💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritması Ve Bilişim Çözümlü Örnekler

Bu problem, farklı seçimlerin bir araya gelmesiyle oluşan toplam seçenek sayısını bulmak için çarpma prensibini kullanmamızı gerektirir. 💡

• Çorba seçimi için 3 farklı seçenek vardır.
• Ana yemek seçimi için 5 farklı seçenek vardır.
• Tatlı seçimi için 2 farklı seçenek vardır.

Toplam menü sayısını bulmak için bu seçenek sayılarını çarparız:

\[ 3 \times 5 \times 2 \]

İşlemi yapalım:

\[ 3 \times 5 \times 2 = 30 \]

✅ Sonuç: Bir müşteri, 30 farklı menü oluşturabilir.

Bu tür harf yerleştirme problemlerinde tekrarlı permütasyon kullanırız. 📌 İlk olarak kelimedeki toplam harf sayısını ve tekrar eden harfleri belirleyelim.

• Kelime: MATEMATİK
• Toplam harf sayısı \( n = 8 \)

Şimdi tekrar eden harfleri ve tekrar sayılarını bulalım:

• M harfi: 2 kez tekrarlanıyor (M, M)
• A harfi: 2 kez tekrarlanıyor (A, A)
• T harfi: 2 kez tekrarlanıyor (T, T)
• E harfi: 1 kez tekrarlanıyor
• İ harfi: 1 kez tekrarlanıyor
• K harfi: 1 kez tekrarlanıyor

Tekrarlı permütasyon formülü:

\[ \frac{n!}{r_1! \times r_2! \times ... \times r_k!} \]

Burada \( n \) toplam eleman sayısı, \( r_1, r_2, ... \) ise tekrar eden elemanların sayılarıdır.

Formülü uygulayalım:

\[ \frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} \]

Hesaplamayı yapalım:

• \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \)
• \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)

Değerleri yerine koyarsak:

\[ \frac{40320}{2 \times 2 \times 2} = \frac{40320}{8} = 5040 \]

✅ Sonuç: "MATEMATİK" kelimesinin harfleriyle 5040 farklı 8 harfli kelime oluşturulabilir.

Bu problemde, A'dan B'ye ve B'den C'ye gitmek için farklı ulaşım yöntemlerini birleştirerek toplam yol sayısını bulacağız. Burada toplama ve çarpma prensipleri birlikte kullanılacaktır.

• A şehrinden B şehrine ulaşım seçenekleri:
  • Havayolu: 2 seçenek
  • Otobüs firması: 3 seçenek

  A'dan B'ye gitmek için toplam seçenek sayısı (toplama prensibi): \( 2 + 3 = 5 \) yol.

• B şehrinden C şehrine ulaşım seçenekleri:
  • Tren yolu: 1 seçenek
  • Deniz yolu: 4 seçenek

  B'den C'ye gitmek için toplam seçenek sayısı (toplama prensibi): \( 1 + 4 = 5 \) yol.

Şimdi A'dan B'ye ve B'den C'ye giden yolları birleştirerek A'dan C'ye toplam kaç farklı yolla gidilebileceğini bulmak için çarpma prensibini kullanırız:

\[ 5 \times 5 = 25 \]

✅ Sonuç: A şehrinden C şehrine 25 farklı yolla gidilebilir.

Bu problemde, belirli koşulları sağlayan sayıları oluşturmamız gerekiyor: 1. Sayı üç basamaklı olmalı. 2. Rakamları farklı olmalı. 3. Sayı tek olmalı. 👉 Tek sayı olması koşulu, birler basamağını sınırlar. Tek rakamlar \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \) kümesidir. 👉 Üç basamaklı olması koşulu, yüzler basamağının 0 olamayacağını belirtir. Şimdi basamakları tek tek inceleyelim:

• 1. Adım: Birler Basamağı (Tek sayı koşulu)

  Birler basamağı tek rakamlardan biri olmalıdır. Bu rakamlar: \( \{1, 3, 5, 7, 9\} \). Toplam 5 seçeneğimiz var.

• 2. Adım: Yüzler Basamağı (Rakamları farklı ve 0 olamaz koşulu)

  Toplam 10 rakamdan birini birler basamağında kullandık. Geriye 9 rakam kaldı. Ancak yüzler basamağı 0 olamaz. Bu yüzden, birler basamağında kullanılan rakam 0 değilse (ki tek rakamlar 0 değildir), 0'ı da çıkararak 8 seçenek kalır. Eğer birler basamağında kullanılan rakam 0 olsaydı 9 seçenekten 1'i eksilecekti. Burada tek rakamlar 0 olmadığı için, 0 ve birler basamağındaki rakam hariç 8 seçenek kalır.

