💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Çözümlü Örnekler

Bu problem, temel Çarpma Yoluyla Sayma Prensibi ile çözülür. Her bir seçim birbirinden bağımsız olduğu için, seçim sayılarının çarpımı toplam farklı menü sayısını verir.

• 👉 Çorba seçimi: 3 farklı seçenek
• 👉 Ana yemek seçimi: 5 farklı seçenek
• 👉 Tatlı seçimi: 2 farklı seçenek

✅ Toplam farklı menü sayısı, bu seçeneklerin çarpımı ile bulunur:

\[ 3 \times 5 \times 2 = 30 \]

Bu kişi 30 farklı menü oluşturabilir. 💡

Bu problem, Permütasyon (Sıralama) kavramına bir örnektir. \(n\) farklı nesnenin düz bir sıra halinde sıralanması \(n!\) (n faktöriyel) şekilde olur.

• 👉 1. kitap için: 5 farklı yer seçeneği var.
• 👉 2. kitap için: Kalan 4 farklı yer seçeneği var.
• 👉 3. kitap için: Kalan 3 farklı yer seçeneği var.
• 👉 4. kitap için: Kalan 2 farklı yer seçeneği var.
• 👉 5. kitap için: Kalan 1 farklı yer seçeneği var.

✅ Bu durumda, 5 farklı kitabın sıralanma sayısı \(5!\) olarak hesaplanır:

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]

5 farklı kitap, rafa 120 farklı şekilde sıralanabilir. 📌

Bu problem, Kombinasyon (Seçme) kavramına bir örnektir. Sıralamanın önemli olmadığı, sadece seçimin yapıldığı durumlarda kombinasyon kullanılır. \(n\) elemanlı bir kümeden \(r\) elemanlı bir alt küme seçme sayısı \(C(n, r)\) veya \(\binom{n}{r}\) formülü ile bulunur: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Burada \(n=12\) (toplam öğrenci sayısı) ve \(r=3\) (seçilecek öğrenci sayısı) olarak verilmiştir.

• 👉 Formülü uygulayalım:

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} \]

• 👉 Faktöriyelleri açalım ve sadeleştirelim:

\[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} \] \[ C(12, 3) = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \] \[ C(12, 3) = \frac{1320}{6} \] \[ C(12, 3) = 220 \]

12 öğrenciden 3 kişilik bir ekip 220 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu tür problemlerde, özel şartlar içeren basamaktan başlanır. Burada özel şart sayının "çift" olmasıdır.

• 📌 Adım 1: Birler basamağını belirleme.
  Sayının çift olması için birler basamağı kümedeki çift sayılardan seçilmelidir. Kümedeki çift sayılar {2, 4} olmak üzere 2 tanedir. 👉 Birler basamağı için 2 farklı seçenek vardır. (Örn: 2 veya 4)


• 📌 Adım 2: Yüzler basamağını belirleme.
  Rakamları farklı olacağı için, birler basamağında kullanılan bir rakam tekrar kullanılamaz. Toplam 5 rakamdan 1 tanesi kullanıldığı için geriye 4 rakam kalır. 👉 Yüzler basamağı için 4 farklı seçenek vardır.


• 📌 Adım 3: Onlar basamağını belirleme.
  Yüzler ve birler basamağında birer tane olmak üzere toplam 2 rakam kullanıldığı için geriye 3 rakam kalır. 👉 Onlar basamağı için 3 farklı seçenek vardır.

✅ Çarpma yoluyla sayma prensibini kullanarak toplam farklı sayı adedini buluruz:

\[ 4 \times 3 \times 2 = 24 \]

Bu kümenin elemanları kullanılarak 24 farklı 3 basamaklı, rakamları farklı çift sayı yazılabilir. 💡

Bu problem, çarpma yoluyla sayma ve permütasyon prensiplerini birleştiren, koşullu bir yeni nesil sorusudur. Alfabede 26 büyük harf ve 26 küçük harf olmak üzere toplam 52 harf (Türkçe karakterler hariç) vardır. Rakamlar ise 0'dan 9'a kadar 10 tanedir.

