💡 10. Sınıf Matematik: Sayma ve Algoritma Çözümlü Örnekler

Bu problemi çözmek için temel çarpma prensibini kullanacağız.

• Ana yemek seçenek sayısı: 3
• Ara sıcak seçenek sayısı: 2
• Tatlı seçenek sayısı: 4

Oluşturulabilecek farklı menü sayısını bulmak için bu sayıları çarparız. \[ \text{Menü Sayısı} = 3 \times 2 \times 4 \] \[ \text{Menü Sayısı} = 24 \] ✅ Sonuç olarak, 24 farklı menü oluşturulabilir.

Bu tür kombinasyon problemlerinde çarpma kuralı geçerlidir.

• Gömlek sayısı: 5
• Pantolon sayısı: 3

Toplam kombinasyon sayısı, gömlek sayısı ile pantolon sayısının çarpımına eşittir. \[ \text{Kombinasyon Sayısı} = 5 \times 3 \] \[ \text{Kombinasyon Sayısı} = 15 \] 👉 Bu kişi, 15 farklı şekilde gömlek ve pantolon kombinleyebilir.

Bu soruda permütasyon kavramını kullanacağız. Rakamlar farklı olacağı için her basamak için farklı bir rakam seçmeliyiz.

• Yüzler basamağı için 3 seçenek vardır (3, 5, 7).
• Onlar basamağı için kalan 2 seçenek vardır.
• Birler basamağı için ise kalan 1 seçenek vardır.

Yazılabilecek 3 basamaklı doğal sayıların sayısı: \[ P(3,3) = 3 \times 2 \times 1 \] \[ P(3,3) = 6 \] ✅ Bu rakamlarla 6 farklı 3 basamaklı doğal sayı yazılabilir. (357, 375, 537, 573, 735, 753)

Bu problemde de yine temel çarpma prensibi uygulanır.

• Roman seçeneği: 4
• Şiir kitabı seçeneği: 3
• Tarih kitabı seçeneği: 2

Oluşturulabilecek farklı okuma listesi sayısı bu seçeneklerin çarpımıdır. \[ \text{Liste Sayısı} = 4 \times 3 \times 2 \] \[ \text{Liste Sayısı} = 24 \] 👉 Toplamda 24 farklı okuma listesi hazırlanabilir.

Bu problemde hem kullanıcı adı hem de şifre için ayrı ayrı çarpma kuralı uygulanır ve sonuçlar birleştirilir.

• Kullanıcı Adı Oluşturma:
• Kullanıcı adı 3 harften oluşuyor ve her harf için 3 seçenek var (A, B, C).
• Kullanıcı adı için olası kombinasyon sayısı: \( 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \)
• Şifre Oluşturma:
• Şifre 4 rakamdan oluşuyor ve her rakam için 4 seçenek var (1, 2, 3, 4).
• Şifre için olası kombinasyon sayısı: \( 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^4 = 256 \)

Toplam giriş yapılabilme sayısı, kullanıcı adı kombinasyon sayısı ile şifre kombinasyon sayısının çarpımıdır. \[ \text{Toplam Giriş Sayısı} = 27 \times 256 \] \[ \text{Toplam Giriş Sayısı} = 6912 \] ✅ Bu siteye 6912 farklı şekilde giriş yapılabilir.

Bu problemde sıralı seçme (permütasyon) kullanılır çünkü otobüse binen kişilerin sırası önemlidir. 5 kişiden 3'ünü seçip sıralayacağız.

• İlk binecek kişi için 5 seçenek vardır.
• İkinci binecek kişi için kalan 4 seçenek vardır.
• Üçüncü binecek kişi için ise kalan 3 seçenek vardır.

Bu durumların sayısı permütasyon formülüyle de gösterilebilir: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) Burada \( n=5 \) (toplam kişi sayısı) ve \( k=3 \) (otobüse binecek kişi sayısı). \[ P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 \] \[ P(5,3) = 60 \] 👉 Bu 5 kişiden 3'ü, 60 farklı şekilde otobüse binebilir.

Bu soruda permütasyon kullanılır çünkü tüm harfler kullanılacak ve her harfin farklı bir yeri olacaktır. 5 farklı harfi sıralayacağız.

• Birinci harf için 5 seçenek vardır.
• İkinci harf için kalan 4 seçenek vardır.
• Üçüncü harf için kalan 3 seçenek vardır.
• Dördüncü harf için kalan 2 seçenek vardır.
• Beşinci harf için kalan 1 seçenek vardır.

Yazılabilecek kelime sayısı, 5 harfin faktöriyelidir. \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 5! = 120 \] ✅ Bu 5 harfle 120 farklı 5 harfli kelime yazılabilir.

Bu problemde kombinasyon kullanılır çünkü grupta kimin seçildiği önemlidir, ancak seçilme sırası önemli değildir.

• Kız Öğrenci Seçimi: 10 kız öğrenci arasından 2 kız seçilecektir.
• Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
• Kız seçimi sayısı: \( C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \)
• Erkek Öğrenci Seçimi: 8 erkek öğrenci arasından 3 erkek seçilecektir.
• Erkek seçimi sayısı: \( C(8, 3) = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \)

Toplam proje grubu oluşturma sayısı, kız öğrenci seçimi sayısı ile erkek öğrenci seçimi sayısının çarpımıdır. \[ \text{Grup Sayısı} = C(10, 2) \times C(8, 3) \] \[ \text{Grup Sayısı} = 45 \times 56 \] \[ \text{Grup Sayısı} = 2520 \] 👉 Bu proje grubu 2520 farklı şekilde oluşturulabilir.