💡 10. Sınıf Matematik: Sayma ve seçme Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için permütasyon kavramını kullanacağız, çünkü seçilen öğrencilerin görevleri (başkan ve başkan yardımcısı) farklıdır ve sıralama önemlidir.

• a) Farklı Seçim Sayısı:

  Toplamda 12 + 10 = 22 öğrenci var. İlk seçilecek öğrenci için 22 farklı seçenek varken, ikinci seçilecek öğrenci için 21 seçenek kalır.

  Toplam farklı seçim sayısı = \( 22 \times 21 \)

  Toplam farklı seçim sayısı = \( 462 \)

  💡 İpucu: Bu, \( P(22, 2) \) permütasyonuna eşittir.

• b) İkisinin de Kız Olma Olasılığı:

  Önce, ikisinin de kız öğrenci olduğu kaç farklı seçim olabileceğini bulalım. 12 kız öğrenci arasından bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecek.

  Kız öğrencilerden seçim sayısı = \( 12 \times 11 \)

  Kız öğrencilerden seçim sayısı = \( 132 \)

  Şimdi olasılığı hesaplayalım: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durum Sayısı)

  Olasılık = \( \frac{132}{462} \)

  Bu kesri sadeleştirelim.

  Olasılık = \( \frac{2 \times 66}{7 \times 66} = \frac{2}{7} \)

  ✅ Sonuç: İkisinin de kız olma olasılığı \( \frac{2}{7} \)'dir.

Bu soruyu çözmek için kombinasyon kavramını kullanacağız, çünkü topların sırası önemli değil, sadece hangi topların seçildiği önemlidir.

• Toplam Top Sayısı: \( 5 + 3 + 2 = 10 \) top.
• Tüm Durumların Sayısı: 10 toptan rastgele 3 top seçme durumu. Bu, \( C(10, 3) \) kombinasyonu ile hesaplanır.

  \( C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \)

• İstenen Durumların Sayısı: 2 mavi top ve 1 kırmızı top seçme durumu.
  • 5 mavi toptan 2 mavi top seçme: \( C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)
  • 3 kırmızı toptan 1 kırmızı top seçme: \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \)

  İstenen durumların sayısı = \( C(5, 2) \times C(3, 1) = 10 \times 3 = 30 \)

• Olasılık Hesaplaması:

  Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} = \frac{30}{120} \)

  Olasılık = \( \frac{1}{4} \)

  ✅ Sonuç: Çekilen topların 2'sinin mavi ve 1'inin kırmızı olma olasılığı \( \frac{1}{4} \)'tür.

Bu durum, bir grup içinden belirli sayıda öğeyi seçme problemidir ve kombinasyon ile çözülür. Çünkü hangi kurabiyelerin seçildiği önemlidir, ancak seçilme sırası önemli değildir.

• Toplam Kurabiye Çeşidi: 5
• Seçilecek Kurabiye Sayısı: 3
• Kombinasyon Hesabı: 5 çeşitten 3'ünü seçme işlemi \( C(5, 3) \) ile hesaplanır.

  \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \)

  💡 Not: \( C(n, k) = C(n, n-k) \) olduğundan, \( C(5, 3) = C(5, 2) \) ile aynı sonucu verir.

✅ Sonuç: Pastane, vitrinine koymak için kurabiyeleri 10 farklı şekilde seçebilir.

Bu problemde farklı durumları ayrı ayrı ele alıp toplayarak toplam seçeneği bulacağız.

• Durum 1: Müşteri Kırmızı Rengi Seçerse

  Renk seçimi: 1 (Kırmızı)

  Depolama seçimi: 2 (Soruda belirtilen 2 seçenek)

  Bu durumdaki seçenek sayısı = \( 1 \times 2 = 2 \)

• Durum 2: Müşteri Kırmızı Dışındaki Renkleri Seçerse

  Renk seçimi: 3 (Mavi, Yeşil, Siyah)

  Depolama seçimi: 3 (Tüm seçenekler geçerli: 64 GB, 128 GB, 256 GB)

  Bu durumdaki seçenek sayısı = \( 3 \times 3 = 9 \)

• Toplam Seçenek Sayısı:

  İki durumu toplarız.

  Toplam seçenek = (Kırmızı renk seçeneği) + (Diğer renk seçenekleri)

  Toplam seçenek = \( 2 + 9 = 11 \)

✅ Sonuç: Bir müşterinin yapabileceği toplam farklı telefon seçeneği sayısı 11'dir.

