💡 10. Sınıf Matematik: Sayma, analitik inceleme, veriden olasılığa Çözümlü Örnekler

Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durumlar Sayısı)

• Tüm Olası Durumlar Sayısı: Sınıftaki toplam öğrenci sayısıdır.
• Toplam Öğrenci = Kız Öğrenci Sayısı + Erkek Öğrenci Sayısı
• Toplam Öğrenci = \( 15 + 10 = 25 \)
• İstenen Durum Sayısı: Seçilen öğrencinin kız olması durumudur.
• Kız Öğrenci Sayısı = \( 15 \)
• Şimdi olasılığı hesaplayalım:
• Kız Olma Olasılığı = \( \frac{15}{25} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• Kız Olma Olasılığı = \( \frac{3 \times 5}{5 \times 5} = \frac{3}{5} \)

Sonuç olarak, sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı \( \frac{3}{5} \)'tir. ✅

• Tüm Olası Durumlar: Bir zarın üzerinde 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 rakamları bulunur. Dolayısıyla toplam 6 olası sonuç vardır.
• Tüm Olası Durumlar Sayısı = \( 6 \)
• İstenen Durumlar: Üst yüze gelen sayının tek sayı olmasıdır. Tek sayılar 1, 3 ve 5'tir.
• İstenen Durum Sayısı = \( 3 \)
• Olasılık formülünü uygulayalım:
• Tek Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumlar Sayısı}} \)
• Tek Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{3}{6} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• Tek Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{1}{2} \)

Dolayısıyla, bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 💡

• Öncelikle torbadaki toplam top sayısını bulalım:
• Toplam Top Sayısı = \( 5 (\text{kırmızı}) + 3 (\text{mavi}) + 2 (\text{yeşil}) = 10 \) top
• Şimdi istenen durumu, yani mavi top çekme durumunu belirleyelim:
• Mavi Top Sayısı = \( 3 \)
• Olasılık formülünü kullanarak mavi top çekme olasılığını hesaplayalım:
• Mavi Top Çekme Olasılığı = \( \frac{\text{Mavi Top Sayısı}}{\text{Toplam Top Sayısı}} \)
• Mavi Top Çekme Olasılığı = \( \frac{3}{10} \)

Bu kesir sadeleşemez. Bu nedenle, torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı \( \frac{3}{10} \)'dur. 👍

• Tüm Olası Durumlar: Kutudaki kartlar 1'den 20'ye kadar numaralandırılmıştır. Bu nedenle toplam 20 kart vardır.
• Tüm Olası Durumlar Sayısı = \( 20 \)
• İstenen Durumlar: 1'den 20'ye kadar olan sayılar arasındaki asal sayılardır. Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılardır.
• 1'den 20'ye kadar olan asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
• İstenen Durum Sayısı = \( 8 \)
• Şimdi olasılığı hesaplayalım:
• Asal Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Asal Sayıların Sayısı}}{\text{Toplam Kart Sayısı}} \)
• Asal Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{8}{20} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• Asal Sayı Olma Olasılığı = \( \frac{4 \times 2}{4 \times 5} = \frac{2}{5} \)

Dolayısıyla, çekilen kartın üzerindeki sayının asal sayı olma olasılığı \( \frac{2}{5} \)'tir. 🚀

• Öncelikle marketteki toplam ürün sayısını biliyoruz:
• Toplam Ürün Sayısı = \( 50 \)
• Sebze ve meyve sayısını biliyoruz:
• Sebze Sayısı = \( 20 \)
• Meyve Sayısı = \( 15 \)
• Şimdi süt ürünlerinin sayısını bulalım:
• Süt Ürünü Sayısı = Toplam Ürün Sayısı - (Sebze Sayısı + Meyve Sayısı)
• Süt Ürünü Sayısı = \( 50 - (20 + 15) \)
• Süt Ürünü Sayısı = \( 50 - 35 = 15 \)
• Rastgele seçilen bir ürünün süt ürünü olma olasılığını hesaplayalım:
• Süt Ürünü Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Süt Ürünü Sayısı}}{\text{Toplam Ürün Sayısı}} \)
• Süt Ürünü Olma Olasılığı = \( \frac{15}{50} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• Süt Ürünü Olma Olasılığı = \( \frac{5 \times 3}{5 \times 10} = \frac{3}{10} \)

Yani, rastgele seçilen bir ürünün süt ürünü olma olasılığı \( \frac{3}{10} \)'dur. 🛒

• Tüm Olası Durumlar: Bir madeni parayı 3 kez atmak, \( 2^3 = 8 \) farklı sonuç verir.
• Bu sonuçlar şunlardır:
• YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT
• İstenen Durumlar: En az iki kez yazı gelmesi. Bu, tam olarak iki kez yazı gelmesi veya tam olarak üç kez yazı gelmesi anlamına gelir.
• Tam Olarak İki Kez Yazı Gelenler: YYT, YTY, TYY (3 durum)
• Tam Olarak Üç Kez Yazı Gelenler: YYY (1 durum)
• Toplam İstenen Durum Sayısı = \( 3 + 1 = 4 \)
• Şimdi olasılığı hesaplayalım:
• En Az İki Yazı Gelme Olasılığı = \( \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumlar Sayısı}} \)
• En Az İki Yazı Gelme Olasılığı = \( \frac{4}{8} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• En Az İki Yazı Gelme Olasılığı = \( \frac{1}{2} \)

