💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritmaları Ve Bilişim Çözümlü Örnekler

Otobüsle gitmek ve metroyla gitmek birbirini dışlayan olaylardır. Yani, öğrenci aynı anda hem otobüs hem de metroyla gidemez. Bu durumda toplama yoluyla sayma prensibini kullanırız.

• 🚌 Otobüs yollarının sayısı = \( 3 \)
• 🚇 Metro yollarının sayısı = \( 2 \)
• Toplam farklı yol sayısı = \( 3 + 2 = 5 \)

Öğrenci kütüphaneye 5 farklı yolla gidebilir. ✅

Müşteri çorba, ana yemek ve tatlı seçimlerini birbirinden bağımsız olarak yapabilir. Bu durumda çarpma yoluyla sayma prensibini kullanırız.

• 🥣 Çorba seçimi için \( 4 \) seçenek var.
• 🍽️ Ana yemek seçimi için \( 5 \) seçenek var.
• 🍰 Tatlı seçimi için \( 3 \) seçenek var.
• Toplam menü seçimi = \( 4 \times 5 \times 3 \)
• Toplam menü seçimi = \( 20 \times 3 = 60 \)

Müşteri menüyü 60 farklı şekilde seçebilir. ✅

Bu bir sıralama problemidir, yani permütasyon kullanırız. Elimizdeki 5 farklı nesneyi 5 farklı yere sıralayacağız.

• 📚 İlk kitap için \( 5 \) yer seçeneği var.
• 📚 İkinci kitap için kalan \( 4 \) yer seçeneği var.
• 📚 Üçüncü kitap için kalan \( 3 \) yer seçeneği var.
• 📚 Dördüncü kitap için kalan \( 2 \) yer seçeneği var.
• 📚 Beşinci kitap için kalan \( 1 \) yer seçeneği var.
• Toplam diziliş sayısı = \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \)

Bu ifade 5 faktöriyel olarak adlandırılır ve \( 5! \) ile gösterilir.

5 farklı kitap rafa 120 farklı şekilde dizilebilir. ✅

Bu bir seçme problemidir, sıralamanın önemi yoktur. Yani kombinasyon kullanırız. \( n \) elemanlı bir kümeden \( r \) elemanlı bir alt küme seçme sayısı \( C(n,r) \) veya \( \binom{n}{r} \) ile gösterilir.

• Toplam öğrenci sayısı \( n = 10 \)
• Seçilecek öğrenci sayısı \( r = 3 \)

Kombinasyon formülü: \( C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \)

\( 7! \) ifadeleri sadeleşir:

3 kişilik bir ekip 120 farklı şekilde seçilebilir. ✅

📌 Toplam 10 farklı rakam vardır: \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).

a) Rakamların birbirinden farklı olması koşuluyla:

• Birinci hane için \( 10 \) seçenek var.
• İkinci hane için (birinci haneden farklı olacağı için) \( 9 \) seçenek var.
• Üçüncü hane için (ilk ikiden farklı olacağı için) \( 8 \) seçenek var.
• Dördüncü hane için (ilk üçten farklı olacağı için) \( 7 \) seçenek var.
• Toplam şifre sayısı = \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 \)
\[ 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040 \]

Bu durumda 5040 farklı şifre oluşturulabilir.

b) Rakamların birbirinden farklı olması zorunluluğu yoksa:

• Birinci hane için \( 10 \) seçenek var.
• İkinci hane için \( 10 \) seçenek var (rakamlar tekrarlanabilir).
• Üçüncü hane için \( 10 \) seçenek var.
• Dördüncü hane için \( 10 \) seçenek var.
• Toplam şifre sayısı = \( 10 \times 10 \times 10 \times 10 \)
\[ 10^4 = 10000 \]

Bu durumda 10000 farklı şifre oluşturulabilir. ✅

💡 Gördüğünüz gibi, rakamların tekrarlanabilmesi şifre güvenliğini artırır çünkü daha fazla kombinasyon sağlar.