Bu soruda, belirli bir sayıdaki kişiden bir alt küme seçip bunları sıralayacağımız için permütasyon kullanırız.

• Toplam Kişi Sayısı: 8
• Sıralanacak Kişi Sayısı: 2 (En iyi iki arkadaş)
• Permütasyon Hesabı: 8 kişiden 2'sini sıralama işlemi \( P(8, 2) \) ile hesaplanır.

  \( P(8, 2) = \frac{8!}{(8-2)!} = \frac{8!}{6!} = 8 \times 7 = 56 \)

✅ Sonuç: En iyi iki arkadaşı belirlemek için sıralama 56 farklı şekilde yapılabilir.

Bu soruda hem permütasyon hem de olasılık kavramlarını kullanacağız.

• a) Farklı Madalya Dağıtım Sayısı:

  5 öğrenciden 3'üne altın, gümüş ve bronz madalya verilecektir. Bu, sıralamanın önemli olduğu bir durumdur, bu yüzden permütasyon kullanırız.

  \( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)

  💡 İpucu: İlk madalya için 5 seçenek, ikinci için 4, üçüncü için 3 seçenek vardır.

• b) A Öğrencinin Altın Madalya Alma Olasılığı:

  Önce, A öğrencisinin altın madalya aldığı durumları inceleyelim.

  • Altın Madalya: 1 seçenek (A öğrencisi)
  • Gümüş Madalya: Kalan 4 öğrenciden biri seçilebilir (4 seçenek).
  • Bronz Madalya: Kalan 3 öğrenciden biri seçilebilir (3 seçenek).

  A'nın altın madalya aldığı durum sayısı = \( 1 \times 4 \times 3 = 12 \)

  Şimdi olasılığı hesaplayalım: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Durum Sayısı)

  Olasılık = \( \frac{12}{60} \)

  Olasılık = \( \frac{1}{5} \)

  ✅ Sonuç: A öğrencisinin altın madalya alma olasılığı \( \frac{1}{5} \)'tir.

Bu tür problemler, farklı kategorilerdeki seçeneklerin çarpılmasıyla çözülür. Buna çarpma kuralı denir.

• Çorba Seçenekleri: 3
• Ana Yemek Seçenekleri: 4
• Tatlı Seçenekleri: 2
• Toplam Menü Seçeneği: Bu seçenekleri çarparak buluruz.

  Toplam Menü = (Çorba Sayısı) \( \times \) (Ana Yemek Sayısı) \( \times \) (Tatlı Sayısı)

  Toplam Menü = \( 3 \times 4 \times 2 = 24 \)

✅ Sonuç: Müşteri, 24 farklı menü seçeneği oluşturabilir.

Bu problemde, her kategori için ayrı ayrı kombinasyon hesaplayıp, ardından bu sonuçları çarparak toplam seçenek sayısını bulacağız.

• Roman Seçimi: 6 romandan 2 tanesini seçme.

  \( C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \)

• Bilim Kurgu Kitabı Seçimi: 4 bilim kurgu kitabından 1 tanesini seçme.

  \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4 \)

• Tarih Kitabı Seçimi: 3 tarih kitabından 1 tanesini seçme.

  \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = 3 \)

• Toplam Okuma Listesi Sayısı: Bu seçimleri çarparak toplam farklı liste sayısını buluruz.

  Toplam Liste = \( C(6, 2) \times C(4, 1) \times C(3, 1) \)

  Toplam Liste = \( 15 \times 4 \times 3 = 180 \)

✅ Sonuç: Öğrenci, 180 farklı okuma listesi oluşturabilir.

Bu soruda, belirli bir sayıdaki oyuncudan iki farklı pozisyon için seçim yapacağız ve bu pozisyonlar farklı olduğu için sıralama önemlidir. Bu nedenle permütasyon kullanırız.

• Toplam Oyuncu Sayısı: 11
• Seçilecek Pozisyon Sayısı: 2 (Kaptan ve Kaleci)
• Permütasyon Hesabı: 11 oyuncudan 2'sini seçip sıralama işlemi \( P(11, 2) \) ile hesaplanır.

  \( P(11, 2) = \frac{11!}{(11-2)!} = \frac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110 \)

✅ Sonuç: Kaptan ve kaleci seçimi 110 farklı şekilde yapılabilir.