Bu nedenle, bir madeni parayı 3 kez havaya attığımızda en az iki kez yazı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 🎯

• Başlangıç Durumu: Torbada 4 beyaz ve 6 siyah bilye olmak üzere toplam 10 bilye var.
• İlk Olay: İlk çekilen bilyenin beyaz olması. Bu olay gerçekleştiği için torbadaki bilye sayısı ve beyaz bilye sayısı azalır.
• İlk bilye beyaz olduğunda, torbada kalan bilye sayısı: \( 10 - 1 = 9 \)
• İlk bilye beyaz olduğunda, torbada kalan beyaz bilye sayısı: \( 4 - 1 = 3 \)
• Siyah bilye sayısı değişmez: \( 6 \)
• İkinci Olay: Geri konulmadan çekilen ikinci bilyenin de beyaz olması.
• Bu ikinci olayın olasılığını hesaplarken, ilk olayın gerçekleştiği durumu dikkate alırız.
• İkinci Bilyenin Beyaz Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Kalan Beyaz Bilye Sayısı}}{\text{Kalan Toplam Bilye Sayısı}} \)
• İkinci Bilyenin Beyaz Olma Olasılığı = \( \frac{3}{9} \)
• Bu kesri sadeleştirebiliriz:
• İkinci Bilyenin Beyaz Olma Olasılığı = \( \frac{1}{3} \)

Yani, ilk bilye beyaz ise, geri konulmadan çekilen ikinci bilyenin de beyaz olma olasılığı \( \frac{1}{3} \)'tür. 🧐

• Otoparktaki toplam araç sayısı: \( 30 \)
• Otomobil sayısı: \( 12 \)
• Motosiklet sayısı: \( 10 \)
• Kamyonet sayısı = Toplam Araç Sayısı - (Otomobil Sayısı + Motosiklet Sayısı)
• Kamyonet sayısı = \( 30 - (12 + 10) \)
• Kamyonet sayısı = \( 30 - 22 = 8 \)
• Şimdi verilen olasılık bilgisini kontrol edelim:
• Kamyonet Olma Olasılığı = \( \frac{\text{Kamyonet Sayısı}}{\text{Toplam Araç Sayısı}} \)
• Kamyonet Olma Olasılığı = \( \frac{8}{30} \)
• Bu kesri sadeleştirirsek: \( \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \)
• Soruda verilen olasılık \( \frac{1}{5} \) idi. Bu durumda, soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Ancak soruyu verilen olasılığa göre yeniden yorumlayalım:
• Eğer kamyonet olma olasılığı \( \frac{1}{5} \) ise ve toplam araç sayısı 30 ise, kamyonet sayısını bulmak için şu işlemi yaparız:
• Kamyonet Sayısı = Olasılık \( \times \) Toplam Araç Sayısı
• Kamyonet Sayısı = \( \frac{1}{5} \times 30 \)
• Kamyonet Sayısı = \( \frac{30}{5} = 6 \)
• Bu durumda, otoparktaki kamyonet sayısı 6 olmalıdır.
• Kontrol edelim: Eğer 6 kamyonet varsa, toplam araç sayısı \( 12 (\text{otomobil}) + 10 (\text{motosiklet}) + 6 (\text{kamyonet}) = 28 \) olur. Bu da başlangıçtaki 30 araç sayısı ile çelişmektedir.
• Soruyu "Eğer otoparktaki araçların \( \frac{1}{5} \)'i kamyonet ise, kamyonet sayısı kaçtır?" şeklinde anlarsak:
• Kamyonet Sayısı = \( \frac{1}{5} \times 30 = 6 \)
• Bu durumda, otoparktaki kamyonet sayısı 6'dır. Sorunun yapısı gereği, verilen olasılık bilgisiyle araç sayılarının toplamı arasında bir uyum olması beklenir. Eğer soruda verilen sayılar doğruysa, kamyonet sayısı 8 olmalı ve olasılığı \( \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \) olmalıdır. Ancak soruda olasılık \( \frac{1}{5} \) olarak verilmiş ve bu olasılığa göre kamyonet sayısının 6 olması gerektiği ima edilmiştir.
• Sorunun en olası yorumu, verilen olasılık \( \frac{1}{5} \) bilgisinin doğru olduğu ve buna göre kamyonet sayısının bulunması gerektiğidir.
• Kamyonet Sayısı = \( \frac{1}{5} \times 30 = 6 \)

Bu durumda, otoparktaki kamyonet sayısı 6'dır. 🚛