💡 10. Sınıf Matematik: Sayma stratejisi Çözümlü Örnekler

Bu soruda, sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulmamız gerekiyor.

• Toplam öğrenci sayısı = Kız öğrenci sayısı + Erkek öğrenci sayısı
• Toplam öğrenci sayısı = \( 12 + 10 \)
• Toplam öğrenci sayısı = \( 22 \)

Seçim tek bir kişiden oluştuğu için, sınıftaki her öğrenci bir temsilci adayıdır.

• Dolayısıyla, bir temsilciyi seçebileceğimiz farklı yolların sayısı, toplam öğrenci sayısına eşittir.
• Seçim sayısı = \( 22 \)

✅ Sonuç: Bir temsilci 22 farklı şekilde seçilebilir.

Bu tür sorularda, her bir seçim için ayrı ayrı olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.

• Çorba seçimi için 3 farklı seçenek var.
• Ana yemek seçimi için 5 farklı seçenek var.
• Tatlı seçimi için 4 farklı seçenek var.

Toplam öğün seçeneği sayısını bulmak için bu sayıları çarparız:

• Toplam öğün seçeneği = (Çorba seçenekleri) \( \times \) (Ana yemek seçenekleri) \( \times \) (Tatlı seçenekleri)
• Toplam öğün seçeneği = \( 3 \times 5 \times 4 \)
• Toplam öğün seçeneği = \( 60 \)

💡 İpucu: Farklı seçim grupları olduğunda ve her gruptan birer eleman seçilecekse, seçenek sayılarını çarparak toplam durumu bulabilirsiniz. ✅ Sonuç: Bu lokantada 60 farklı öğün seçeneği bulunmaktadır.

Bu bir permütasyon sorusudur. Kelimede tekrar eden harf olup olmadığını kontrol etmeliyiz.

• "ANKARA" kelimesi 6 harflidir.
• Harfler: A, N, K, A, R, A
• Tekrar eden harfler: 'A' harfi 3 kez tekrar etmektedir.

Tekrar eden harfler olduğunda, permütasyon formülü şu şekilde düzenlenir:

• Toplam kelime sayısı = \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \)
• Burada \( n \) toplam harf sayısıdır. \( n_1, n_2, ..., n_k \) ise tekrar eden harflerin sayılarıdır.

"ANKARA" kelimesi için:

• \( n = 6 \)
• 'A' harfi 3 kez tekrar ediyor, yani \( n_1 = 3 \)
• Diğer harfler (N, K, R) birer kez tekrar ediyor, bu yüzden onları formüle eklemeye gerek yok.

Hesaplama:

• Kelime sayısı = \( \frac{6!}{3!} \)
• \( 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• Kelime sayısı = \( \frac{720}{6} \)
• Kelime sayısı = \( 120 \)

✅ Sonuç: "ANKARA" kelimesindeki harflerle 120 farklı kelime yazılabilir.

Bu soruyu iki ayrı olay üzerinden inceleyip olasılıklarını hesaplayacağız.

• Olay 1: Zarın atılması
• Zarın olası sonuçları: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Toplam sonuç sayısı = 6
• Zarın tek sayı gelmesi istenen durumlar: {1, 3, 5}
• Tek sayı gelme olasılığı \( P(\text{Tek}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Olası Durum Sayısı}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• Olay 2: Madeni paranın atılması
• Paranın olası sonuçları: {Yazı, Tura}
• Toplam sonuç sayısı = 2
• Paranın tura gelmesi istenen durum: {Tura}
• Tura gelme olasılığı \( P(\text{Tura}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Olası Durum Sayısı}} = \frac{1}{2} \)

Şimdi bu iki olasılığı toplayalım:

• Toplam Olasılık = \( P(\text{Tek}) + P(\text{Tura}) \)
• Toplam Olasılık = \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \)
• Toplam Olasılık = \( 1 \)

📌 Önemli Not: Bu soruda olaylar birbirinden bağımsızdır ve bizden bu bağımsız olayların olasılıklarının toplamı istenmiştir. Eğer bu iki olayın BİRDEN olması istenseydi, olasılıkları çarpardık. ✅ Sonuç: Zarın tek sayı gelme olasılığı ile paranın tura gelme olasılığının toplamı 1'dir.

