💡 10. Sınıf Matematik: Sayma, algoritma ve analitik inceleme Çözümlü Örnekler

Bu tür problemler, temel sayma prensibi ile çözülür. 💡 Adım 1:* Müşterinin seçebileceği ekmek çeşidi sayısı 3'tür. Adım 2:* Müşterinin seçebileceği peynir çeşidi sayısı 5'tir. Adım 3:* Müşterinin seçebileceği zeytin çeşidi sayısı 2'dir. Temel sayma prensibine göre, bu üç seçeneğin her birinin ayrı ayrı yapıldığı durumlarda toplam farklı seçim sayısı, bu sayıların çarpımına eşittir. * Toplam farklı seçim sayısı = (Ekmek sayısı) \( \times \) (Peynir sayısı) \( \times \) (Zeytin sayısı) * Toplam farklı seçim sayısı = \( 3 \times 5 \times 2 \) * Toplam farklı seçim sayısı = \( 30 \) ✅ Yani, müşteri bu üç ürünü almak için 30 farklı şekilde seçim yapabilir.

Bu problemde, aynı derse ait kitapların bir arada olması önemli bir kısıtlamadır. Bunu bir blok olarak düşünebiliriz. 📦 Adım 1:* Kitapları derslerine göre gruplandıralım: * Matematik kitapları (M) * Fizik kitapları (F) * Kimya kitapları (K) Adım 2:* Bu üç ders grubunu kendi içinde sıralayabiliriz. Bu grupların sıralanması \( 3! \) farklı şekilde olabilir. * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) Adım 3:* Şimdi her bir ders grubunun kendi içindeki kitapları sıralayalım: * Matematik kitapları kendi içinde \( 4! \) farklı şekilde sıralanabilir. * \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) * Fizik kitapları kendi içinde \( 3! \) farklı şekilde sıralanabilir. * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) * Kimya kitapları kendi içinde \( 2! \) farklı şekilde sıralanabilir. * \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) Adım 4:* Toplam farklı sıralama sayısını bulmak için, grupların kendi içindeki sıralamalarıyla, grupların kendi arasındaki sıralamalarını çarparız. * Toplam sıralama sayısı = (Ders gruplarının sıralanması) \( \times \) (Matematik kitaplarının sıralanması) \( \times \) (Fizik kitaplarının sıralanması) \( \times \) (Kimya kitaplarının sıralanması) * Toplam sıralama sayısı = \( 3! \times 4! \times 3! \times 2! \) * Toplam sıralama sayısı = \( 6 \times 24 \times 6 \times 2 \) * Toplam sıralama sayısı = \( 1728 \) ✅ Bu kitaplar, aynı derse ait olanlar yan yana gelmek şartıyla 1728 farklı şekilde sıralanabilir.

Bu soruda, belirli bir kısıtlama olduğu için durumu iki ana senaryoya ayırarak incelemek en doğrusudur. 🧐 Senaryo 1: Siyah renkli telefon seçimi* * Siyah renk seçildiğinde, depolama alanı seçenekleri sınırlıdır: 128 GB veya 256 GB. * Bu durumda, siyah renk için 2 farklı model seçeneği vardır. Senaryo 2: Siyah olmayan renkli telefon seçimi* * Eğer müşteri siyah renk dışında bir renk seçerse (beyaz, mavi, kırmızı, altın - yani 4 farklı renk), o zaman tüm depolama alanı seçeneklerinden (64 GB, 128 GB, 256 GB - yani 3 farklı seçenek) birini seçebilir. * Bu durumda, siyah olmayan renkler için farklı model sayısı = (Siyah olmayan renk sayısı) \( \times \) (Depolama alanı sayısı) * Siyah olmayan renkler için farklı model sayısı = \( 4 \times 3 = 12 \) Toplam Farklı Model Sayısı:* * Toplam farklı model sayısı, bu iki senaryodaki seçeneklerin toplamıdır. * Toplam = (Siyah renkli modeller) + (Siyah olmayan renkli modeller) * Toplam = \( 2 + 12 \) * Toplam = \( 14 \) ✅ Müşteri, bu kısıtlamalar dahilinde toplam 14 farklı akıllı telefon modeli seçebilir.

