💡 10. Sınıf Matematik: Sayma stratejileri, olasılık, analitik geometri Çözümlü Örnekler

Bu klasik bir olasılık sorusudur. Olasılığı hesaplamak için şu adımları izleyebiliriz:

• Toplam Olası Durum Sayısı: Sınıftaki toplam öğrenci sayısı, yani kız öğrenci sayısı ile erkek öğrenci sayısının toplamıdır.
• İstenen Olası Durum Sayısı: Seçilen öğrencinin kız olma durumu.
• Olasılık Formülü: Olasılık = (İstenen Olası Durum Sayısı) / (Toplam Olası Durum Sayısı)

Şimdi bu adımları uygulayalım:

1. Toplam öğrenci sayısı = 12 (kız) + 15 (erkek) = 27 öğrenci.
2. İstenen durum, yani kız öğrenci sayısı = 12.
3. Kız öğrenci seçme olasılığı = \( \frac{12}{27} \).
4. Bu kesri sadeleştirebiliriz. Hem pay hem de payda 3'e bölünebilir: \( \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9} \).

✅ Sonuç olarak, seçilen öğrencinin kız olma olasılığı \( \frac{4}{9} \) olarak bulunur.

Bu bir permütasyon problemidir. Elimizdeki toplam kitap sayısını ve her birini farklı bir nesne olarak düşünerek dizilim sayısını bulabiliriz.

1. Toplam Kitap Sayısı: 5 (matematik) + 3 (fizik) + 2 (kimya) = 10 kitap.
2. Bu 10 farklı kitap, 10 farklı pozisyonda dizilebilir.
3. 10 farklı nesnenin dizilim sayısı, 10 faktöriyel (\( 10! \)) ile hesaplanır.
4. \( 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \).
5. Bu çarpımın sonucu oldukça büyüktür. Hesap makinesi kullanarak veya çarpanları gruplandırarak bulabiliriz.

💡 Unutmayın, eğer kitaplar aynı türden olsaydı, tekrarlı permütasyon formülünü kullanmamız gerekirdi. Ancak burada tüm kitaplar farklıdır.
Hesaplama: \( 10! = 3,628,800 \).
✅ Bu kitaplar toplamda \( 3,628,800 \) farklı şekilde dizilebilir.

Bu soruda iki bağımsız olayın olasılığını birleştirmemiz gerekiyor.

1. Zarın Tek Sayı Gelme Olasılığı: Bir zarın üzerinde 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları bulunur. Tek sayılar 1, 3, 5'tir.
• Toplam olası durum sayısı (zar için) = 6
• İstenen durum sayısı (tek sayı) = 3
• Zarın tek sayı gelme olasılığı = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
2. Madeni Paranın Tura Gelme Olasılığı: Bir madeni paranın yazı veya tura olmak üzere iki yüzü vardır.
• Toplam olası durum sayısı (madeni para için) = 2
• İstenen durum sayısı (tura) = 1
• Madeni paranın tura gelme olasılığı = \( \frac{1}{2} \).
3. İki Olayın Birlikte Gerçekleşme Olasılığı: Bağımsız olaylarda, her iki olayın da gerçekleşme olasılığını çarparız.
• Olasılık = (Zarın tek sayı gelme olasılığı) \( \times \) (Madeni paranın tura gelme olasılığı)
• Olasılık = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

✅ Bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı \( \frac{1}{4} \) olur.

Bu, temel sayma prensiplerinden çarpma kuralı ile çözülen bir problemdir. Her bir seçim için farklı seçeneklerimiz var ve bu seçenekleri çarparak toplam kombinasyon sayısını buluruz.

1. Kek Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 3 farklı kek çeşidi var.
2. Kurabiye Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 4 farklı kurabiye çeşidi var.
3. Poğaça Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 2 farklı poğaça çeşidi var.
4. Toplam Paket Sayısı: Her bir ürün için yapılan seçimleri çarparak toplam farklı paket sayısını buluruz.
• Toplam Paket = (Kek Seçenekleri) \( \times \) (Kurabiye Seçenekleri) \( \times \) (Poğaça Seçenekleri)
• Toplam Paket = \( 3 \times 4 \times 2 \).

Hesaplama: \( 3 \times 4 = 12 \), ve \( 12 \times 2 = 24 \).
✅ Müşteri toplamda 24 farklı paket oluşturabilir.

İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Analitik Geometri'deki uzaklık formülünü kullanırız.

1. Noktaların Koordinatları:
• A noktasının koordinatları \( (x_1, y_1) = (2, 5) \).
• B noktasının koordinatları \( (x_2, y_2) = (6, 1) \).
2. Uzaklık Formülü: İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) arasındaki uzaklık \( d \) şu formülle bulunur:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
3. Değerleri Yerine Koyma:
• \( x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4 \)
• \( y_2 - y_1 = 1 - 5 = -4 \)
4. Hesaplama:
• \( d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \)
• \( d = \sqrt{16 + 16} \)
• \( d = \sqrt{32} \)
5. Sadeleştirme: \( \sqrt{32} \) ifadesini sadeleştirebiliriz. \( 32 = 16 \times 2 \) olduğundan, \( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} \).

✅ A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir.

Bu soruda "veya" bağlacı kullanıldığı için, istenen durumların olasılıklarını toplayacağız.

1. Toplam Top Sayısı:
• Toplam top sayısı = 5 (kırmızı) + 3 (mavi) + 2 (yeşil) = 10 top.
2. Mavi Top Çekme Olasılığı:
• İstenen durum (mavi top) = 3
• Mavi top çekme olasılığı = \( \frac{3}{10} \).
3. Yeşil Top Çekme Olasılığı:
• İstenen durum (yeşil top) = 2
• Yeşil top çekme olasılığı = \( \frac{2}{10} \).
4. Mavi veya Yeşil Top Çekme Olasılığı:
• Bu iki olay birbirinden ayrıktır (bir top aynı anda hem mavi hem de yeşil olamaz). Bu nedenle olasılıkları toplarız.
• Olasılık = (Mavi top çekme olasılığı) + (Yeşil top çekme olasılığı)
• Olasılık = \( \frac{3}{10} + \frac{2}{10} = \frac{3+2}{10} = \frac{5}{10} \).
5. Sadeleştirme:
• \( \frac{5}{10} \) kesrini sadeleştirebiliriz: \( \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} \).

✅ Çekilen topun mavi veya yeşil olma olasılığı \( \frac{1}{2} \) dir.

Bu problem, temel sayma prensiplerinden çarpma kuralının bir uygulamasıdır. Her kategori için yapılan seçimlerin çarpımı, toplam farklı öğün sayısını verir.

1. Ana Yemek Seçenekleri:
• Seçilebilecek 4 farklı ana yemek vardır.
2. Salata Seçenekleri:
• Seçilebilecek 3 farklı salata vardır.
3. Tatlı Seçenekleri:
• Seçilebilecek 2 farklı tatlı vardır.
4. Toplam Öğün Sayısı:
• Toplam öğün sayısı = (Ana Yemek Seçenekleri) \( \times \) (Salata Seçenekleri) \( \times \) (Tatlı Seçenekleri)
• Toplam öğün sayısı = \( 4 \times 3 \times 2 \).

Hesaplama: \( 4 \times 3 = 12 \), ve \( 12 \times 2 = 24 \).
✅ Bu kişi toplamda 24 farklı öğün oluşturabilir.

Orta nokta formülünü kullanarak diğer uç noktanın koordinatlarını bulabiliriz.

1. Orta Nokta Formülü: Bir \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) noktalarının orta noktası \( M(x_m, y_m) \) şu formülle bulunur:
\[ x_m = \frac{x_1 + x_2}{2} \quad \text{ve} \quad y_m = \frac{y_1 + y_2}{2} \]
2. Verilenler:
• Orta nokta \( M(x_m, y_m) = (3, 7) \).
• Bir uç nokta \( A(x_1, y_1) = (1, 4) \).
• Diğer uç nokta \( B(x_2, y_2) \) aranıyor.
3. x-koordinatı İçin Hesaplama:
• \( 3 = \frac{1 + x_2}{2} \)
• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 6 = 1 + x_2 \)
• \( x_2 = 6 - 1 = 5 \).
4. y-koordinatı İçin Hesaplama:
• \( 7 = \frac{4 + y_2}{2} \)
• Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \( 14 = 4 + y_2 \)
• \( y_2 = 14 - 4 = 10 \).

✅ Diğer uç nokta B'nin koordinatları \( (5, 10) \) olur.