💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Bilişi Algoritma Çözümlü Örnekler

Bu basit bir olasılık sorusudur.

• Toplam Olası Durum Sayısı: Torbada 5 farklı renkte bilye olduğundan, çekilebilecek toplam farklı sonuç sayısı 5'tir.
• İstenen Durum Sayısı: Bizim istediğimiz durum, mavi bilyenin çekilmesidir. Torbada 1 tane mavi bilye bulunmaktadır.
• Olasılık Hesaplama: Olasılık, istenen durum sayısının toplam olası durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

Olasılık (Mavi) = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Olası Durum Sayısı}} \) Olasılık (Mavi) = \( \frac{1}{5} \)
Cevap: Çekilen bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{1}{5} \)'tir. ✅

Bu soruda hem permütasyon hem de olasılık kavramlarını kullanacağız.

• Toplam Olası Durum Sayısı: Sınıfta toplam \( 12 + 10 = 22 \) öğrenci bulunmaktadır. Bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçileceği için, bu seçim bir sıralama problemidir (permütasyon). İlk başkan için 22 seçenek, kalan 21 öğrenci arasından başkan yardımcısı için 21 seçenek vardır.

Toplam Seçenek Sayısı = \( P(22, 2) = 22 \times 21 = 462 \)

• İstenen Durum Sayısı: İki kişinin de erkek olması isteniyor. Erkek öğrenci sayısı 10'dur. İlk başkan için 10 erkek öğrenci seçeneği, kalan 9 erkek öğrenci arasından başkan yardımcısı için 9 seçenek vardır.

İstenen Seçenek Sayısı = \( P(10, 2) = 10 \times 9 = 90 \)

• Olasılık Hesaplama:

Olasılık (İki Erkek) = \( \frac{\text{İstenen Seçenek Sayısı}}{\text{Toplam Seçenek Sayısı}} \) Olasılık (İki Erkek) = \( \frac{90}{462} \) Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{90}{462} = \frac{45}{231} = \frac{15}{77} \)
Cevap: Seçilecek kişilerin ikisinin de erkek olma olasılığı \( \frac{15}{77} \)'dir. 💯

Bu soruda iki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığını hesaplayacağız.

• Zarın Tek Sayı Gelme Olasılığı: Bir zarın üzerinde {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 sonuç vardır. Tek sayılar {1, 3, 5}'tir.

Olasılık (Tek Sayı) = \( \frac{\text{Tek Sayı Adedi}}{\text{Toplam Zar Sonucu}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)

• Madeni Paranın Yazı Gelme Olasılığı: Bir madeni paranın iki yüzü vardır (yazı ve tura).

Olasılık (Yazı) = \( \frac{\text{Yazı Adedi}}{\text{Toplam Madeni Para Sonucu}} = \frac{1}{2} \)

• Birlikte Gerçekleşme Olasılığı: İki bağımsız olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir.

Olasılık (Tek Sayı ve Yazı) = Olasılık (Tek Sayı) \( \times \) Olasılık (Yazı) Olasılık (Tek Sayı ve Yazı) = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Cevap: Zarın tek sayı gelmesi ve madeni paranın yazı gelmesi olasılığı \( \frac{1}{4} \)'tür. ✨

Bu soru, temel sayma prensiplerinden çarpma kuralı ile çözülür.

• Kek Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 3 farklı kek çeşidi vardır.
• Kurabiye Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 2 farklı kurabiye çeşidi vardır.
• Toplam Farklı Seçim Sayısı: Bir kek ve bir kurabiye seçimi yapıldığı için, toplam farklı seçim sayısı, kek seçenek sayısı ile kurabiye seçenek sayısının çarpımına eşittir.

Toplam Seçim = (Kek Sayısı) \( \times \) (Kurabiye Sayısı) Toplam Seçim = \( 3 \times 2 = 6 \)
Cevap: Müşteri 6 farklı kek ve kurabiye kombinasyonu seçebilir. 😋

Bu soruda permütasyon ve olasılık hesaplamaları yapacağız.

