🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayma, algoritma ve bilişim, analitik inceleme, veriden olasılığa Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayma, algoritma ve bilişim, analitik inceleme, veriden olasılığa Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 15 kız ve 12 erkek öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçilecektir. Seçilen öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır? 🧑🎓
Çözüm:
Bu olasılık sorusunu çözmek için şu adımları izleyebiliriz:
- Toplam öğrenci sayısını bulalım: 15 kız + 12 erkek = 27 öğrenci.
- İstenen durumu belirleyelim: Seçilen öğrencinin erkek olması istenen durumdur. Erkek öğrenci sayısı 12'dir.
- Olasılık formülünü uygulayalım: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
- Hesaplamayı yapalım: Erkek olma olasılığı = 12 / 27
- Kesri sadeleştirelim: Her iki sayıyı da 3'e bölerek olasılığı 4/9 olarak buluruz.
Örnek 2:
Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının tek sayı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Zar atma deneyinde olasılığı hesaplamak için şu adımları takip edelim:
- Tüm olası sonuçları listeleyelim: Bir zar atıldığında gelebilecek sayılar {1, 2, 3, 4, 5, 6}'dır. Toplam 6 olası sonuç vardır.
- İstenen durumu belirleyelim: Gelen sayının tek sayı olması istenen durumdur. Tek sayılar {1, 3, 5}'tir. Toplam 3 istenen durum vardır.
- Olasılık formülünü kullanalım: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
- Hesaplamayı yapalım: Tek sayı gelme olasılığı = 3 / 6
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
Örnek 3:
Bir kutuda 5 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil bilye bulunmaktadır. Kutudan rastgele bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı kaçtır? 🔴🔵
Çözüm:
Bu olasılık problemini adım adım çözelim:
- Toplam bilye sayısını hesaplayalım: 5 kırmızı + 3 mavi + 2 yeşil = 10 bilye.
- İstenen durumu belirleyelim: Çekilen bilyenin kırmızı veya mavi olması isteniyor. Bu iki durum birbirini dışladığı için sayılarını toplarız.
- Kırmızı veya mavi bilye sayısını bulalım: 5 kırmızı + 3 mavi = 8 bilye.
- Olasılık formülünü uygulayalım: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
- Hesaplamayı yapalım: Kırmızı veya mavi gelme olasılığı = 8 / 10
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{4}{5} \) olarak bulunur.
Örnek 4:
Bir markette satılan ürünlerin renklerine göre dağılımı aşağıdaki gibidir: %40'ı kırmızı, %30'u mavi, %20'si yeşil ve %10'u sarıdır. Rastgele seçilen bir ürünün kırmızı veya sarı olma olasılığı nedir? 🛍️
Çözüm:
Bu yüzdelik dilimleri olasılığa çevirerek soruyu çözebiliriz:
- Toplam olasılığı %100 olarak kabul edelim.
- İstenen durumu belirleyelim: Ürünün kırmızı veya sarı olması isteniyor.
- Kırmızı ve sarı ürünlerin yüzdelik dilimlerini toplayalım: %40 (kırmızı) + %10 (sarı) = %50
- Bu yüzdeliği kesir olarak ifade edelim: %50 = \( \frac{50}{100} \)
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
Örnek 5:
3 basamaklı, rakamları birbirinden farklı pozitif tam sayılar kümesi oluşturulacaktır. Bu kümeden rastgele seçilen bir sayının 5 ile tam bölünebilme olasılığı kaçtır? 🔢
Çözüm:
Bu problemi çözmek için öncelikle tüm olası durumları ve istenen durumları belirlemeliyiz:
- Tüm 3 basamaklı, rakamları farklı pozitif tam sayılar:
- Yüzler basamağı için 9 seçenek vardır (0 hariç).
- Onlar basamağı için ilk seçilen rakam hariç 9 seçenek kalır.
- Birler basamağı için ilk iki seçilen rakam hariç 8 seçenek kalır.
- Toplam sayı: \( 9 \times 9 \times 8 = 648 \)
- 5 ile tam bölünebilen 3 basamaklı, rakamları farklı sayılar: Bir sayının 5 ile bölünebilmesi için birler basamağı 0 veya 5 olmalıdır.
- Durum 1: Birler basamağı 0 ise:
- Birler basamağı: 1 seçenek (0)
- Yüzler basamağı: 9 seçenek (kullanılmayan 9 rakamdan biri)
- Onlar basamağı: 8 seçenek (kullanılmayan 8 rakamdan biri)
- Bu durumda sayı adedi: \( 9 \times 8 \times 1 = 72 \)
- Durum 2: Birler basamağı 5 ise:
- Birler basamağı: 1 seçenek (5)
- Yüzler basamağı: 8 seçenek (0 ve 5 hariç 8 rakamdan biri)
- Onlar basamağı: 8 seçenek (kullanılmayan 8 rakamdan biri)
- Bu durumda sayı adedi: \( 8 \times 8 \times 1 = 64 \)
- Toplam 5 ile bölünebilen sayı adedi: 72 + 64 = 136
- Olasılık hesaplaması:
- Olasılık = (5 ile bölünebilen sayı adedi) / (Toplam 3 basamaklı, rakamları farklı sayı adedi)
- Olasılık = \( \frac{136}{648} \)
- Kesri sadeleştirelim: Her iki sayıyı da 8'e bölerek \( \frac{17}{81} \) buluruz.