Bu basit bir seçim problemidir. Kişinin elinde bulunan farklı tişört sayısı, seçebileceği farklı seçenek sayısını doğrudan verir.

• Kişinin sahip olduğu tişört sayısı = 5
• Her bir tişört farklı bir seçenektir.

✅ Sonuç: Kişi 5 farklı tişört seçeneğine sahiptir.

Bu soruda, her bir ders için ayrı ayrı seçimler yapılıp, bu seçimler birleştirilecektir. Çarpma kuralı burada da geçerlidir.

• Matematik kitabı seçimi için 4 farklı seçenek vardır.
• Fizik kitabı seçimi için 3 farklı seçenek vardır.
• Kimya kitabı seçimi için 2 farklı seçenek vardır.

Toplam farklı seçim sayısını bulmak için seçenek sayılarını çarparız:

• Toplam seçim sayısı = (Matematik seçenekleri) \( \times \) (Fizik seçenekleri) \( \times \) (Kimya seçenekleri)
• Toplam seçim sayısı = \( 4 \times 3 \times 2 \)
• Toplam seçim sayısı = \( 24 \)

✅ Sonuç: Bu şekilde 24 farklı seçim yapılabilir.

Bu soruda, seçilecek kişilerin sıralaması önemlidir (bir kişi başkan, diğeri başkan yardımcısı olur). Bu nedenle permütasyon kullanmalıyız.

• Toplam kişi sayısı = 7
• Seçilecek pozisyon sayısı = 2 (Başkan ve Başkan Yardımcısı)

Permütasyon formülü \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \) şeklindedir, burada \( n \) toplam eleman sayısı ve \( k \) seçilecek eleman sayısıdır.

• \( n = 7 \)
• \( k = 2 \)

Hesaplama:

• Seçim sayısı = \( P(7, 2) = \frac{7!}{(7-2)!} \)
• Seçim sayısı = \( \frac{7!}{5!} \)
• Seçim sayısı = \( \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
• Seçim sayısı = \( 7 \times 6 \)
• Seçim sayısı = \( 42 \)

Alternatif olarak, adım adım düşünebiliriz:

• Başkan seçimi için 7 farklı aday vardır.
• Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcısı seçimi için geriye 6 kişi kalır.
• Toplam seçim sayısı = \( 7 \times 6 = 42 \)

💡 İpucu: Eğer seçilen kişilerin görevi farklıysa (örneğin başkan ve yardımcısı gibi), permütasyon kullanmak en doğrusudur. Eğer sadece bir grup seçilecekse (örneğin 2 kişilik bir komite gibi), kombinasyon kullanılır. ✅ Sonuç: Bu seçim 42 farklı şekilde yapılabilir.

Bu durum, temel çarpma kuralının günlük hayattaki bir uygulamasıdır.

• Mevcut renk seçenekleri: Kırmızı, Mavi, Yeşil (3 seçenek)
• Mevcut model seçenekleri: Desenli, Düz (2 seçenek)

Bir müşteri, bir renk ve bir model seçerek bir gömlek alır. Toplam farklı gömlek seçeneği sayısını bulmak için renk seçenekleri ile model seçeneklerini çarparız:

• Toplam gömlek seçeneği = (Renk seçenekleri) \( \times \) (Model seçenekleri)
• Toplam gömlek seçeneği = \( 3 \times 2 \)
• Toplam gömlek seçeneği = \( 6 \)

Bu 6 seçenek şunlardır:

• Kırmızı Desenli
• Kırmızı Düz
• Mavi Desenli
• Mavi Düz
• Yeşil Desenli
• Yeşil Düz

✅ Sonuç: Müşterinin alabileceği 6 farklı gömlek seçeneği bulunmaktadır.