• Toplam Olası Durum Sayısı: 8 kişi, 8 sandalyeye \( P(8, 8) = 8! \) farklı şekilde oturabilir.

Toplam Oturma Sayısı = \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \)

• İstenen Durum Sayısı: Her evli çiftin yan yana oturması isteniyor. Önce her evli çifti bir bütün olarak düşünelim. 4 evli çift olduğu için, bu 4 "birim" \( P(4, 4) = 4! \) şekilde sıralanabilir.
• Ayrıca, her evli çift kendi içinde yer değiştirebilir. Her evli çiftte 2 kişi olduğundan, her çift \( P(2, 2) = 2! \) şekilde kendi içinde yer değiştirebilir. 4 evli çift olduğu için bu \( (2!)^4 \) olur.

İstenen Oturma Sayısı = (Çiftlerin Sıralanışı) \( \times \) (Her Çiftin Kendi İçindeki Sıralanışı) İstenen Oturma Sayısı = \( 4! \times (2!)^4 = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)^4 = 24 \times 2^4 = 24 \times 16 = 384 \)

• Olasılık Hesaplama:

Olasılık (Her Çift Yan Yana) = \( \frac{\text{İstenen Oturma Sayısı}}{\text{Toplam Oturma Sayısı}} \) Olasılık (Her Çift Yan Yana) = \( \frac{384}{40320} \) Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{384}{40320} = \frac{1}{105} \)
Cevap: Her evli çiftin yan yana oturma olasılığı \( \frac{1}{105} \)'tir. 💖

Bu, temel olasılık hesaplaması gerektiren bir sorudur.

• Toplam Bilye Sayısı: Torbada \( 3 + 4 = 7 \) bilye bulunmaktadır.
• Kırmızı Bilye Sayısı: Kırmızı bilye sayısı 3'tür.
• Olasılık Hesaplama: Olasılık, istenen durum sayısının toplam olası durum sayısına oranıdır.

Olasılık (Kırmızı) = \( \frac{\text{Kırmızı Bilye Sayısı}}{\text{Toplam Bilye Sayısı}} \) Olasılık (Kırmızı) = \( \frac{3}{7} \)
Cevap: Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı \( \frac{3}{7} \)'dir. 👍

Bu soruda permütasyonların sayısını hesaplayıp olasılığı bulacağız.

• Toplam Permütasyon Sayısı: 5 farklı harfin tüm farklı permütasyonlarının sayısı \( P(5, 5) = 5! \) olur.

Toplam Permütasyon = \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

• İstenen Permütasyon Sayısı: A harfinin ilk sırada ve E harfinin son sırada olması isteniyor. Bu durumda ilk ve son sıra sabittir. Geriye B, C, D harfleri kalır. Bu 3 harf, ortadaki 3 pozisyona \( P(3, 3) = 3! \) şekilde yerleştirilebilir.

İstenen Permütasyon = \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)

• Olasılık Hesaplama:

Olasılık (A ilk, E son) = \( \frac{\text{İstenen Permütasyon Sayısı}}{\text{Toplam Permütasyon Sayısı}} \) Olasılık (A ilk, E son) = \( \frac{6}{120} \) Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{6}{120} = \frac{1}{20} \)
Cevap: A harfinin ilk ve E harfinin son sırada olma olasılığı \( \frac{1}{20} \)'dir. 🚀

Bu soru, temel sayma prensiplerinden çarpma kuralını kullanır.

• Çikolata Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 4 farklı çikolata markası vardır.
• Bisküvi Seçenekleri: Müşterinin seçebileceği 3 farklı bisküvi markası vardır.
• Toplam Farklı Seçim Sayısı: Bir çikolata ve bir bisküvi seçimi yapıldığı için, toplam farklı seçim sayısı, çikolata seçenek sayısı ile bisküvi seçenek sayısının çarpımına eşittir.

Toplam Seçim = (Çikolata Markası Sayısı) \( \times \) (Bisküvi Markası Sayısı) Toplam Seçim = \( 4 \times 3 = 12 \)
Cevap: Müşteri 12 farklı çikolata ve bisküvi kombinasyonu seçebilir. 🛒