💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Ve Algoritma Çözümlü Örnekler

Bu problemde temel çarpma prensibini kullanacağız.

• Adım 1: Tişört seçeneklerini belirleyelim. Müşterinin seçebileceği 3 farklı renkte tişört var.
• Adım 2: Pantolon seçeneklerini belirleyelim. Müşterinin seçebileceği 2 farklı modelde pantolon var.
• Adım 3: Toplam seçim sayısını bulmak için tişört ve pantolon seçeneklerini çarparız.

Toplam seçim sayısı = (Tişört sayısı) \( \times \) (Pantolon sayısı)
Toplam seçim sayısı = \( 3 \times 2 = 6 \)
💡 Yani, müşteri 6 farklı şekilde bir tişört ve bir pantolon seçebilir. ✅

Bu problemde sıra önemli olduğu için permütasyon kullanacağız.
Seçilecek pozisyonlar: Başkan ve Başkan Yardımcısı.
Grubun büyüklüğü: \( n = 5 \)
Seçilecek kişi sayısı: \( r = 2 \)
Permütasyon formülü: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \)

• Adım 1: Formülde verilen değerleri yerine koyalım.

\( P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} \)

• Adım 2: Faktöriyelleri hesaplayalım veya sadeleştirelim.

\( \frac{5!}{3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 5 \times 4 = 20 \)
👉 Alternatif olarak, başkan için 5 seçenek, başkan yardımcısı için kalan 4 seçenek vardır. Toplam seçim sayısı \( 5 \times 4 = 20 \) olur. ✅

Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

• Adım 1: Tüm olası durumların sayısını bulalım.

Torbadaki toplam bilye sayısı = Mavi bilye sayısı + Kırmızı bilye sayısı
Toplam bilye sayısı = \( 4 + 3 = 7 \)

• Adım 2: İstenen durumların sayısını bulalım.

İstenen durum, mavi bilye çekmektir. Mavi bilye sayısı = 4.

• Adım 3: Olasılık formülünü uygulayalım.

Olasılık (Mavi) = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} \)
Olasılık (Mavi) = \( \frac{4}{7} \)
💡 Yani, çekilen bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{4}{7} \)'dir. ✅

Bu problemde, 3 kişinin 5 farklı koltuğa oturması söz konusudur ve oturma sırası önemlidir. Bu bir permütasyon problemidir.

• Adım 1: Oturacak kişi sayısını belirleyelim: 3 (Ali, Veli, Can).
• Adım 2: Mevcut boş koltuk sayısını belirleyelim: 5.
• Adım 3: Permütasyon formülünü kullanalım: \( P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!} \), burada \( n \) toplam koltuk sayısı ve \( r \) oturacak kişi sayısıdır.

\( P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \)

• Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60 \)
👉 Alternatif olarak, Ali için 5 koltuk seçeneği, Veli için kalan 4 koltuk seçeneği ve Can için kalan 3 koltuk seçeneği vardır. Toplam oturma şekli \( 5 \times 4 \times 3 = 60 \) olur. ✅

Bu problemde, renklerin seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanacağız.
Seçilecek renk sayısı: \( k = 2 \)
Mevcut renk sayısı: \( n = 4 \)
Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

• Adım 1: Formülde verilen değerleri yerine koyalım.

\( C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} \)

• Adım 2: Faktöriyelleri hesaplayalım veya sadeleştirelim.

\( \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6 \)
💡 Yani, 6 farklı renk ikilisi oluşturulabilir. ✅

Bu, temel çarpma prensibinin günlük hayattaki bir uygulamasıdır.

• Adım 1: Ana yemek seçeneklerini belirleyelim. 5 farklı ana yemek seçeneği var.
• Adım 2: Tatlı seçeneklerini belirleyelim. 3 farklı tatlı seçeneği var.
• Adım 3: Toplam menü seçeneğini bulmak için ana yemek ve tatlı seçeneklerini çarparız.

Toplam menü seçeneği = (Ana yemek sayısı) \( \times \) (Tatlı sayısı)
Toplam menü seçeneği = \( 5 \times 3 = 15 \)
👉 Yani, bir kişi 15 farklı ana yemek ve tatlı kombinasyonu seçebilir. ✅

Bu problemde, her takım diğer tüm takımlarla maç yapacağı için, aslında 6 takım arasından 2 takım seçerek bir maç oluşturduğumuzu düşünebiliriz. Takımların seçilme sırası maçın sonucunu değiştirmez (A takımı ile B takımının maçı ile B takımı ile A takımının maçı aynıdır). Bu nedenle kombinasyon kullanırız.

• Adım 1: Turnuvadaki takım sayısını belirleyelim: \( n = 6 \).
• Adım 2: Her maçta kaç takım olduğunu belirleyelim: \( k = 2 \).
• Adım 3: Kombinasyon formülünü kullanalım: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

\( C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} \)

• Adım 4: Hesaplamayı yapalım.

\( \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15 \)
💡 Yani, turnuvada toplam 15 maç oynanır. ✅

Bu problemde hem harflerin hem de rakamların seçimi ve yerleştirilmesi söz konusudur. Adım adım ilerleyelim.
Şifre uzunluğu: 5 haneli.
Kullanılacak elemanlar: 3 farklı harf ve 2 farklı rakam. Toplam 5 eleman. Bu 5 eleman şifrenin 5 hanesini dolduracak.

• Adım 1: Önce hangi 3 harfin kullanılacağını seçelim. Diyelim ki alfabeden 3 harf seçilecek. Eğer harf kümesi belliyse (örneğin A, B, C), bu adım atlanır. Soruda "3 farklı harf" denildiği için, bu harflerin seçildiği varsayılır veya belirli bir kümeden seçildiği belirtilir. Eğer belirli bir kümeden seçilmiyorsa, bu kısım daha karmaşık hale gelir. Basitlik adına, kullanılacak 3 harfin ve 2 rakamın önceden belirlendiğini varsayalım (örneğin A, B, C ve 1, 2).
• Adım 2: Belirlenen 5 farklı elemanın (3 harf, 2 rakam) 5 haneli bir şifrede kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. Bu bir permütasyon problemidir çünkü sıralama önemlidir ve elemanlar tekrarsızdır.

Toplam eleman sayısı: \( n = 5 \) (3 harf + 2 rakam).
Şifre hanesi sayısı: \( r = 5 \).
Permütasyon formülü: \( P(n, r) = n! \), çünkü \( r=n \).
\( P(5, 5) = 5! \)

• Adım 3: Faktöriyeli hesaplayalım.

\( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
👉 Eğer soruda "alfabeden 3 harf ve rakamlardan 2 rakam seçilerek" denilseydi, önce harf ve rakam seçimi (kombinasyon) yapılıp sonra permütasyonla sıralama yapılırdı. Ancak burada "3 farklı harf ve 2 farklı rakam" ifadesi, bu elemanların zaten belirlendiği ve tekrarsız olarak 5 haneye yerleştirileceği anlamına gelir. Bu nedenle 120 farklı şifre oluşturulabilir. ✅