💡 10. Sınıf Matematik: Sayı Sayma Stratejileri Çözümlü Örnekler

Bu problemde, öğrenci seçimi sırasında sıranın önemli olmadığı bir durum söz konusudur. Bu nedenle kombinasyon kullanmalıyız.

• Seçilecek kişi sayısı \( n = 15 \)
• Seçilecek grup büyüklüğü \( k = 5 \)

Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
Formülde yerine koyalım: \[ C(15, 5) = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} \]
Hesaplama adımları:

1. \( \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 10!} \)
2. \( \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \)
3. Sadeleştirmeler yapalım: \( 15 \) ile \( 5 \times 3 \) sadeleşir, \( 12 \) ile \( 4 \times 2 \) sadeleşir.
4. \( 1 \times 14 \times 13 \times 1 \times 11 \)
5. \( 3003 \)

Sonuç olarak, 15 öğrenciden 5 kişilik bir gezi grubu 3003 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu problemde, seçilen boya kalemlerinin sıralaması da önemlidir. Bu nedenle permutasyon kullanmalıyız.

• Mevcut kalem sayısı \( n = 5 \)
• Kullanılacak kalem sayısı \( k = 3 \)

Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Formülde yerine koyalım: \[ P(5, 3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} \]
Hesaplama adımları:

1. \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} \)
2. \( 5 \times 4 \times 3 \)
3. \( 60 \)

Sonuç olarak, 5 farklı renkte boya kaleminden 3 tanesiyle 60 farklı sıralama ile resim yapılabilir. 👉

Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

• Bir zarın tüm olası durumları: \( \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \). Toplam 6 durum vardır.
• İstenen durumlar (tek sayılar): \( \{1, 3, 5\} \). Toplam 3 durum vardır.

Olasılık formülü: \( P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
Hesaplama: \[ P(\text{Tek Sayı}) = \frac{3}{6} \]
Sadeleştirme: \[ P(\text{Tek Sayı}) = \frac{1}{2} \]
Sonuç olarak, bir zar atıldığında tek sayı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. 🎉

Bu problemde, akıllı telefon seçimi ve tablet seçimi birbirinden bağımsız iki olaydır. Bu tür durumlarda çarpma prensibi kullanılır.

• Akıllı telefon seçeneği sayısı: 4
• Tablet seçeneği sayısı: 3

Çarpma prensibi: İki olayın gerçekleşme sayısı çarpılır.
Hesaplama: \[ \text{Toplam Seçenek Sayısı} = (\text{Akıllı Telefon Sayısı}) \times (\text{Tablet Sayısı}) \] \[ \text{Toplam Seçenek Sayısı} = 4 \times 3 \] \[ \text{Toplam Seçenek Sayısı} = 12 \]
Sonuç olarak, bir akıllı telefon ve bir tablet 12 farklı şekilde seçilebilir. 🛒

Her mektup için 3 farklı posta kutusu seçeneği vardır. Bu, her mektubun diğerinden bağımsız olduğu anlamına gelir.

• 1. mektup için seçenek sayısı: 3
• 2. mektup için seçenek sayısı: 3
• 3. mektup için seçenek sayısı: 3

Çarpma prensibini kullanarak: \[ \text{Toplam Dağıtım Sayısı} = 3 \times 3 \times 3 \] \[ \text{Toplam Dağıtım Sayısı} = 3^3 \] \[ \text{Toplam Dağıtım Sayısı} = 27 \]
Sonuç olarak, 3 mektup 3 farklı posta kutusuna 27 farklı şekilde atılabilir. 📬

Bu problemde, seçilen kişilerin görevi (başkan veya başkan yardımcısı) sıralamayı değiştirdiği için önemlidir. Bu nedenle permutasyon kullanmalıyız.

• Seçilecek kişi sayısı \( n = 5 \)
• Seçilecek pozisyon sayısı \( k = 2 \) (Başkan ve Başkan Yardımcısı)

Permütasyon formülü: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \)
Formülde yerine koyalım: \[ P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} \]
Hesaplama adımları:

1. \( \frac{5 \times 4 \times 3!}{3!} \)
2. \( 5 \times 4 \)
3. \( 20 \)

Sonuç olarak, 5 kişilik bir öğrenci grubundan başkan ve başkan yardımcısı 20 farklı şekilde seçilebilir. 🏆

Olasılık, istenen durum sayısının tüm olası durum sayısına bölünmesiyle bulunur.

• Torbadaki toplam bilye sayısı: \( 4 (\text{mavi}) + 6 (\text{kırmızı}) = 10 \)
• İstenen durum (mavi bilye sayısı): 4

Olasılık formülü: \( P(\text{Olay}) = \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durum Sayısı}} \)
Hesaplama: \[ P(\text{Mavi Bilye}) = \frac{4}{10} \]
Sadeleştirme: \[ P(\text{Mavi Bilye}) = \frac{2}{5} \]
Sonuç olarak, torbadan mavi bilye çekme olasılığı \( \frac{2}{5} \)'dir. 👍

Bu problemde, tüm kitapların dizilimi söz konusudur ancak 3 kitabın kendi aralarındaki sırası sabittir.

• Toplam kitap sayısı: \( n = 7 \)
• Belirli sırada dizilecek kitap sayısı: \( k = 3 \)

Öncelikle, bu 3 kitabın kendi aralarındaki sıralaması 1'dir çünkü soru "belirli bir sırada" diyor. Bu 3 kitabı tek bir blok gibi düşünebiliriz.
Şimdi elimizde 3 kitaplık bir blok ve kalan \( 7 - 3 = 4 \) kitap var. Toplamda \( 1 + 4 = 5 \) öğe varmış gibi düşünebiliriz.
Bu 5 öğeyi kendi aralarında kaç farklı şekilde dizebiliriz? Bu bir permütasyon problemidir: \( P(5, 5) \) veya \( 5! \).
Hesaplama: \[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \] \[ 5! = 120 \]
Sonuç olarak, 7 farklı kitaptan 3 tanesi belirli bir sırada dizilmek şartıyla 120 farklı şekilde dizilebilir. 🌟