💡 10. Sınıf Matematik: Sayılar ve Algoritmalar Çözümlü Örnekler

12 sayısının pozitif tam bölenlerini bulmak için öncelikle sayıyı asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• 12 = \( 2^2 \times 3^1 \)

Asal çarpanlarına ayrılmış sayının üslerini birer artırıp çarptığımızda pozitif tam bölen sayısını buluruz.

• Bölen Sayısı = \( (2+1) \times (1+1) \)
• Bölen Sayısı = \( 3 \times 2 \)
• Bölen Sayısı = 6

Yani, 12 sayısının 6 tane pozitif tam böleni vardır. Bunlar: 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir. ✅

Öncelikle 100 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

• 100 = \( 2^2 \times 5^2 \)

Pozitif çift bölenleri bulmak için, bölenin içinde en az bir tane 2 çarpanı bulunmalıdır. Bu nedenle 2'nin üssünü sabit tutup diğer asal çarpanların üslerini birer artırarak çarparız.

• Çift Bölen Sayısı = \( (2) \times (2+1) \) (Burada 2'nin üssü sabit kalır, yani 1'den başlar ve 2'ye kadar gider.)
• Çift Bölen Sayısı = \( 2 \times 3 \)
• Çift Bölen Sayısı = 6

100 sayısının 6 tane pozitif çift böleni vardır. 👉

İlk adım olarak 720 sayısını asal çarpanlarına ayırmalıyız.

• 720 = \( 72 \times 10 \)
• 720 = \( (8 \times 9) \times (2 \times 5) \)
• 720 = \( (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 5) \)
• 720 = \( 2^4 \times 3^2 \times 5^1 \)

Şimdi bu asal çarpanları toplayalım.

• Asal Çarpanlar Toplamı = \( 2 + 3 + 5 \)
• Asal Çarpanlar Toplamı = 10

720 sayısının asal çarpanlarının toplamı 10'dur. 💡

Bu tür problemler, iki sayının ortak katını bulmayı gerektirir. Yani, 6 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız.

• 6 = \( 2 \times 3 \)
• 8 = \( 2^3 \)

EKOK(6, 8) = \( 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24 \) gün.
Bu iki ürün bir sonraki kez 24 gün sonra aynı gün depoya gelecektir. Salı gününden 24 gün sonrası, bir sonraki geliş tarihini belirleyecektir. 🚀

Bu soruda, terzinin kullanabileceği kumaşın hem 3'e hem de 5'e tam bölünebilmesi gerekiyor. Bu durum, 3 ve 5 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulmamız gerektiği anlamına gelir.

• 3 ve 5 asal sayılar oldukları için EKOK'ları çarpımlarına eşittir.
• EKOK(3, 5) = \( 3 \times 5 = 15 \) metre.

Terzi, elindeki kumaşı hiç artmayacak şekilde kesebileceği en az 15 metrelik bir kumaş kullanabilir. 🧵

Öncelikle 180 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

• 180 = \( 18 \times 10 \)
• 180 = \( (2 \times 3^2) \times (2 \times 5) \)
• 180 = \( 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \)

180 sayısının toplam pozitif tam bölen sayısını bulalım.

• Toplam Bölen Sayısı = \( (2+1) \times (2+1) \times (1+1) \)
• Toplam Bölen Sayısı = \( 3 \times 3 \times 2 \)
• Toplam Bölen Sayısı = 18

Şimdi asal bölenlerini bulalım: 2, 3 ve 5. Bu sayının 3 tane asal böleni vardır.
Asal olmayan pozitif tam bölen sayısını bulmak için toplam bölen sayısından asal bölen sayısını çıkarırız.

• Asal Olmayan Bölen Sayısı = Toplam Bölen Sayısı - Asal Bölen Sayısı
• Asal Olmayan Bölen Sayısı = 18 - 3
• Asal Olmayan Bölen Sayısı = 15

180 sayısının 15 tane asal olmayan pozitif tam böleni vardır. 👍

Ardışık iki çift doğal sayıyı \( 2n \) ve \( 2n+2 \) olarak ifade edebiliriz.
Bu iki sayının çarpımı 168'dir.

• \( (2n) \times (2n+2) = 168 \)
• \( 4n(n+1) = 168 \)
• \( n(n+1) = \frac{168}{4} \)
• \( n(n+1) = 42 \)

Burada \( n \) ve \( n+1 \) ardışık iki tam sayıdır ve çarpımları 42'dir. Bu sayılar 6 ve 7'dir. Yani \( n=6 \) olmalıdır.
Sayılarımız: \( 2n = 2 \times 6 = 12 \) ve \( 2n+2 = 2 \times 6 + 2 = 14 \).
Bu iki sayının toplamı: \( 12 + 14 = 26 \).
Alternatif olarak, \( n(n+1)=42 \) denklemini çözmek yerine, 42'ye yakın ardışık iki sayıyı deneyerek de \( n=6 \) sonucuna ulaşılabilir. 🤔

Programın algoritmasını takip edelim ve 540 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.

• 540 = \( 54 \times 10 \)
• 540 = \( (2 \times 27) \times (2 \times 5) \)
• 540 = \( (2 \times 3^3) \times (2 \times 5) \)
• 540 = \( 2^2 \times 3^3 \times 5^1 \)

Şimdi bu asal çarpanların üslerini toplayalım.

• Üsler Toplamı = \( 2 + 3 + 1 \)
• Üsler Toplamı = 6

Eğer programa 540 sayısı girilirse, algoritma sonucu 6 olarak bulur. 💯