9} \)
✅ Torbadan çekilen bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{4}{9} \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Bir taksi durağında taksimetre açılış ücreti 30 TL olarak belirlenmiştir. Gidilen her bir kilometre için ise 20 TL ek ücret alınmaktadır.
Gidilen yolu \( x \) (kilometre) ve ödenecek toplam tutarı \( f(x) \) (TL) olarak ifade eden doğrusal fonksiyonu yazınız ve 15 km yol giden bir yolcunun kaç TL ödeyeceğini bulunuz. 🚕
Çözüm:
Bu problemde ücret, gidilen yola bağlı bir fonksiyondur:
Sabit ücret (başlangıç): 30 TL
Birim mesafe ücreti: 20 TL
Fonksiyon kuralı: \( f(x) = 20x + 30 \)
15 km yol için \( x = 15 \) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
\( f(15) = 20 \cdot 15 + 30 \)
\( f(15) = 300 + 30 = 330 \)
💰 Yolcu toplam 330 TL ödeme yapar.
Örnek 5:
\( P(x) = x^2 - 5x + 8 \) polinomunun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan kaçtır? 🔍
Çözüm:
Bir polinomun \( x - a \) ile bölümünden kalanı bulmak için polinomda \( x \) yerine \( a \) yazılır:
Bölen olan \( x - 2 \) ifadesini sıfıra eşitleyelim: \( x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \)
Kalanı bulmak için \( P(2) \) değerini hesaplamalıyız.
\( P(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 8 \)
\( P(2) = 4 - 10 + 8 \)
\( P(2) = 2 \)
✅ Polinomun \( x - 2 \) ile bölümünden kalan 2'dir.
Bir ABCD yamuğunda [AB] alt taban, [DC] üst tabandır. Alt taban uzunluğu 15 birim, üst taban uzunluğu 9 birim ve bu iki taban arasındaki dik uzaklık (yükseklik) 10 birimdir.
Bu yamuk şeklindeki bahçenin alanı kaç birimkaredir? 🌳
Çözüm:
Yamuğun alanını hesaplamak için tabanlar toplamının yarısını yükseklik ile çarparız:
Alt taban (a) = 15
Üst taban (c) = 9
Yükseklik (h) = 10
Alan formülü: \( \text{Alan} = \frac{(a + c) \cdot h}{2} \)
Alan = \( \frac{(15 + 9) \cdot 10}{2} \)
Alan = \( \frac{24 \cdot 10}{2} \)
Alan = \( 12 \cdot 10 = 120 \)
✅ Bahçenin alanı 120 birimkare olarak hesaplanır.
Örnek 8:
Taban ayrıtları 4 birim ve 5 birim, yüksekliği 8 birim olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç birimküptür? 📦
Çözüm:
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, üç farklı ayrıtının çarpımına eşittir: