🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritma Ve Bilişim Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayma Algoritma Ve Bilişim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir öğrencinin kütüphanesinde 📚 5 farklı matematik kitabı ve 3 farklı fizik kitabı bulunmaktadır. Bu öğrenci, bir gün içinde kütüphanesinden bir matematik kitabı veya bir fizik kitabı seçmek isterse, kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm:
Matematik kitabı seçme olayı ve fizik kitabı seçme olayı birbirinden bağımsız ve aynı anda gerçekleşemediği için toplama yoluyla sayma prensibini kullanırız.
- Matematik kitabı seçme sayısı: 5
- Fizik kitabı seçme sayısı: 3
- Toplam seçim sayısı: \( 5 + 3 = 8 \)
Örnek 2:
Bir restoranda 🍽️ 4 çeşit ana yemek, 3 çeşit salata ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir müşteri, menüden bir ana yemek, bir salata ve bir tatlı seçerek kaç farklı menü oluşturabilir?
Çözüm:
Her bir seçimin diğerinden bağımsız olduğu ve tüm seçimlerin bir arada yapıldığı durumlarda çarpma yoluyla sayma prensibini kullanırız.
- Ana yemek seçimi sayısı: 4
- Salata seçimi sayısı: 3
- Tatlı seçimi sayısı: 2
- Oluşturulabilecek toplam menü sayısı: \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)
Örnek 3:
5 farklı kitabın 📚 bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizilebileceğini bulunuz.
Çözüm:
Bu, n farklı nesnenin n farklı yere sıralanması problemidir. Permütasyon formülü kullanılır.
- Toplam kitap sayısı (n): 5
- Sıralama sayısı \( P(n, n) = n! \) ile bulunur.
- Yani, \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)
Örnek 4:
"ANNE" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek anlamlı veya anlamsız 📝 kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm:
Bu bir tekrarlı permütasyon problemidir. Kelimenin toplam harf sayısı ve tekrar eden harfler önemlidir.
- Kelimenin toplam harf sayısı (n): 4 (A, N, N, E)
- Tekrar eden harfler: 'N' harfi 2 kez tekrar ediyor.
- Kullanılacak formül: \[ frac{n!}{r_1! \times r_2! \times ... \times r_k!} \]
- Bu durumda: \( frac{4!}{2!} = frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = frac{24}{2} = 12 \)
Örnek 5:
Bir sınıfta 🧑🎓 10 öğrenci bulunmaktadır. Bu öğrencilerden 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm:
Bu, n farklı elemandan r tanesini seçme problemidir ve sıralama önemli olmadığı için kombinasyon formülü kullanılır.
- Toplam öğrenci sayısı (n): 10
- Seçilecek öğrenci sayısı (r): 3
- Kullanılacak formül: \[ C(n, r) = binom{n}{r} = frac{n!}{r!(n-r)!} \]
- Yani, \( C(10, 3) = binom{10}{3} = frac{10!}{3!(10-3)!} = frac{10!}{3!7!} \)
- \( = frac{10 \times 9 \times 8 times 7!}{3 \times 2 \times 1 times 7!} = frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120 \)
Örnek 6:
5 erkek ve 4 kız öğrenci arasından, 2 erkek ve 2 kız öğrenciden oluşan 👫 4 kişilik bir komisyon kaç farklı şekilde oluşturulabilir?
Çözüm:
Bu problemde, erkekler kendi aralarında, kızlar kendi aralarında seçilir ve bu seçimler çarpma yoluyla birleştirilir.
- Erkek öğrenci sayısı: 5, Seçilecek erkek sayısı: 2
- Erkekleri seçme sayısı: \( C(5, 2) = binom{5}{2} = frac{5!}{2!(5-2)!} = frac{5!}{2!3!} = frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!} = frac{20}{2} = 10 \)
- Kız öğrenci sayısı: 4, Seçilecek kız sayısı: 2
- Kızları seçme sayısı: \( C(4, 2) = binom{4}{2} = frac{4!}{2!(4-2)!} = frac{4!}{2!2!} = frac{4 \times 3 \times 2!}{2 \times 1 \times 2!} = frac{12}{2} = 6 \)
- Toplam komisyon oluşturma sayısı: \( 10 \times 6 = 60 \)
Örnek 7:
Bir giyim mağazasında 👕 3 farklı renkte tişört (kırmızı, mavi, yeşil), 2 farklı renkte pantolon (kırmızı, siyah) ve 4 farklı renkte ayakkabı bulunmaktadır. Bir kişi, bu mağazadan bir tişört, bir pantolon ve bir ayakkabı alacaktır. Ancak, tişört ve pantolonun aynı renkte olmama şartı vardır. Kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm:
Bu problemde hem çarpma yoluyla sayma hem de şartlı durumlar mevcuttur. Tüm durumları hesaplayıp, istenmeyen durumları çıkarabiliriz.
- 1. Adım: Tüm olası seçimleri bulun (şart olmadan).
- Tişört seçimi: 3 seçenek (kırmızı, mavi, yeşil)
- Pantolon seçimi: 2 seçenek (kırmızı, siyah)
- Ayakkabı seçimi: 4 seçenek
- Toplam seçim sayısı (şart olmadan): \( 3 \times 2 \times 4 = 24 \)
- 2. Adım: İstenmeyen durumları (tişört ve pantolonun aynı renk olduğu durumlar) bulun.
- Tişört ve pantolonun aynı renk olabileceği tek renk "kırmızı"dır.
- Tişört kırmızı seçildi: 1 seçenek
- Pantolon da kırmızı seçildi: 1 seçenek
- Ayakkabı seçimi: 4 seçenek
- İstenmeyen durum sayısı: \( 1 \times 1 \times 4 = 4 \)
- 3. Adım: İstenen durumları (tişört ve pantolonun aynı renkte olmadığı durumlar) hesaplayın.
- İstenen durum sayısı = Tüm durumlar - İstenmeyen durumlar
- \( 24 - 4 = 20 \)
Örnek 8:
Bir banka müşterisi 💳 4 haneli bir PIN kodu oluşturacaktır. PIN kodunun ilk hanesi sıfır olamaz ve tüm haneler birbirinden farklı rakamlardan oluşmalıdır. Kaç farklı PIN kodu oluşturulabilir? (Rakamlar 0'dan 9'a kadardır.)
Çözüm:
Bu bir sıralama (permütasyon) problemidir, ancak belirli şartları vardır.
- Kullanılabilecek rakamlar: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Toplam 10 rakam)
- PIN kodu 4 haneli olacaktır.
- 👉 İlk hane: Sıfır olamaz. Bu yüzden 9 farklı rakamdan biri seçilebilir (1'den 9'a kadar).
- 👉 İkinci hane: İlk hanede kullanılan rakam dışındaki kalan 9 rakamdan biri seçilebilir (çünkü tüm haneler farklı olmalı ve artık sıfır kullanılabilir).
- 👉 Üçüncü hane: İlk iki hanede kullanılan 2 rakam dışındaki kalan 8 rakamdan biri seçilebilir.
- 👉 Dördüncü hane: İlk üç hanede kullanılan 3 rakam dışındaki kalan 7 rakamdan biri seçilebilir.
- Toplam farklı PIN kodu sayısı: \( 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayma-algoritma-ve-bilisim/sorular