✅ 10. Sınıf Matematik: Sayılar ve algoritma Test Çöz

Bir bilgisayar algoritması sisteme girilen bir $x$ tam sayısı için aşağıdaki adımları uygulamaktadır:

1. Adım: Sayının karesini al.
2. Adım: Elde edilen sonuçtan 5 çıkar.
3. Adım: Sonuç çift ise 2'ye böl, tek ise 3 ile çarp.

Sisteme $x = 7$ girildiğinde elde edilen sonuç kaçtır?

Öklid algoritması kullanılarak 120 ve 45 sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) bulunmak isteniyor.

Buna göre, algoritmanın ilk adımında yapılan $120 = 45 \times q + r$ bölme işlemindeki kalan ($r$) kaçtır?

Bir sayı dizisinin terimleri $a_1 = 3$ olmak üzere, her $n \ge 1$ için $a_{n+1} = 2a_n - 1$ algoritmasıyla belirlenmektedir.

Buna göre, bu dizinin üçüncü terimi ($a_3$) kaçtır?

Bir pozitif tam sayının "basamak algoritması" şu şekilde tanımlanmıştır: Sayının basamaklarındaki rakamlar toplanır. Eğer toplam tek basamaklı bir sayı ise işlem biter, değilse elde edilen sayının rakamları tekrar toplanır ve bu işlem tek basamaklı bir sayı elde edilene kadar sürdürülür.

Buna göre, 987 sayısına bu algoritma uygulandığında elde edilen son tek basamaklı sayı kaçtır?

Öklid'in bölme algoritması kullanılarak $a$ ve $b$ pozitif tam sayılarının EBOB'u bulunurken sırasıyla aşağıdaki adımlar uygulanmıştır:

$$a = 3 \times b + 18$$
$$b = 2 \times 18 + 12$$
$$18 = 1 \times 12 + 6$$
$$12 = 2 \times 6 + 0$$

Buna göre, $a + b$ toplamı kaçtır?

Bir bilgisayar programına girilen $n$ pozitif tam sayısı için şu adımlar izlenmektedir:

1. Adım: $n$ değerini oku.
2. Adım: Eğer $n$ asal sayı ise 4. adıma git, değilse 3. adıma git.
3. Adım: $n$ yerine $n + 1$ yaz ve 2. adıma dön.
4. Adım: $n$ değerini ekrana yazdır ve işlemi sonlandır.

Sisteme $n = 14$ girilirse ekranda yazacak olan sayı kaçtır?

Tanımlı olduğu aralıkta bir $f$ fonksiyonu için aşağıdaki algoritma verilmiştir:

$$f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < 5 \\ f(x-3) + 4, & x \ge 5 \end{cases}$$

Buna göre, $f(10)$ değeri kaçtır?

Bir $x$ pozitif tam sayısı için tanımlanan "yarı-kat algoritması" şu şekildedir:
- Sayı çift ise sayıyı 2'ye böl.
- Sayı tek ise sayıya 5 ekle.

Bu algoritma ardışık olarak uygulanmaktadır. Örneğin, başlangıç sayısı 6 ise: $6 \rightarrow 3 \rightarrow 8 \rightarrow 4 \rightarrow \dots$ şeklinde devam eder.

Buna göre, başlangıç sayısı 13 olan bu algoritmanın 5. adımında elde edilen sayı kaçtır? (Başlangıç sayısı 0. adım kabul edilecektir.)

Bir sayıyı ikilik tabana dönüştürmek için kullanılan "bölme algoritması" şu şekildedir: Sayı sürekli 2'ye bölünür ve kalanlar sağdan sola doğru yazılarak ikilik sistemdeki karşılığı bulunur.

Buna göre, onluk tabandaki 43 sayısının ikilik tabandaki karşılığı olan sayının rakamları toplamı kaçtır?

Aşağıda bir algoritmanın adımları verilmiştir:

1. Adım: $A = 1$, $B = 1$ ve $S = 0$ olarak başla.
2. Adım: $S$ değerine $A \times B$ ekle.
3. Adım: $A$ değerini 2 artır, $B$ değerini 1 artır.
4. Adım: Eğer $A < 6$ ise 2. adıma git, değilse 5. adıma git.
5. Adım: $S$ değerini yazdır.

Bu algoritma çalıştırıldığında ekrana yazdırılan $S$ değeri kaçtır?

Pozitif $x$ ve $y$ tam sayıları için bir algoritma şu şekilde tanımlanmıştır:
- Eğer $x$ ve $y$ aralarında asal ise algoritma $x + y$ değerini üretir.
- Eğer $x$ ve $y$ aralarında asal değil ise algoritma $\text{EBOB}(x, y) \times \text{EKOK}(x, y)$ değerini üretir.

Buna göre, bu algoritmaya sırasıyla $(8, 15)$ ve $(6, 10)$ sayı çiftleri girildiğinde elde edilen sonuçların toplamı kaçtır?

Bir sayı oyunu için tasarlanan algoritma şu adımlarla çalışmaktadır:
Sisteme iki basamaklı bir $AB$ doğal sayısı girilir.

1. Adım: Sayının rakamları toplamı olan $A + B$ değerini hesapla.
2. Adım: Eğer $A + B$ toplamı asal sayı ise $AB$ sayısına 11 ekle ve yeni elde edilen sayı ile 1. adıma dön.
3. Adım: Eğer $A + B$ toplamı asal sayı değilse $AB$ sayısından rakamlarının çarpımını ($A \times B$) çıkar. Elde edilen yeni sayıyı ekrana yazdır ve dur.

Sisteme başlangıçta 23 sayısı girildiğinde, algoritmanın durduğu anda ekranda yazan sayı kaçtır?

Bir veri şifreleme algoritması, üç basamaklı $abc$ doğal sayılarını şifrelemek için şu adımları uygulamaktadır:

- Sayının yüzler basamağındaki rakam $a$, 3 ile çarpılıp 5 tabanında yazılır ve elde edilen iki basamaklı sayının rakamları toplanarak yeni yüzler basamağı belirlenir.
- Onlar basamağındaki rakam $b$, 2 ile çarpılıp 9 ile bölümünden kalan yeni onlar basamağı yapılır.
- Birler basamağındaki rakam $c$, 1 artırılıp karesi alınır ve bu kare değerinin birler basamağı yeni birler basamağı yapılır.

Buna göre, bu şifreleme algoritmasına girilen 473 sayısı, şifrelenmiş olarak hangi üç basamaklı sayıya dönüşür?

Pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı bir $g$ algoritması, girdisi olan $x$ sayısı için şu şekilde çalışmaktadır:

- $x$ sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı $T(x)$ olarak hesaplanır.
- Eğer $T(x) > 4$ ise $x$ yerine $x - T(x)$ yazılır ve algoritma yeni sayı ile tekrar çalıştırılır.
- Eğer $T(x) \le 4$ ise algoritma durur ve güncel $x$ değerini çıktı olarak verir.

Buna göre, sisteme $x = 24$ girildiğinde algoritmanın üreteceği çıktı değeri kaçtır?