• 📌 Adım 1: İlk 3 hanedeki harfleri belirleme.
  Harfler kendi içinde farklı olacağı için permütasyon mantığı uygulanır. Toplam 52 harf arasından 3 farklı harf seçilip sıralanacaktır. 👉 1. harf için 52 seçenek. 👉 2. harf için kalan 51 seçenek. 👉 3. harf için kalan 50 seçenek. Toplam harf kombinasyonu: \( 52 \times 51 \times 50 \)


• 📌 Adım 2: Son 3 hanedeki rakamları belirleme.
  Rakamlar kendi içinde farklı olacağı için yine permütasyon mantığı uygulanır. Toplam 10 rakam (0-9) arasından 3 farklı rakam seçilip sıralanacaktır. 👉 1. rakam için 10 seçenek. 👉 2. rakam için kalan 9 seçenek. 👉 3. rakam için kalan 8 seçenek. Toplam rakam kombinasyonu: \( 10 \times 9 \times 8 \)

✅ Tüm şifre kombinasyonlarını bulmak için bu iki adımı çarpmamız gerekir:

Harf kombinasyonları = \( 52 \times 51 \times 50 = 132600 \)

Rakam kombinasyonları = \( 10 \times 9 \times 8 = 720 \)

Toplam farklı şifre sayısı = \( 132600 \times 720 \)

\[ 132600 \times 720 = 95472000 \]

Bu kişi 95.472.000 farklı şifre oluşturabilir. 🤯

Bu günlük hayat problemi, Kombinasyon (Seçme) kavramının doğrudan bir uygulamasıdır. Dondurma toplarının sırası önemli olmadığı için (örneğin, çilek-limon-vanilya seçimi ile vanilya-limon-çilek seçimi aynı kabul edilir), kombinasyon formülü kullanılır. Burada \(n=8\) (toplam dondurma çeşidi) ve \(r=3\) (seçilecek dondurma topu sayısı) olarak verilmiştir. \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]

• 👉 Formülü uygulayalım:

\[ C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} \]

• 👉 Faktöriyelleri açalım ve sadeleştirelim:

\[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!} \] \[ C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \] \[ C(8, 3) = \frac{336}{6} \] \[ C(8, 3) = 56 \]

Ali, 56 farklı şekilde dondurma seçimi yapabilir. 😋

Bu problemde hem seçim hem de sıralama (permütasyon) bir arada düşünülmelidir. Ancak soru "öndeki ve arkadaki kişilerin kendi aralarında sıralanışları" dediği için, 7 kişiden hangi 4'ünün öne, hangi 3'ünün arkaya geçeceği zaten belirlenmiş gibi düşünülür. Eğer bu belirlenmemiş olsaydı, önce seçim, sonra sıralama yapılırdı. Burada sadece sıralamaları soruluyor.

• 📌 Adım 1: Öndeki 4 kişinin kendi aralarında sıralanışı.
  4 farklı kişi düz bir sıra halinde \(4!\) farklı şekilde sıralanabilir. 👉 \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)


• 📌 Adım 2: Arkadaki 3 kişinin kendi aralarında sıralanışı.
  3 farklı kişi düz bir sıra halinde \(3!\) farklı şekilde sıralanabilir. 👉 \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)

✅ Toplam farklı sıralanış sayısını bulmak için öndeki ve arkadaki sıralanışları çarparız (çünkü bu iki olay birbirinden bağımsızdır):

\[ 24 \times 6 = 144 \]

Bu kişiler 144 farklı şekilde fotoğraf çektirebilirler. 🤳

Bu problem, tekrarlı permütasyon konusuyla ilgili olup, 10. sınıf müfredatında genellikle "özdeş nesnelerin sıralanışı" başlığı altında ele alınır. "MATEMATİK" kelimesinde bazı harfler tekrar etmektedir. Öncelikle kelimedeki harfleri ve tekrar sayılarını belirleyelim:

• M: 2 tane
• A: 2 tane
• T: 2 tane
• E: 1 tane
• İ: 1 tane
• K: 1 tane

Toplam harf sayısı \(n=9\)'dur. Tekrar eden harflerin sayıları \(n_1=2\) (M), \(n_2=2\) (A), \(n_3=2\) (T)'dir. Tekrarlı permütasyon formülü şu şekildedir: \[ P(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \]

• 👉 Formülü uygulayalım:

\[ P(9; 2, 2, 2) = \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} \]

• 👉 Faktöriyelleri hesaplayalım:

\[ \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (2 \times 1) \times (2 \times 1)} \] \[ \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} \] \[ \frac{362880}{8} \] \[ 45360 \]

"MATEMATİK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek 45.360 farklı kelime yazılabilir. ✅