💡 10. Sınıf Matematik: Sayıma stratejisi kullanarak problem çözme Çözümlü Örnekler

Bu soruda toplama yoluyla sayma stratejisi kullanılır. Çünkü "veya" bağlacı, seçenekler arasından yalnızca bir tanesinin seçileceğini ifade eder.

• Meyve suyu seçeneklerinin sayısı: \( 4 \)
• Pasta seçeneklerinin sayısı: \( 5 \)
• Toplam seçim sayısı: \( 4 + 5 = 9 \) farklı şekilde yapılabilir. ✅

Bu soruda seçim sırası önemli olduğu için permütasyon veya çarpma yoluyla sayma stratejisi kullanılır.

• 1. Adım: Başkan seçimi için \( 12 \) farklı aday vardır.
• 2. Adım: Başkan seçildikten sonra, kalan \( 11 \) öğrenci arasından bir başkan yardımcısı seçilir.
• İşlem: \( 12 \times 11 = 132 \)
• Sonuç olarak, bu seçim \( 132 \) farklı şekilde yapılabilir. 🚀

Faktöriyel kavramını kullanarak ifadeyi sadeleştirelim:

• Pay kısmını düzenleyelim: \( 8! = 8 \times 7 \times 6! \)
• Payda kısmını en küçük faktöriyel olan \( 6! \) parantezine alalım:
• \( 6! + 7! = 6! + (7 \times 6!) = 6! \times (1 + 7) = 6! \times 8 \)
• Şimdi ifadeyi yerine yazalım: \[ \frac{8 \times 7 \times 6!}{8 \times 6!} \]
• Pay ve paydadaki \( 8 \) ve \( 6! \) değerleri birbirini sadeleştirir.
• Geriye kalan sonuç: \( 7 \) olur. ✅

Çarpma yoluyla sayma yöntemini basamaklara uygulayalım:

• 1. Basamak (Binler): \( 0 \) hariç \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \) rakamlarından biri gelebilir. (9 seçenek)
• 2. Basamak (Yüzler): \( 0 \) dahil edilebilir ancak ilk basamakta kullanılan rakam kullanılamaz. (9 seçenek)
• 3. Basamak (Onlar): İlk iki basamakta kullanılan rakamlar kullanılamaz. (8 seçenek)
• 4. Basamak (Birler): İlk üç basamakta kullanılan rakamlar kullanılamaz. (7 seçenek)
• Hesaplama: \( 9 \times 9 \times 8 \times 7 = 4536 \)
• Toplamda \( 4536 \) farklı şifre üretilebilir. 💡

Bu soruda seçim sırası önemli değildir, sadece grubun kimlerden oluşacağı önemlidir. Bu nedenle kombinasyon stratejisi kullanılır.

• Kombinasyon formülü: \( C(n, r) = \frac{n!}{r! \times (n-r)!} \)
• Verilenler: \( n = 7 \), \( r = 3 \)
• İşlem: \[ C(7, 3) = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \]
• Payda kısmındaki \( 3 \times 2 \times 1 = 6 \) olduğu için paydaki \( 6 \) ile sadeleşir.
• Sonuç: \( 7 \times 5 = 35 \) farklı ekip oluşturulabilir. ✨

Müşterinin her kategori için seçeneklerini inceleyelim:

• Çorba: 3 çeşit çorba var + 1 (hiç seçmeme durumu) = 4 seçenek.
• Ana Yemek: 4 çeşit yemek var + 1 (hiç seçmeme durumu) = 5 seçenek.
• Tatlı: 2 çeşit tatlı var + 1 (hiç seçmeme durumu) = 3 seçenek.
• Toplam Durum: \( 4 \times 5 \times 3 = 60 \)
• Ancak müşteri hiçbir şey sipariş etmezse bu bir "sipariş" sayılmayabilir. Eğer en az bir ürün seçmesi gerekiyorsa sonuç \( 60 - 1 = 59 \) olur.
• Genel seçim ihtimali sorulduğu için cevap \( 60 \) olarak kabul edilir. 🥗

Geometrik şekiller oluştururken noktaların seçilme sırası önemli değildir, bu yüzden kombinasyon kullanılır.

• Bir üçgen oluşturmak için doğrusal olmayan \( 3 \) noktaya ihtiyaç vardır.
• Çember üzerindeki herhangi üç nokta asla doğrusal olamaz.
• Toplam nokta sayısı: \( 6 \)
• Seçilecek nokta sayısı: \( 3 \)
• Hesaplama: \[ C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \]
• Sonuç: \( 20 \) farklı üçgen çizilebilir. ✅

Bu soruda bazı harfler tekrar ettiği için tekrarlı permütasyon stratejisi uygulanır.

• Toplam harf sayısı: \( 5 \)
• Tekrar eden harfler: "A" harfi \( 3 \) kez tekrar etmektedir.
• Diğer harfler (D ve N) birer kez bulunmaktadır.
• Formül: \[ \frac{5!}{3!} \]
• Hesaplama: \[ \frac{120}{6} = 20 \]
• Sonuç olarak \( 20 \) farklı kelime yazılabilir. 🎯