Örnek 6:
Bir torbada 3 kırmızı ve 4 mavi bilye vardır. Torbadan geri konulmadan art arda 2 bilye çekiliyor. Çekilen ilk bilyenin kırmızı, ikinci bilyenin mavi olma olasılığı nedir? 🔴➡️🔵
Çözüm:
Bu tür problemler, koşullu olasılıklar içerir. Adım adım ilerleyelim:
- İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı:
- Toplam bilye sayısı = 3 kırmızı + 4 mavi = 7
- Kırmızı bilye sayısı = 3
- İlk bilyenin kırmızı olma olasılığı = \( \frac{3}{7} \)
- İlk bilye kırmızı çekildikten sonra torbadaki durum:
- Kalan kırmızı bilye sayısı = 2
- Kalan mavi bilye sayısı = 4
- Toplam kalan bilye sayısı = 6
- İkinci bilyenin mavi olma olasılığı (ilk bilye kırmızı çekilmişken):
- Kalan mavi bilye sayısı = 4
- Toplam kalan bilye sayısı = 6
- İkinci bilyenin mavi olma olasılığı = \( \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)
- Her iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı:
- Bu olasılıkları çarparız: \( P(\text{ilk kırmızı ve ikinci mavi}) = P(\text{ilk kırmızı}) \times P(\text{ikinci mavi | ilk kırmızı}) \)
- Olasılık = \( \frac{3}{7} \times \frac{2}{3} \)
- Olasılık = \( \frac{6}{21} \)
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{2}{7} \) olarak bulunur.
Örnek 7:
Bir madeni para 5 kez atılıyor. Bu atışlarda en az 3 kez tura gelme olasılığı nedir? 🪙
Çözüm:
Bu problemde binom olasılık dağılımı mantığı kullanılır ancak 10. sınıf seviyesinde bu kavramlar doğrudan kullanılmadan da çözülebilir. Olasılıkları tek tek hesaplayalım:
- Bir madeni paranın tura gelme olasılığı: \( P(T) = \frac{1}{2} \)
- Bir madeni paranın yazı gelme olasılığı: \( P(Y) = \frac{1}{2} \)
- En az 3 kez tura gelmesi demek: 3 kez tura, 4 kez tura veya 5 kez tura gelmesi demektir.
- Her bir durumun olasılığını hesaplayalım:
- Tam olarak 3 kez tura: Bu durum \( \binom{5}{3} \) farklı şekilde gerçekleşebilir. Her bir durumun olasılığı \( (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \) 'dir.
- \( \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 \)
- 3 kez tura gelme olasılığı = \( 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} \)
- Tam olarak 4 kez tura: Bu durum \( \binom{5}{4} \) farklı şekilde gerçekleşebilir. Olasılığı \( (\frac{1}{2})^4 \times (\frac{1}{2})^1 = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \) 'dir.
- \( \binom{5}{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5 \)
- 4 kez tura gelme olasılığı = \( 5 \times \frac{1}{32} = \frac{5}{32} \)
- Tam olarak 5 kez tura: Bu durum \( \binom{5}{5} \) farklı şekilde gerçekleşebilir. Olasılığı \( (\frac{1}{2})^5 \times (\frac{1}{2})^0 = (\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} \) 'dir.
- \( \binom{5}{5} = \frac{5!}{5!0!} = 1 \)
- 5 kez tura gelme olasılığı = \( 1 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{32} \)
- En az 3 kez tura gelme olasılığı: Bu olasılıkları toplarız.
- Olasılık = \( \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} \)
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur.
Örnek 8:
Bir algoritma, 1'den 100'e kadar olan sayılar arasından rastgele bir tam sayı seçiyor. Seçilen sayının asal sayı olma olasılığını hesaplayan bir algoritma tasarlanacaktır. Bu algoritmanın çıktısı ne olur? 🤖
Çözüm:
Bu algoritmanın çıktısını bulmak için öncelikle 1'den 100'e kadar olan asal sayıları belirlememiz gerekir.
- 1'den 100'e kadar olan asal sayılar: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
- Toplam asal sayı adedi: 25 adet.
- Toplam sayı adedi (1'den 100'e kadar): 100 adet.
- Asal sayı olma olasılığı formülü: Olasılık = (Asal Sayı Adedi) / (Toplam Sayı Adedi)
- Hesaplama: Olasılık = \( \frac{25}{100} \)
- Kesri sadeleştirelim: Olasılık \( \frac{1}{4} \) veya %25 olarak bulunur.
Örnek 9:
Bir otoparkta bulunan 50 aracın 20'si siyah, 15'i beyaz, 10'u gri ve 5'i kırmızıdır. Geriye kalan araçların rengi belirtilmemiştir. Otoparka giren bir aracın siyah veya beyaz olma olasılığı nedir? 🚗
Çözüm:
Bu soruda, belirtilmeyen araçların olasılığı etkilemediğini varsayarak, bilinen renkler üzerinden hesaplama yapacağız.
- Toplam bilinen araç sayısı: 20 siyah + 15 beyaz + 10 gri + 5 kırmızı = 50 araç.
- İstenen durum: Aracın siyah veya beyaz olması.
- Siyah veya beyaz araç sayısı: 20 siyah + 15 beyaz = 35 araç.
- Olasılık formülü: Olasılık = (İstenen Durum Sayısı) / (Tüm Olası Durum Sayısı)
- Hesaplama: Siyah veya beyaz olma olasılığı = \( \frac{35}{50} \)
- Kesri sadeleştirelim: Her iki sayıyı da 5'e bölerek \( \frac{7}{10} \) buluruz.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayma-algoritma-ve-bilisim-analitik-inceleme-veriden-olasiliga/sorular