📄 10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritmaları Ve Bilişim Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Toplam öğrenci sayısı \(6+4=10\)'dur.
a) 1 başkan ve 1 başkan yardımcısı seçimi sıra önemli olduğu için permütasyon veya çarpma yoluyla sayma ile yapılır. İlk olarak 10 öğrenciden bir başkan seçilir (10 seçenek). Kalan 9 öğrenciden bir başkan yardımcısı seçilir (9 seçenek). Bu durumda toplam seçim sayısı \(10 \times 9 = 90\) farklı şekilde olur. Veya \(P(10,2) = \frac{10!}{(10-2)!} = \frac{10!}{8!} = 10 \times 9 = 90\) farklı şekilde seçilebilir.
b) 3 kişilik bir komite seçimi sıra önemli olmadığı için kombinasyon ile yapılır. Toplam 10 öğrenciden 3 kişi seçilecektir. Bu durumda \(C(10,3) = \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120\) farklı şekilde seçilebilir.
c) 2'si kız, 1'i erkek olmak üzere 3 kişilik bir komite seçimi için kızlar kendi aralarında, erkekler kendi aralarında seçilir ve sonuçlar çarpılır. 6 kız öğrenci arasından 2 kız \(C(6,2) = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\) farklı şekilde seçilir. 4 erkek öğrenci arasından 1 erkek \(C(4,1) = \binom{4}{1} = 4\) farklı şekilde seçilir. Bu seçimler birlikte gerçekleştiği için çarpma yoluyla sayma ilkesi kullanılır: \(15 \times 4 = 60\) farklı şekilde seçilebilir.

💡 Çözüm Adımları:

"MATEMATIK" kelimesinde toplam 9 harf bulunmaktadır.
Bu harflerin tekrarlarına bakalım:
- M harfi 2 kez tekrar ediyor.
- A harfi 2 kez tekrar ediyor.
- T harfi 2 kez tekrar ediyor.
- E, I, K harfleri 1'er kez tekrar ediyor.
Tekrarlı permütasyon formülü kullanılarak bu harflerle oluşturulabilecek farklı kelime sayısı bulunur:
\(P_{tekrar}(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}\)
Burada \(n=9\) (toplam harf sayısı), \(n_M=2\), \(n_A=2\), \(n_T=2\).
O halde, \(\frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360\) farklı kelime yazılabilir.

💡 Çözüm Adımları:

a) Bir içecek seçimi, meyve sularından veya sodalardan birinin seçilmesi anlamına gelir. Bu olaylar ayrık olduğu için toplama yoluyla sayma ilkesi kullanılır: \(5 \text{ (meyve suyu)} + 4 \text{ (soda)} = 9\) farklı şekilde seçilebilir.
b) Bir meyve suyu ve bir soda seçimi, her iki olayın da gerçekleşmesi gerektiği anlamına gelir. Bu olaylar birlikte gerçekleştiği için çarpma yoluyla sayma ilkesi kullanılır: \(5 \text{ (meyve suyu)} \times 4 \text{ (soda)} = 20\) farklı şekilde seçilebilir.