Bu, kişilerin farklı nesneler (sandalyeler) üzerine sıralanması problemidir ve permütasyon mantığına dayanır. 🥳 Adım 1:* Oturacak ilk sandalye için 5 farklı arkadaş seçeneği vardır. Adım 2:* İlk sandalyeye bir kişi oturduktan sonra, geriye kalan 4 arkadaş ikinci sandalyeye oturabilir. Adım 3:* Üçüncü sandalyeye oturmak için 3 arkadaş kalır. Adım 4:* Dördüncü sandalyeye oturmak için 2 arkadaş kalır. Adım 5:* Son sandalyeye oturmak için ise sadece 1 arkadaş kalır. Bu durum, temel sayma prensibi ile bulunur: * Toplam farklı oturma şekli = \( 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \) * Bu ifade, \( 5! \) (5 faktöriyel) olarak gösterilir. * \( 5! = 120 \) ✅ Bu 5 arkadaş, 120 farklı şekilde bu 5 sandalyeye oturabilir.

Bu problemde, iki farklı görevin (başkan ve başkan yardımcısı) ayrı ayrı ve farklı adaylar arasından seçilmesi söz konusudur. 🏆 Adım 1:* Başkanlık için seçilebilecek aday sayısı 3'tür. Adım 2:* Başkan seçildikten sonra, başkan yardımcılığı için seçilebilecek aday sayısı 4'tür. (Burada başkan ve başkan yardımcısı farklı kişiler olacağı için, başkan adayının durumu başkan yardımcılığı aday sayısını etkilemez, çünkü zaten farklı aday havuzları var.) Temel sayma prensibini kullanarak toplam farklı sonuç sayısını bulabiliriz: * Toplam farklı sonuç sayısı = (Başkan aday sayısı) \( \times \) (Başkan yardımcısı aday sayısı) * Toplam farklı sonuç sayısı = \( 3 \times 4 \) * Toplam farklı sonuç sayısı = \( 12 \) ✅ Bu seçim sonucunda 12 farklı olası durum ortaya çıkabilir.

Bu soru, tekrarsız kombinasyonları sormaktadır. Çünkü harflerin sırasının bir önemi yoktur, sadece hangi harflerin seçildiği önemlidir. 📜 Adım 1:* Elimizde toplam 5 farklı harf bulunmaktadır (n=5). Adım 2:* Bu harflerden 3 tanesini seçmek istiyoruz (r=3). Adım 3:* Tekrara izin verilmediği için, kombinasyon formülünü kullanırız: \[ C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \] Adım 4:* Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} \] \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} \] Adım 5:* Faktöriyelleri hesaplayalım: * \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) * \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) Adım 6:* Sonucu bulalım: \[ C(5, 3) = \frac{120}{6 \times 2} \] \[ C(5, 3) = \frac{120}{12} \] \[ C(5, 3) = 10 \] ✅ Bu harf grubundan, harflerin tekrarına izin verilmeden 10 farklı şekilde 3 harf seçilebilir.

Bu tür sıralama problemlerinde, kısıtlamaları dikkate alarak çözüme ulaşırız. 🚀 Adım 1:* Öncelikle, herhangi bir kısıtlama olmasaydı bu 4 modülün kaç farklı şekilde sıralanabileceğini bulalım. Bu, 4! (4 faktöriyel) ile hesaplanır. * Toplam sıralama sayısı (kısıtlamasız) = \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Adım 2:* Şimdi kısıtlamayı düşünelim: Modül A, modül B'den önce gelmelidir. * Bu 24 sıralamanın yarısında A, B'den önce gelirken, diğer yarısında B, A'dan önce gelecektir. Bu, A ve B'nin birbirine göre konumlarının eşit olasılıklı olmasından kaynaklanır. Adım 3:* Bu nedenle, A'nın B'den önce geldiği durumların sayısı, toplam sıralama sayısının yarısıdır. * A'nın B'den önce geldiği sıralama sayısı = \( \frac{24}{2} \) * A'nın B'den önce geldiği sıralama sayısı = \( 12 \) ✅ Modül A'nın mutlaka modül B'den önce çalışması gerektiği kısıtlaması altında, bu 4 modül 12 farklı sırada çalıştırılabilir.

Bu, basit bir temel sayma prensibi problemidir. Her bir seçim ayrı ayrı yapıldığı için, toplam seçenek sayısı bu seçimlerin çarpımıdır. 💯 Adım 1:* Müşterinin seçebileceği ana yemek sayısı 6'dır. Adım 2:* Müşterinin seçebileceği tatlı sayısı 4'tür. Temel sayma prensibine göre, toplam farklı öğün seçeneği bu sayıların çarpımına eşittir. * Toplam öğün seçeneği = (Ana yemek sayısı) \( \times \) (Tatlı sayısı) * Toplam öğün seçeneği = \( 6 \times 4 \) * Toplam öğün seçeneği = \( 24 \) ✅ Bir müşteri, bu menüden 24 farklı öğün seçeneğine sahip olabilir.