📌 Toplam öğrenci sayısı \( n = 12 \).

a) İlk üç dereceye giren öğrencilerin belirlenmesi (Sıralama önemlidir - Permütasyon):

• Birinci seçilecek öğrenci için \( 12 \) seçenek var.
• İkinci seçilecek öğrenci için kalan \( 11 \) seçenek var.
• Üçüncü seçilecek öğrenci için kalan \( 10 \) seçenek var.
• Bu durum bir permütasyondur: \( P(12,3) \).
\[ P(12,3) = 12 \times 11 \times 10 = 1320 \]

İlk üç derece 1320 farklı şekilde belirlenebilir.

b) Ödül alacak 3 öğrencinin seçilmesi (Sıralama önemli değildir - Kombinasyon):

• Bu durum bir kombinasyondur: \( C(12,3) \).
\[ C(12,3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} \] \[ C(12,3) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3 \times 2 \times 1 \times 9!} \]

\( 9! \) ifadeleri sadeleşir:

Ödül alacak 3 öğrenci 220 farklı şekilde seçilebilir. ✅

💡 Gördüğünüz gibi, sıralamanın önemli olup olmaması sonucu büyük ölçüde değiştirmektedir!

👧 Kız öğrencilerin yan yana olması gerektiği için, 4 kızı tek bir "blok" veya "grup" olarak düşünebiliriz.

• Bu durumda elimizde 1 kız bloğu ve 3 erkek öğrenci olmak üzere toplam \( 1 + 3 = 4 \) nesne varmış gibi düşünebiliriz.
• Bu 4 nesne kendi aralarında \( 4! \) farklı şekilde sıralanabilir.
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
• Ancak, kızlar bloğunun içindeki 4 kız öğrenci de kendi aralarında yer değiştirebilir.
• 4 kız öğrenci kendi aralarında \( 4! \) farklı şekilde sıralanabilir.
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
• Toplam sıralama sayısını bulmak için bu iki durumu çarparız:
• Toplam sıralama = (Kız bloğu ve erkeklerin sıralanması) \( \times \) (Kızların kendi içindeki sıralanması)
• Toplam sıralama = \( 4! \times 4! \)
\[ 24 \times 24 = 576 \]

Kızlar yan yana olmak şartıyla 576 farklı şekilde oturabilirler. ✅

• 🥪 Sandviç seçimi: En az bir sandviç seçilmesi gerekiyor. 6 sandviçten 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 tanesi seçilebilir. Bu, tüm sandviç seçim durumlarından (hiç seçmeme dahil) hiç sandviç seçmeme durumunu çıkarmakla aynıdır.
• Toplam sandviç seçme yolu (hiç seçmeme dahil) = \( 2^6 \) (Her sandviç için iki durum var: seçilir veya seçilmez.)
\[ 2^6 = 64 \]
• Hiç sandviç seçmeme durumu = \( 1 \)
• En az bir sandviç seçme yolu = \( 2^6 - 1 = 64 - 1 = 63 \)


• 🥤 İçecek seçimi: En az bir içecek seçilmesi gerekiyor. Benzer şekilde, 3 içecekten en az birini seçme yolu:
• Toplam içecek seçme yolu (hiç seçmeme dahil) = \( 2^3 \)
\[ 2^3 = 8 \]
• Hiç içecek seçmeme durumu = \( 1 \)
• En az bir içecek seçme yolu = \( 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 \)


• 🥗 Salata seçimi: Salata seçimi isteğe bağlıdır. 4 salata arasından hiç seçmeyebilir, 1 tane, 2 tane, 3 tane veya 4 tane seçebilir.
• Toplam salata seçme yolu (hiç seçmeme dahil) = \( 2^4 \)
\[ 2^4 = 16 \]

Tüm bu seçimler birbirinden bağımsız olduğu için çarpma yoluyla sayma prensibini kullanırız.

• Toplam sipariş verme şekli = (En az bir sandviç seçme yolu) \( \times \) (Salata seçme yolu) \( \times \) (En az bir içecek seçme yolu)
• Toplam sipariş verme şekli = \( 63 \times 16 \times 7 \)
\[ 63 \times 16 \times 7 = 7056 \]

Müşteri 7056 farklı şekilde sipariş verebilir. ✅