🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Sayıma, Algoritma ve Bileşim Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Sayıma, Algoritma ve Bileşim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir mağazada 3 farklı renk tişört ve 2 farklı model pantolon bulunmaktadır. Bir tişört ve bir pantolondan oluşan bir kombin kaç farklı şekilde seçilebilir? 👕👖
Çözüm:
Bu tür problemler, temel çarpma prensibi ile çözülür. 💡
- Seçeneklerin sayısını belirleyelim:
- Tişört seçenekleri: 3
- Pantolon seçenekleri: 2
- Toplam farklı kombinasyon sayısını bulmak için bu sayıları çarparız:
- Kombinasyon sayısı = (Tişört sayısı) × (Pantolon sayısı)
- Kombinasyon sayısı = \( 3 \times 2 \)
- Kombinasyon sayısı = \( 6 \)
Örnek 2:
5 kişilik bir öğrenci grubundan, bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir? 🧑🤝🧑
Çözüm:
Bu problemde sıralama önemlidir, yani başkan ve başkan yardımcısının kim olduğu farklı durumlar oluşturur. Bu nedenle permütasyon kullanırız. 📌
- Toplam öğrenci sayısı: \( n = 5 \)
- Seçilecek pozisyon sayısı: \( k = 2 \) (Başkan ve Başkan Yardımcısı)
- Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
- Uygulayalım:
- \( P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} \)
- \( P(5, 2) = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} \)
- \( P(5, 2) = 5 \times 4 \)
- \( P(5, 2) = 20 \)
Örnek 3:
Bir spor salonunda 4 farklı koşu bandı ve 3 farklı ağırlık istasyonu bulunmaktadır. Bir kişi hem bir koşu bandını hem de bir ağırlık istasyonunu kaç farklı şekilde kullanabilir? 🏃🏋️
Çözüm:
Bu, temel çarpma prensibinin bir başka uygulamasıdır. Farklı seçimlerin birleşimi söz konusudur. 💡
- Koşu bandı seçeneği sayısı: 4
- Ağırlık istasyonu seçeneği sayısı: 3
- Toplam kullanım kombinasyonu = (Koşu bandı sayısı) × (Ağırlık istasyonu sayısı)
- Toplam kullanım kombinasyonu = \( 4 \times 3 \)
- Toplam kullanım kombinasyonu = \( 12 \)
Örnek 4:
6 farklı renkte bilyenin bulunduğu bir torbadan, rastgele 3 bilye seçilecektir. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir? (Bilyelerin sıralaması önemli değildir.) 🔵🔴🟢
Çözüm:
Bu problemde, elemanların sırasının önemli olmadığı durumlar için kombinasyon formülünü kullanırız. 📌
- Toplam bilye sayısı: \( n = 6 \)
- Seçilecek bilye sayısı: \( k = 3 \)
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Uygulayalım:
- \( C(6, 3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} \)
- \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} \)
- \( C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \)
- \( C(6, 3) = \frac{120}{6} \)
- \( C(6, 3) = 20 \)
Örnek 5:
Bir restoran menüsünde 5 farklı ana yemek, 4 farklı salata ve 3 farklı içecek seçeneği bulunmaktadır. Bir kişi, bir ana yemek, bir salata ve bir içecekten oluşan bir öğün kaç farklı şekilde seçebilir? 🍽️🥤
Çözüm:
Bu, temel çarpma prensibinin günlük hayattaki yaygın bir örneğidir. Her kategori için bağımsız seçimler yapılır. 💡
- Ana yemek seçenekleri: 5
- Salata seçenekleri: 4
- İçecek seçenekleri: 3
- Toplam öğün kombinasyonu = (Ana yemek sayısı) × (Salata sayısı) × (İçecek sayısı)
- Toplam öğün kombinasyonu = \( 5 \times 4 \times 3 \)
- Toplam öğün kombinasyonu = \( 60 \)
Örnek 6:
Bir şifreleme algoritması, 3 farklı harf ve ardından 2 farklı rakamdan oluşmaktadır. Harflerin tekrarlı kullanılamayacağı, rakamların ise tekrarlı kullanılabileceği biliniyor. Alfabede 29 harf bulunmaktadır. Bu şifreleme algoritması ile kaç farklı şifre oluşturulabilir? 🅰️🅱️1️⃣2️⃣
Çözüm:
Bu problem, hem permütasyon hem de tekrarlı seçim prensiplerini birleştirir. 📌
- Adım 1: Harflerin Seçimi
- Alfabede 29 harf var ve tekrarlı kullanılamayacak 3 harf seçilecek. Bu bir permütasyon problemidir.
