🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Yöntemleri Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayma Yöntemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 15 kız ve 12 erkek öğrenci bulunmaktadır. 👋 Bu sınıftan bir öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm:
Bu problem, toplama yoluyla sayma prensibi ile çözülür. Çünkü seçilecek öğrenci ya kızdır ya da erkektir; iki durum aynı anda gerçekleşemez.
- 👉 Adım 1: Kız öğrenci seçme sayısı.
- Sınıfta 15 kız öğrenci olduğu için, bir kız öğrenciyi 15 farklı şekilde seçebiliriz.
- 👉 Adım 2: Erkek öğrenci seçme sayısı.
- Sınıfta 12 erkek öğrenci olduğu için, bir erkek öğrenciyi 12 farklı şekilde seçebiliriz.
- 👉 Adım 3: Toplam seçme sayısı.
- Toplamda kaç farklı şekilde bir öğrenci seçebileceğimizi bulmak için kız ve erkek öğrenci seçme sayılarını toplarız.
- Toplam = \(15 + 12 = 27\)
Örnek 2:
A şehrinden B şehrine 3 farklı yol, B şehrinden C şehrine ise 4 farklı yol bulunmaktadır. 🛣️ A şehrinden C şehrine, B şehrine uğramak şartıyla kaç farklı yoldan gidilebilir?
Çözüm:
Bu problem, çarpma yoluyla sayma prensibi ile çözülür. Çünkü A'dan B'ye gitmek ve B'den C'ye gitmek birbirini takip eden olaylardır.
- 👉 Adım 1: A şehrinden B şehrine gitme sayısı.
- A şehrinden B şehrine 3 farklı yol olduğu için, 3 farklı şekilde gidilebilir.
- 👉 Adım 2: B şehrinden C şehrine gitme sayısı.
- B şehrinden C şehrine 4 farklı yol olduğu için, 4 farklı şekilde gidilebilir.
- 👉 Adım 3: Toplam gitme sayısı.
- A'dan B'ye her bir yol için, B'den C'ye 4 farklı yol seçeneği vardır. Bu yüzden yolları çarparız.
- Toplam = \(3 \times 4 = 12\)
Örnek 3:
Rakamları farklı 3 basamaklı kaç farklı çift sayı yazılabilir? (Rakamlar kümesi: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) )
Çözüm:
Bu bir çarpma yoluyla sayma ve permütasyon (sıralama) problemidir. Rakamların farklı olması ve sayının çift olması önemli kısıtlamalardır.
- 📌 Kısıtlamalar:
- Sayı 3 basamaklı olmalı.
- Rakamları farklı olmalı.
- Sayı çift olmalı (birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8 olmalı).
- Yüzler basamağı 0 olamaz.
- 👉 Adım 1: Birler basamağını belirleme. (Çift olma kuralından dolayı önce birler basamağı ele alınır.)
- Birler basamağı için 5 seçenek vardır: \( \{0, 2, 4, 6, 8\} \)
- Ancak 0 rakamı özel bir durum yaratır (yüzler basamağını etkiler). Bu yüzden 0'ı ayrı, diğer çift rakamları ayrı değerlendirelim.
- 👉 Durum 1: Birler basamağı 0 ise
- Birler basamağı: 1 seçenek (0)
- Yüzler basamağı: Geri kalan 9 rakamdan biri (0 kullanıldı, 9 seçenek var).
- Onlar basamağı: Geri kalan 8 rakamdan biri (0 ve bir rakam daha kullanıldı, 8 seçenek var).
- Bu durum için sayı adedi: \(1 \times 9 \times 8 = 72\)
- 👉 Durum 2: Birler basamağı 0 değilse (2, 4, 6, 8)
- Birler basamağı: 4 seçenek (2, 4, 6, 8)
- Yüzler basamağı: 0 olamaz. Birler basamağına bir rakam kullanıldığı için geriye 9 rakam kaldı. Bu 9 rakamdan 0'ı çıkarırsak 8 seçenek kalır.
- Onlar basamağı: Birler ve yüzler basamağına iki farklı rakam kullanıldı. Geriye 8 rakam kaldı (0 artık kullanılabilir).
- Bu durum için sayı adedi: \(4 \times 8 \times 8 = 256\)
- 👉 Adım 3: Toplam sayı adedi.
- İki durumu toplarız: \(72 + 256 = 328\)
Örnek 4:
5 farklı kitabın tamamı, düz bir rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? 📚
Çözüm:
Bu problem, permütasyon (sıralama) konusuna bir örnektir. \(n\) farklı nesnenin düz bir sıra halinde diziliş sayısı \(n!\) (n faktöriyel) ile bulunur.
- 👉 Adım 1: İlk kitap için kaç seçenek var?
- Rafa koyacağımız ilk kitap için 5 farklı seçeneğimiz var.
- 👉 Adım 2: İkinci kitap için kaç seçenek var?
- İlk kitabı koyduktan sonra, ikinci kitap için geriye 4 farklı seçenek kalır.
- 👉 Adım 3: Üçüncü, dördüncü ve beşinci kitaplar için seçenekler.
- Üçüncü kitap için 3, dördüncü kitap için 2, beşinci kitap için 1 seçenek kalır.
- 👉 Adım 4: Toplam sıralama sayısı.
- Tüm seçenekleri çarparız (çarpma yoluyla sayma prensibi).
