💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Algoritma Çözümlü Örnekler

Bu problemde sıra önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız. Kombinasyon formülü şöyledir: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Burada \( n \) toplam öğrenci sayısıdır (\( n=12 \)) ve \( k \) seçilecek grup sayısıdır (\( k=5 \)).

1. Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \[ C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} \]
2. Faktöriyelleri açalım: \[ \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 7!} \]
3. \( 7! \) sadeleşir: \[ \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]
4. Sadeleştirmeleri yapalım: \( 5 \times 2 = 10 \), bu \( 10 \) ile sadeleşir. \( 4 \times 3 = 12 \), bu \( 12 \) ile sadeleşir. Geriye \( 11 \times 9 \times 8 \) kalır. \[ 11 \times 9 \times 8 = 11 \times 72 = 792 \]

Sonuç olarak, 5 kişilik bir gezi grubu 792 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu problemde hem seçim yapma hem de seçilenleri sıralama söz konusudur. Bu nedenle permütasyon kullanırız. Permütasyon formülü şöyledir: \[ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \] Burada \( n \) toplam kalem sayısıdır (\( n=5 \)) ve \( k \) seçilip sıraya dizilecek kalem sayısıdır (\( k=3 \)).

1. Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \]
2. Faktöriyelleri açalım: \[ \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \]
3. \( 2! \) sadeleşir: \[ 5 \times 4 \times 3 \]
4. Çarpma işlemini yapalım: \[ 5 \times 4 \times 3 = 60 \]

Sonuç olarak, 3 kalem 60 farklı şekilde seçilip sıraya dizilebilir. 👉

Olasılık, istenen durum sayısının tüm durum sayısına oranıdır.

1. Tüm Durumlar: Torbada toplam \( 3 + 2 = 5 \) bilye vardır. Bu, çekilebilecek tüm olası durumlardır.
2. İstenen Durumlar: Çekilen bilyenin kırmızı olması isteniyor. Torbada 3 kırmızı bilye bulunmaktadır.
3. Olasılık Hesabı: Olasılık = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Durum Sayısı}} \) Olasılık = \( \frac{3}{5} \)

Torbadan çekilen bir bilyenin kırmızı olma olasılığı \( \frac{3}{5} \)'tir. 👍

Bu problemde her bir kişi diğer herkesle bir kez tokalaşacaktır. Bir tokalaşma iki kişi arasında gerçekleşir ve kişi sırasının önemi yoktur (A'nın B ile tokalaşması ile B'nin A ile tokalaşması aynıdır). Bu nedenle bu bir kombinasyon problemidir.

1. Toplam kişi sayısı \( n=6 \)'dır.
2. Her tokalaşma 2 kişi arasında olduğu için \( k=2 \)'dir.
3. Kombinasyon formülünü kullanalım: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} \]
4. Faktöriyelleri açıp sadeleştirelim: \[ \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} \]
5. Hesaplamayı yapalım: \[ \frac{30}{2} = 15 \]

Toplamda 15 tokalaşma gerçekleşir. Bu, 6 kişiden 2'li gruplar halinde kaç farklı seçim yapılabileceğinin cevabıdır. 💯

Bu durumda, seçenekler birbirinden bağımsızdır ve sadece bir kategori seçilecektir. Bu, toplama kuralı ile çözülen bir problemdir.

1. Meyve Suyu Seçenekleri: 4 farklı çeşit meyve suyu var.
2. Süt Seçenekleri: 3 farklı çeşit süt var.
3. Toplam Seçenekler: Meyve suyundan birini veya sütten birini seçebileceğimiz için toplam seçenek sayısı bu iki sayının toplamıdır. Toplam Seçim = (Meyve Suyu Sayısı) + (Süt Sayısı) Toplam Seçim = \( 4 + 3 = 7 \)

Toplamda 7 farklı içecek seçeneği bulunmaktadır. 💡

Bu problemde farklı derslerden kitap seçme durumu söz konusudur ve toplamda 4 kitap seçilecektir. Bu tür problemler genellikle olasılık ve kombinasyon prensiplerinin birleşimiyle çözülür. Ancak, "en az bir kitap" şartı nedeniyle farklı durumları incelememiz gerekir. Öncelikle, her dersten en az bir kitap seçme koşulunu sağlayacak kitap dağılımlarını belirleyelim. Toplam 4 kitap seçilecek: Durum 1:* 2 Matematik, 1 Fizik, 1 Kimya * Matematik seçimi: \( C(3, 2) = \frac{3!}{2!1!} = 3 \) * Fizik seçimi: \( C(4, 1) = \frac{4!}{1!3!} = 4 \) * Kimya seçimi: \( C(2, 1) = \frac{2!}{1!1!} = 2 \) * Bu durum için toplam seçim sayısı: \( 3 \times 4 \times 2 = 24 \) Durum 2:* 1 Matematik, 2 Fizik, 1 Kimya * Matematik seçimi: \( C(3, 1) = \frac{3!}{1!2!} = 3 \) * Fizik seçimi: \( C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \) * Kimya seçimi: \( C(2, 1) = 2 \) * Bu durum için toplam seçim sayısı: \( 3 \times 6 \times 2 = 36 \) Durum 3:* 1 Matematik, 1 Fizik, 2 Kimya * Matematik seçimi: \( C(3, 1) = 3 \) * Fizik seçimi: \( C(4, 1) = 4 \) * Kimya seçimi: \( C(2, 2) = \frac{2!}{2!0!} = 1 \) * Bu durum için toplam seçim sayısı: \( 3 \times 4 \times 1 = 12 \) Bu üç durum birbirini dışladığı için toplam farklı seçim sayısını bulmak için bu durumların sonuçlarını toplarız: Toplam Seçim = \( 24 + 36 + 12 = 72 \) Dolayısıyla, her dersten en az bir kitap seçilerek 4 kitaplık bir deste 72 farklı şekilde oluşturulabilir. 🧐