• 3. Adım: Onlar Basamağı (Rakamları farklı koşulu)

  Toplam 10 rakamdan iki tanesini (birler ve yüzler basamağında) kullandık. Geriye kalan 8 rakamdan herhangi birini onlar basamağına yazabiliriz.

Şimdi bu seçenekleri çarpalım:

\[ 8 \times 8 \times 5 = 320 \]

✅ Sonuç: Rakamları farklı 320 tane üç basamaklı tek doğal sayı yazılabilir.

Bu bir permütasyon problemidir ve her basamak için ayrı ayrı seçim sayılarını belirleyip çarpma prensibini uygulayacağız. Toplam 8 karakterimiz var.

• Kullanılabilir karakter kümesi:
  • Büyük harfler: 26 adet (A-Z)
  • Rakamlar: 10 adet (0-9)
  • Toplam: \( 26 + 10 = 36 \) farklı karakter

Şimdi şifrenin karakterlerini sırayla dolduralım:

• 1. Karakter (İlk karakter - Büyük Harf):

  26 büyük harften biri olmalı. 👉 26 seçenek.

• 8. Karakter (Son karakter - Rakam):

  10 rakamdan biri olmalı. Ancak ilk karakterde kullanılan büyük harf, rakam kümesini etkilemez. Ama sonraki karakterlerde kullanılacak toplam karakter sayısını etkileyecek. Bu karakteri şimdilik ayrı tutalım.

  Geriye kalan 7 karakter için kullanılabilir 35 karakter var (toplam 36'dan ilk karakteri çıkarınca). Şimdi 8. karakteri seçelim. 10 rakamdan birini seçeceğiz. Daha sonraki adımlarda bu rakamı ve ilk harfi hariç tutacağız. 👉 10 seçenek.

• 2. Karakterden 7. Karaktere kadar (Diğer 6 karakter):

  İlk karakter (büyük harf) ve son karakter (rakam) belirlendi. Bu iki karakter birbirinden farklıdır. Toplam 36 karakterden 2 tanesi kullanıldığı için geriye \( 36 - 2 = 34 \) karakter kalır. Bu 34 karakterden 6 tanesini, kalan 6 pozisyona sıralayarak yerleştirmeliyiz (tekrar etmeme koşulu var).

  Bu bir permütasyon işlemidir: \( P(34, 6) \).

  \[ P(34, 6) = \frac{34!}{(34-6)!} = \frac{34!}{28!} \] \[ P(34, 6) = 34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29 \]

  Bu çarpımı hesaplayalım:

  \[ 34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29 = 1.344.904.320 \]

Şimdi tüm bu seçenekleri çarpalım:

\[ \text{Toplam Şifre Sayısı} = (\text{İlk Karakter Seçeneği}) \times (\text{Son Karakter Seçeneği}) \times (\text{Geri Kalan 6 Karakterin Sıralaması}) \] \[ \text{Toplam Şifre Sayısı} = 26 \times 10 \times P(34, 6) \] \[ \text{Toplam Şifre Sayısı} = 26 \times 10 \times 1.344.904.320 \] \[ \text{Toplam Şifre Sayısı} = 260 \times 1.344.904.320 = 349.675.123.200 \]

✅ Sonuç: Ayşe, bu kurallara göre 349.675.123.200 farklı şifre oluşturabilir.

Bu problemde, belirli sayıda kişiyi bir gruptan seçmemiz gerekiyor ve sıralama önemli değil. Bu yüzden kombinasyon kullanacağız. 💡 Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

• Kız öğrenci seçimi:

  8 kız öğrenci arasından 2 kız öğrenci seçeceğiz. Bu, \( C(8, 2) \) şeklinde hesaplanır.

  \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} \] \[ C(8, 2) = \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \]

  Yani, 28 farklı şekilde 2 kız öğrenci seçilebilir.

• Erkek öğrenci seçimi:

  6 erkek öğrenci arasından 1 erkek öğrenci seçeceğiz. Bu, \( C(6, 1) \) şeklinde hesaplanır.

  \[ C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} \] \[ C(6, 1) = \frac{6 \times 5!}{1 \times 5!} = \frac{6}{1} = 6 \]

  Yani, 6 farklı şekilde 1 erkek öğrenci seçilebilir.

