💡 10. Sınıf Matematik: Sayma ve olasılık, Analitik geometri Çözümlü Örnekler

• Toplam Bilye Sayısı: Torbadaki toplam bilye sayısı, mavi bilye sayısı ile kırmızı bilye sayısının toplamıdır. \( 3 + 5 = 8 \)
• İstenen Durum Sayısı: Çekilen bilyenin mavi olması istenen durumdur. Mavi bilye sayısı \( 3 \) tür.
• Olasılık Hesabı: Olasılık, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır.

Mavi bilye çekme olasılığı = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Durum Sayısı}} = \frac{3}{8} \)

Cevap: \( \frac{3}{8} \)

• Matematik Kitabı Seçimi: 5 farklı matematik kitabı arasından 1 tane seçme imkanı vardır. Bu seçim \( 5 \) farklı şekilde yapılabilir.
• Fizik Kitabı Seçimi: 3 farklı fizik kitabı arasından 1 tane seçme imkanı vardır. Bu seçim \( 3 \) farklı şekilde yapılabilir.
• Toplam Seçim Sayısı: İki seçimin birlikte yapılması gerektiği için, çarpma kuralı uygulanır.

Toplam farklı seçim sayısı = \( 5 \times 3 = 15 \)

Cevap: 15 farklı şekilde seçilebilir.

• Noktaların Koordinatları: \( A = (x_1, y_1) = (2, 5) \) ve \( B = (x_2, y_2) = (6, 1) \)
• Uzaklık Formülü: İki nokta arasındaki uzaklık \( d \) şu formülle bulunur: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Değerleri Yerine Koyma:

Cevap: \( 4\sqrt{2} \) birimdir.

• Zarın Yüzleri: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Asal Sayılar: {2, 3, 5}. Asal sayı gelme olasılığı \( P(\text{Asal}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Çift Sayılar: {2, 4, 6}. Çift sayı gelme olasılığı \( P(\text{Çift}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Ortak Eleman: Hem asal hem de çift olan tek sayı 2'dir.
• Olasılıkların Toplamı: İki olayın olasılığının toplamı, kesişimleri dikkate alınarak bulunur.

\( P(\text{Asal} \cup \text{Çift}) = P(\text{Asal}) + P(\text{Çift}) - P(\text{Asal} \cap \text{Çift}) \)

\( P(\text{Asal} \cap \text{Çift}) \) : Hem asal hem çift olma olasılığı (sadece 2). \( P(\text{Asal} \cap \text{Çift}) = \frac{1}{6} \)

Toplam olasılık = \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \)

Cevap: \( \frac{5}{6} \)

• Toplam Meyve Sayısı: Manavdaki toplam meyve sayısı \( 10 + 8 = 18 \) dir.
• İstenen Meyve: Elma seçilmesi istenen durumdur. Elma sayısı \( 10 \) dur.
• Olasılık Hesaplama:

Elma seçme olasılığı = \( \frac{\text{Elma Sayısı}}{\text{Toplam Meyve Sayısı}} = \frac{10}{18} \)

Bu kesir sadeleştirilebilir: \( \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)

Cevap: \( \frac{5}{9} \)

• Verilenler: K(1, -3), L(4, y), Uzaklık \( d = 5 \)
• Uzaklık Formülü: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Değerleri Yerine Koyma:

Her iki tarafın karesini alalım:

Bu denklem iki şekilde çözülebilir:

1. \( y + 3 = 4 \implies y = 1 \)
2. \( y + 3 = -4 \implies y = -7 \)

y'nin alabileceği değerler 1 ve -7'dir.

Değerler Toplamı: \( 1 + (-7) = -6 \)

Cevap: -6

• Evli Çift Sayısı: 4 evli çift, yani 4 erkek ve 4 kadın vardır.
• Erkek Seçimi: 4 erkek arasından 2 erkek seçme işlemi \( C(4, 2) \) ile bulunur.
• Kadın Seçimi: 4 kadın arasından 2 kadın seçme işlemi \( C(4, 2) \) ile bulunur.
• Kombinasyon Formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Erkek Seçimi Hesaplaması:

Kadın Seçimi Hesaplaması:

Toplam Seçim Sayısı: Çarpma kuralı gereği, erkek ve kadın seçimleri çarpılır.

Toplam farklı seçim sayısı = \( C(4, 2) \times C(4, 2) = 6 \times 6 = 36 \)

Cevap: 36 farklı şekilde seçilebilir.

• Bölgeler ve Olasılıkları:
• Bölge 1: \( P(B_1) = \frac{1}{3} \)
• Bölge 2: \( P(B_2) = \frac{1}{4} \)
• Bölge 3: \( P(B_3) = \frac{5}{12} \)
• Hedefe İsabet Etme Olasılığı: Okun bu 3 bölgeden birine isabet etmesi, bu olasılıkların toplamıdır.

\( P(\text{İsabet}) = P(B_1) + P(B_2) + P(B_3) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} \)

Paydaları eşitleyelim (Ortak payda 12):

\( P(\text{İsabet}) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{4 + 3 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \)

İsabet Etmeme Olasılığı: Bir olayın olma olasılığı 1 ise, olmama olasılığı \( 1 - 1 = 0 \) dır. Bu, okun kesinlikle hedef tahtasına isabet edeceği anlamına gelir.

Cevap: 0