🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma algoritmaları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayma algoritmaları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 15 kız ve 12 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele seçilecek bir öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır? 👧
Çözüm:
- Öncelikle sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım: 15 kız + 12 erkek = 27 öğrenci.
- İstenen durum, seçilen öğrencinin kız olmasıdır. Bu durum için 15 farklı seçenek vardır.
- Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına oranıdır.
- Kız öğrenci seçme olasılığı = (Kız öğrenci sayısı) / (Toplam öğrenci sayısı)
- Olasılık = \( \frac{15}{27} \)
- Bu kesri sadeleştirebiliriz: \( \frac{15 \div 3}{27 \div 3} = \frac{5}{9} \)
Örnek 2:
5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı arasından 2 matematik ve 1 fizik kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? 📚
Çözüm:
- Öncelikle 5 matematik kitabı arasından 2 matematik kitabı seçme işlemini yapalım. Bu, kombinasyon ile hesaplanır: C(5, 2)
- C(n, k) = \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \) formülü ile hesaplanır.
- C(5, 2) = \( \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \) farklı şekilde seçilebilir.
- Şimdi 3 fizik kitabı arasından 1 fizik kitabı seçme işlemini yapalım: C(3, 1)
- C(3, 1) = \( \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3!}{1!2!} = \frac{(3 \times 2 \times 1)}{(1) \times (2 \times 1)} = 3 \) farklı şekilde seçilebilir.
- Seçimler birbirinden bağımsız olduğu için, toplam farklı seçim sayısı bu iki sonucun çarpımıdır.
- Toplam farklı seçim = C(5, 2) \( \times \) C(3, 1) = 10 \( \times \) 3 = 30
Örnek 3:
Belirli bir kelimenin harflerinin yerleri değiştirilerek kaç farklı kelime yazılabileceğini hesaplayalım. Örneğin, "ANKARA" kelimesinin harfleri kullanılarak kaç farklı kelime oluşturulabilir? 🔠
Çözüm:
- Öncelikle kelimenin toplam harf sayısını bulalım. "ANKARA" kelimesinde 6 harf vardır.
- Eğer kelimede tekrar eden harf olmasaydı, harf sayısı kadar faktöriyel ile hesaplanırdı: 6!
- Ancak "ANKARA" kelimesinde 'A' harfi 2 kez tekrar etmektedir.
- Tekrar eden harflerin sayısına göre faktöriyele böleriz.
- Toplam farklı kelime sayısı = \( \frac{(\text{Toplam harf sayısı})!}{(\text{Tekrar eden harf sayısı})!} \)
- Sayılar yerine koyarsak: \( \frac{6!}{2!} \)
- 6! = \( 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \)
- 2! = \( 2 \times 1 = 2 \)
- Farklı kelime sayısı = \( \frac{720}{2} = 360 \)
Örnek 4:
Bir torbada 3 kırmızı, 4 mavi ve 2 yeşil top bulunmaktadır. Torbadan rastgele çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığı kaçtır? 🔴🔵
Çözüm:
- Öncelikle torbadaki toplam top sayısını bulalım: 3 + 4 + 2 = 9 top.
- İki top çekildiğinde oluşabilecek toplam durum sayısını hesaplayalım: C(9, 2)
- C(9, 2) = \( \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36 \)
- Şimdi istenen durumu, yani çekilen iki topun farklı renkte olma durumlarını inceleyelim. Bu durumlar şunlardır:
- Kırmızı ve Mavi: C(3, 1) \( \times \) C(4, 1) = 3 \( \times \) 4 = 12
- Kırmızı ve Yeşil: C(3, 1) \( \times \) C(2, 1) = 3 \( \times \) 2 = 6
- Mavi ve Yeşil: C(4, 1) \( \times \) C(2, 1) = 4 \( \times \) 2 = 8
- Farklı renkte olma durumlarının toplamı: 12 + 6 + 8 = 26
- Farklı renkte olma olasılığı = (Farklı renk durum sayısı) / (Toplam durum sayısı)
- Olasılık = \( \frac{26}{36} \)
- Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{26 \div 2}{36 \div 2} = \frac{13}{18} \)
Örnek 5:
Bir davete katılan 7 arkadaş, birbirleriyle tokalaşacaktır. Herkes herkesle yalnızca bir kez tokalaştığına göre, toplam kaç tokalaşma gerçekleşir? 👋
Çözüm:
- Bu problem, 7 kişi arasından 2 kişi seçerek tokalaşma durumunu hesaplamaya benzer.
