💡 10. Sınıf Matematik: Sayma, algoritma ve bilişim, analitik geometri Çözümlü Örnekler

Bu soruda toplama yoluyla sayma prensibini kullanmalıyız. "Veya" bağlacı, seçeneklerin birleşimini ifade eder.

• Meyve suyu seçeneklerinin sayısı: \( n = 4 \)
• Pasta seçeneklerinin sayısı: \( m = 5 \)
• Toplam seçim sayısı: \( n + m \)
• İşlem: \( 4 + 5 = 9 \)

✅ Müşteri, bu seçenekler arasından 1 tanesini 9 farklı şekilde seçebilir.

Bu bir permütasyon (sıralama) sorusudur. Belirli bir şart verildiği için o şartı sabitleyerek işleme başlarız.

• Kelimenin ilk harfi K olmalıdır. Bu durumda 1. sıraya sadece 1 seçenek gelebilir: \( 1 \)
• Geriye kalan 4 harf (İ, T, A, P) kalan 4 boşluğa sıralanacaktır.
• Kalan yerler için sıralama sayısı: \( 4! \) (4 faktöriyel)
• Hesaplama: \( 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• Toplam durum: \( 1 \times 24 = 24 \)

✅ K harfi ile başlayan 24 farklı kelime yazılabilir.

Bu bir kombinasyon (seçme) sorusudur. Sıralama önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluştuğu önemlidir.

• Toplam öğrenci sayısı: \( n = 7 \)
• Seçilecek öğrenci sayısı: \( r = 3 \)
• Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{(n-r)! \times r!} \)
• İşlem: \( C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \)
• Sadeleştirme: \( \frac{210}{6} = 35 \)

✅ 3 kişilik ekip 35 farklı şekilde seçilebilir.

Bu soru, algoritma mantığı ile sayma prensiplerini birleştirir.

• Kullanıcının girdiği sınır: \( n = 10 \)
• Algoritmanın kontrol ettiği sayılar: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \)
• Şart: Sayının tek olması.
• Şartı sağlayan sayılar: \( 1, 3, 5, 7, 9 \)
• Sayma işlemi: Toplam 5 adet sayı vardır.

💡 Bilişim Notu: Bu işlem, programlamada bir "döngü" (loop) içerisinde "koşul" (if) yapısı kullanılarak gerçekleştirilir. Ekranda 5 adet sayı görünür.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü uygulayalım:

• Formül: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)
• Noktalar: \( x_1 = 2, y_1 = 5 \) ve \( x_2 = 6, y_2 = 8 \)
• Farkların karesi: \( (6 - 2)^2 = 4^2 = 16 \)
• Farkların karesi: \( (8 - 5)^2 = 3^2 = 9 \)
• Toplam: \( 16 + 9 = 25 \)
• Karekök: \( \sqrt{25} = 5 \)

✅ A ve B noktaları arasındaki uzaklık 5 birimdir.

Orta nokta koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

• Orta nokta \( M(x, y) \) olsun.
• \( x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
• \( y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{10 + 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)

✅ [CD] doğru parçasının orta noktası \( M(2, 6) \) noktasıdır.

Analitik geometride iki noktadan geçen doğrunun eğimi \( m \) ile gösterilir.

• Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
• Koordinatlar: \( (1, 2) \) ve \( (4, 6) \)
• Pay (y'ler farkı): \( 6 - 2 = 4 \)
• Payda (x'ler farkı): \( 4 - 1 = 3 \)
• Sonuç: \( m = \frac{4}{3} \)

✅ Bu doğrusal yolun eğimi \( \frac{4}{3} \) olarak bulunur.

Eğimi ve bir noktası bilinen doğrunun denklemini yazmak için \( y - y_1 = m \times (x - x_1) \) formülünü kullanırız.

• Verilenler: \( x_1 = 1, y_1 = 3, m = 2 \)
• Denklemde yerine koyalım: \( y - 3 = 2 \times (x - 1) \)
• Parantezi dağıtalım: \( y - 3 = 2x - 2 \)
• Denklemi düzenleyelim: \( y = 2x + 1 \) veya \( 2x - y + 1 = 0 \)

✅ Doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \) şeklindedir.