- \( P(29, 3) = \frac{29!}{(29-3)!} = \frac{29!}{26!} = 29 \times 28 \times 27 \)
- \( P(29, 3) = 21924 \)
- Adım 2: Rakamların Seçimi
- Rakamlar (0'dan 9'a kadar 10 rakam) tekrarlı kullanılabiliyor ve 2 rakam seçilecek.
- Her rakam seçimi için 10 farklı olasılık vardır.
- Toplam rakam seçeneği sayısı = \( 10 \times 10 = 10^2 = 100 \)
- Adım 3: Toplam Şifre Sayısı
- Toplam farklı şifre sayısı, harf seçimlerinin sayısı ile rakam seçimlerinin sayısının çarpımıdır.
- Toplam Şifre = \( P(29, 3) \times 10^2 \)
- Toplam Şifre = \( 21924 \times 100 \)
- Toplam Şifre = \( 2192400 \)
Örnek 7:
Bir basketbol takımında 12 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyunculardan 5 tanesi ilk beş olarak sahaya çıkacaktır. İlk beşin belirlenmesinde oyuncuların sahaya çıkış sırası önemli değildir. Kaç farklı ilk beş oluşturulabilir? 🏀
Çözüm:
Bu problem, sıranın önemli olmadığı bir seçim problemi olduğu için kombinasyon formülü ile çözülür. 💡
- Toplam oyuncu sayısı: \( n = 12 \)
- Sahaya çıkacak oyuncu sayısı: \( k = 5 \)
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Uygulayalım:
- \( C(12, 5) = \frac{12!}{5!(12-5)!} = \frac{12!}{5!7!} \)
- \( C(12, 5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 7!} \)
- \( C(12, 5) = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
- \( C(12, 5) = \frac{95040}{120} \)
- \( C(12, 5) = 792 \)
Örnek 8:
Bir okulda, öğrencilerin katılabileceği 3 farklı kulüp (Müzik, Tiyatro, Satranç) bulunmaktadır. Bir öğrenci bu kulüplerden en az birine katılacaktır. Bir öğrenci kaç farklı kulüp katılım seçeneğine sahiptir? 🎶🎭♟️
Çözüm:
Bu problemde, her kulüp için öğrencinin iki seçeneği vardır: katılmak veya katılmamak. Ancak "en az birine katılma" koşulu önemlidir. 📌
- Her kulüp için iki seçenek vardır:
- Müzik Kulübü: Katıl / Katılma (2 seçenek)
- Tiyatro Kulübü: Katıl / Katılma (2 seçenek)
- Satranç Kulübü: Katıl / Katılma (2 seçenek)
- Toplam olası katılım durumu sayısı (hiçbir kulübe katılmama durumu dahil):
- Toplam Durum = \( 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8 \)
- "En az birine katılma" koşulu, hiçbir kulübe katılmama durumunu hariç tutar.
- Hiçbir kulübe katılmama durumu: 1 (Her üç kulüpten de "Katılma" seçeneği)
- En az bir kulübe katılma seçeneği sayısı = (Toplam Durum) - (Hiçbir kulübe katılmama durumu)
- En az bir kulübe katılma seçeneği sayısı = \( 8 - 1 = 7 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-sayima-algoritma-ve-bilesim/sorular