- Toplam = \(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5!\)
- \(5! = 120\)
Örnek 5:
"KELEBEK" kelimesinin harfleri yer değiştirilerek 7 harfli anlamlı veya anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir? 🦋
Çözüm:
Bu problem, tekrarlı permütasyon konusuna bir örnektir. Harflerin bazıları tekrar ettiği için standart permütasyon formülünü kullanamayız.
- 👉 Adım 1: Kelimenin toplam harf sayısını belirleme.
- "KELEBEK" kelimesi 7 harften oluşmaktadır. ( \(n=7\) )
- 👉 Adım 2: Tekrar eden harfleri ve tekrar sayılarını belirleme.
- K harfi: 2 kez tekrar ediyor. ( \(n_1=2\) )
- E harfi: 3 kez tekrar ediyor. ( \(n_2=3\) )
- L harfi: 1 kez tekrar ediyor.
- B harfi: 1 kez tekrar ediyor.
- 👉 Adım 3: Tekrarlı permütasyon formülünü uygulama.
- Formül: \( \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!} \)
- Burada \(n=7\), \(n_1=2\) (K için), \(n_2=3\) (E için).
- Hesaplama: \( \frac{7!}{2! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} \)
- \( \frac{5040}{2 \times 6} = \frac{5040}{12} = 420 \)
Örnek 6:
10 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde seçilebilir? 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu problem, kombinasyon (seçim) konusuna bir örnektir. Seçilen kişilerin sıralamasının önemi olmadığı için kombinasyon kullanılır.
- 👉 Adım 1: Toplam kişi sayısını ve seçilecek kişi sayısını belirleme.
- Toplam kişi sayısı \(n = 10\).
- Seçilecek kişi sayısı \(r = 3\).
- 👉 Adım 2: Kombinasyon formülünü uygulama.
- Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)
- Burada \(n=10\) ve \(r=3\).
- Hesaplama: \( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} \)
- \( \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3 \times 2 \times 1 \times 7!} \)
- \( \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = \frac{720}{6} = 120 \)
Örnek 7:
5 kız ve 4 erkek öğrencinin bulunduğu bir sınıftan, en az 2'si kız olmak üzere 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir? 👧👦
Çözüm:
Bu problem, kombinasyon ve toplama yoluyla sayma prensiplerini birleştiren zor bir örnektir. "En az 2'si kız" ifadesi farklı durumları incelememizi gerektirir.
- 📌 Koşul: Seçilecek 3 kişilik ekibin en az 2'si kız olmalı. Bu şu anlama gelir:
- Durum 1: 2 kız ve 1 erkek seçilebilir.
- Durum 2: 3 kız ve 0 erkek seçilebilir.
- 👉 Adım 1: Durum 1'i hesaplama (2 kız ve 1 erkek seçimi).
- 5 kız arasından 2 kız seçimi: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
- 4 erkek arasından 1 erkek seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!3!} = 4 \)
- Bu durum için toplam seçim sayısı: \(10 \times 4 = 40\)
- 👉 Adım 2: Durum 2'yi hesaplama (3 kız ve 0 erkek seçimi).
- 5 kız arasından 3 kız seçimi: \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
- 4 erkek arasından 0 erkek seçimi: \( C(4, 0) = 1 \) (Hiç erkek seçilmemesi 1 yoldur)
- Bu durum için toplam seçim sayısı: \(10 \times 1 = 10\)
- 👉 Adım 3: Tüm durumları toplama.
- "En az 2 kız" koşulunu sağlayan tüm durumları toplarız.
- Toplam = \(40 + 10 = 50\)
Örnek 8:
Bir restoranda ana yemek olarak 4 çeşit et yemeği, 3 çeşit tavuk yemeği ve 2 çeşit balık yemeği bulunmaktadır. 🍲 Ayrıca 5 farklı tatlı seçeneği ve 3 farklı içecek seçeneği mevcuttur.
Bir müşteri, bir ana yemek, bir tatlı ve bir içecekten oluşan menüsünü kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Bir müşteri, bir ana yemek, bir tatlı ve bir içecekten oluşan menüsünü kaç farklı şekilde oluşturabilir?
Çözüm:
Bu problem, günlük hayatta sıkça karşılaşılan bir çarpma yoluyla sayma örneğidir. Müşteri her kategori için bağımsız seçimler yapar.
- 👉 Adım 1: Ana yemek seçeneği sayısını belirleme.
- Müşteri et, tavuk veya balık yemeklerinden birini seçeceği için, bu seçenekleri toplarız (toplama yoluyla sayma).
- Ana yemek seçenekleri: \(4 \text{ (et)} + 3 \text{ (tavuk)} + 2 \text{ (balık)} = 9\) farklı ana yemek.
- 👉 Adım 2: Tatlı seçeneği sayısını belirleme.
- 5 farklı tatlı seçeneği bulunmaktadır.
- 👉 Adım 3: İçecek seçeneği sayısını belirleme.
- 3 farklı içecek seçeneği bulunmaktadır.
- 👉 Adım 4: Toplam menü oluşturma sayısını hesaplama.
- Müşteri her kategoriden bir seçim yapacağı için, bu seçenekleri çarparız (çarpma yoluyla sayma).
- Toplam menü sayısı = (Ana yemek seçenekleri) \( \times \) (Tatlı seçenekleri) \( \times \) (İçecek seçenekleri)
- Toplam = \(9 \times 5 \times 3 = 135\)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayma-yontemleri/sorular