Komisyonun hem 2 kız hem de 1 erkek öğrenciden oluşması gerektiği için, bu iki seçeneği çarpma prensibiyle birleştiririz:

\[ \text{Toplam Komisyon Sayısı} = C(8, 2) \times C(6, 1) \] \[ \text{Toplam Komisyon Sayısı} = 28 \times 6 = 168 \]

✅ Sonuç: Bu şartlarda 168 farklı komisyon oluşturulabilir.

Bu problemde, plaka kodunun harf ve rakam kısımlarını ayrı ayrı hesaplayıp sonra çarpma prensibiyle birleştireceğiz.

• Harf Kısmı (XX):

  İlk harf için 26 seçenek var (A-Z). İkinci harf için de 26 seçenek var çünkü harflerin birbirinden farklı olması zorunluluğu belirtilmemiş (soruda "birbirinden farklı olabilir" deniyor, yani aynı da olabilir). Ancak sorudaki "rakamlar birbirinden farklı olmak zorundadır" ifadesi, harfler için böyle bir kısıt olmadığını ima eder. Eğer harfler de farklı olsaydı belirtilirdi. Bu durumda harfler tekrar edebilir.

  • 1. harf: 26 seçenek
  • 2. harf: 26 seçenek

  Harf kısmı için toplam seçenek: \( 26 \times 26 = 676 \).

• Rakam Kısmı (YYY):

  Üç basamaklı rakam kısmı ve rakamlar birbirinden farklı olmak zorunda.

  • 1. rakam: 10 seçenek (0-9)
  • 2. rakam: İlk rakamdan farklı olmalı, bu yüzden geriye 9 seçenek kalır.
  • 3. rakam: İlk iki rakamdan farklı olmalı, bu yüzden geriye 8 seçenek kalır.

  Rakam kısmı için toplam seçenek: \( 10 \times 9 \times 8 = 720 \).

Toplam plaka kodu sayısını bulmak için harf ve rakam kısımlarının seçeneklerini çarparız:

\[ \text{Toplam Plaka Sayısı} = (\text{Harf Kısmı Seçeneği}) \times (\text{Rakam Kısmı Seçeneği}) \] \[ \text{Toplam Plaka Sayısı} = 676 \times 720 \] \[ \text{Toplam Plaka Sayısı} = 486.720 \]

✅ Sonuç: Bu ilde 486.720 farklı plaka kodu oluşturulabilir.

Bu problemde, karakter özelleştirme seçeneklerinin toplam sayısını bulmak için çarpma prensibini kullanacağız. Her bir özellik için mevcut seçenek sayısını belirleyip çarpmamız yeterlidir.

• Saç modeli: 5 farklı seçenek
• Göz rengi: 4 farklı seçenek
• Ten rengi: 3 farklı seçenek
• Kıyafet seti: 2 farklı seçenek
• Gözlük: İsteğe bağlı olduğu için 2 seçenek vardır (gözlük tak veya takma).

Tüm bu bağımsız seçenekleri birbiriyle çarparak toplam özelleştirme sayısını buluruz:

\[ \text{Toplam Özelleştirme Sayısı} = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 2 \]

Hesaplamayı yapalım:

\[ 5 \times 4 = 20 \] \[ 20 \times 3 = 60 \] \[ 60 \times 2 = 120 \] \[ 120 \times 2 = 240 \]

✅ Sonuç: Bir oyuncu, karakterini 240 farklı şekilde özelleştirebilir.

Bu problemde, 5 farklı şehrin ziyaret edilme sıralaması sorulmaktadır. Her şehrin bir kez ve farklı bir sırada ziyaret edilmesi gerektiği için bu bir permütasyon problemidir, daha doğrusu faktöriyel uygulamasıdır.

• Toplam şehir sayısı \( n = 5 \).
• Bu 5 şehri farklı sıralarla ziyaret etmek, 5 elemanın kendi aralarında sıralanması demektir.

Bu durum, \( n! \) (n faktöriyel) ile hesaplanır.

\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \]

Hesaplamayı yapalım:

\[ 5 \times 4 = 20 \] \[ 20 \times 3 = 60 \] \[ 60 \times 2 = 120 \] \[ 120 \times 1 = 120 \]

✅ Sonuç: Otobüs firması bu 5 şehre 120 farklı güzergah sırasıyla uğrayabilir.