- Her tokalaşma, iki kişi arasındaki bir etkileşimdir ve sıra önemli değildir (Ali'nin Veli ile tokalaşması ile Veli'nin Ali ile tokalaşması aynıdır). Bu nedenle kombinasyon kullanırız.
- Toplam tokalaşma sayısı = C(7, 2)
- C(7, 2) = \( \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} = \frac{(7 \times 6)}{(2 \times 1)} = \frac{42}{2} = 21 \)
Örnek 6:
Bir restaurantta 4 çeşit ana yemek, 3 çeşit salata ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir öğün için bir ana yemek, bir salata ve bir tatlı seçmek isteyen bir müşteri kaç farklı menü oluşturabilir? 🍽️
Çözüm:
- Müşterinin seçimi üç aşamadan oluşmaktadır: Ana yemek, salata ve tatlı.
- Ana yemek seçimi için 4 farklı seçenek vardır.
- Salata seçimi için 3 farklı seçenek vardır.
- Tatlı seçimi için 2 farklı seçenek vardır.
- Bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için, toplam farklı menü sayısı bu seçeneklerin çarpımı ile bulunur (Çarpma Kuralı).
- Toplam farklı menü sayısı = (Ana yemek seçeneği) \( \times \) (Salata seçeneği) \( \times \) (Tatlı seçeneği)
- Toplam farklı menü sayısı = 4 \( \times \) 3 \( \times \) 2 = 24
Örnek 7:
4 farklı matematik ve 2 farklı kimya kitabı bir rafta dizilecektir. Matematik kitaplarının yan yana olma olasılığı kaçtır? 📖
Çözüm:
- Öncelikle tüm kitapların kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulalım. Toplam 4 + 2 = 6 kitap var.
- 6 kitap, 6! farklı şekilde dizilebilir. 6! = 720.
- Şimdi matematik kitaplarının yan yana olduğu durumu inceleyelim. Matematik kitaplarını bir bütün olarak düşünelim.
- Bu durumda 1 bütün (matematikler) + 2 kimya kitabı = 3 birim olur. Bu 3 birim, 3! farklı şekilde dizilebilir. 3! = 6.
- Matematik kitapları kendi içlerinde de yer değiştirebilir. 4 matematik kitabı 4! farklı şekilde dizilebilir. 4! = 24.
- Matematiklerin yan yana olduğu toplam dizilim sayısı = (Birimlerin dizilişi) \( \times \) (Matematiklerin kendi içindeki dizilişi) = 3! \( \times \) 4! = 6 \( \times \) 24 = 144.
- Matematik kitaplarının yan yana olma olasılığı = (Matematiklerin yan yana olduğu durum sayısı) / (Tüm durum sayısı)
- Olasılık = \( \frac{144}{720} \)
- Bu kesri sadeleştirelim: \( \frac{144}{720} = \frac{1}{5} \)
Örnek 8:
Bir zar ve bir madeni para aynı anda atılıyor. Zarın tek sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi olasılığı kaçtır? 🎲🪙
Çözüm:
- İlk olarak zarın atılması olayını inceleyelim. Bir zarda 6 yüz vardır ve tek sayılar 1, 3, 5'tir.
- Zarın tek sayı gelme olasılığı = (Tek sayı adedi) / (Toplam yüz sayısı) = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
- Şimdi madeni paranın atılması olayını inceleyelim. Bir madeni parada yazı ve tura olmak üzere 2 yüz vardır.
- Paranın tura gelme olasılığı = (Tura sayısı) / (Toplam yüz sayısı) = \( \frac{1}{2} \)
- Bu iki olay birbirinden bağımsızdır. Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir.
- Zarın tek sayı gelmesi VE paranın tura gelmesi olasılığı = (Zarın tek sayı gelme olasılığı) \( \times \) (Paranın tura gelme olasılığı)
- Olasılık = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayma-algoritmalari/sorular