📄 10. Sınıf Matematik: Sayma Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu soruyu çözmek için çarpma yoluyla sayma prensibini kullanırız. Öğrencinin yapacağı seçimler birbirini takip ettiği için, her bir kategori için mevcut seçenek sayılarını çarparız.

- Çorba seçeneği: 3 farklı çorba
- Ana yemek seçeneği: 4 farklı ana yemek
- Tatlı seçeneği: 2 farklı tatlı

Toplam menü sayısı = (Çorba Seçenekleri) \( \times \) (Ana Yemek Seçenekleri) \( \times \) (Tatlı Seçenekleri)
Toplam menü sayısı = \(3 \times 4 \times 2 = 24\)

Dolayısıyla, bir öğrenci 24 farklı şekilde menü seçebilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu bir tekrarlı permütasyon problemidir. Öncelikle kelimenin toplam harf sayısını ve tekrarlayan harfleri belirlemeliyiz.

"MATEMATİK" kelimesinde toplam 9 harf bulunmaktadır.
Tekrarlayan harfler:
- M harfi: 2 kez
- A harfi: 2 kez
- T harfi: 2 kez
- E, İ, K harfleri: her biri 1 kez

Tekrarlı permütasyon formülü \( \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!} \) şeklindedir, burada \(n\) toplam harf sayısı, \(n_i\) ise tekrarlayan her bir harfin sayısıdır.

Verilenler:
- \(n = 9\)
- \(n_M = 2\)
- \(n_A = 2\)
- \(n_T = 2\)

Hesaplama:
Toplam kelime sayısı = \( \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} \)

\(9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880\)
\(2! = 2 \times 1 = 2\)

Toplam kelime sayısı = \( \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360\)

Sonuç olarak, "MATEMATİK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 45360 farklı kelime yazılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bu problem, seçim (kombinasyon) prensibini kullanarak çözülür. Hem kaleci seçimi hem de savunma oyuncusu seçimi bağımsız olaylar olduğu için çarpma yoluyla sayma prensibi de uygulanır.

Adım 1: Kaleci seçimi
Takımda 11 oyuncu var ve bu 11 oyuncu arasından 1 kaleci seçilmelidir. Bu, kombinasyon formülü \(C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) ile hesaplanır.
\(C(11, 1) = \frac{11!}{1!(11-1)!} = \frac{11!}{1!10!} = \frac{11 \times 10!}{1 \times 10!} = 11\)
11 farklı şekilde 1 kaleci seçilebilir.

Adım 2: Savunma oyuncusu seçimi
1 kaleci seçildikten sonra geriye \(11 - 1 = 10\) oyuncu kalır. Bu 10 oyuncu arasından 3 savunma oyuncusu seçilmelidir.
\(C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{(3 \times 2 \times 1) \times 7!} \)
\(C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120\)
120 farklı şekilde 3 savunma oyuncusu seçilebilir.

Adım 3: Toplam seçim sayısı
Kaleci ve savunma oyuncuları seçimi birbirini takip eden olaylar olduğu için, bu iki seçimin sonuçları çarpılır.
Toplam seçim sayısı = (Kaleci Seçim Sayısı) \( \times \) (Savunma Oyuncusu Seçim Sayısı)
Toplam seçim sayısı = \(11 \times 120 = 1320\)

Dolayısıyla, 1 kaleci ve 3 savunma oyuncusu 1320 farklı şekilde seçilebilir.