Sayı Problemleri Ders Notu

Matematikte karşılaştığımız günlük yaşam durumlarını, sözel ifadeleri matematiksel dile çevirerek çözme işlemine denklem kurma denir. Sayı problemleri, bu sürecin en temel ve en önemli basamağıdır. 10. sınıf düzeyinde sayı problemlerini çözebilmek için sözel ifadeleri doğru bir şekilde cebirsel ifadelere dönüştürmek gerekir.

Sözel İfadeleri Matematiksel Dile Çevirme 📝

Bir problemi çözmeye başlarken ilk yapılması gereken şey, bilinmeyen çokluğa bir değişken (genellikle \( x \)) atamaktır. Aşağıdaki tabloda sıkça karşılaşılan sözel ifadelerin matematiksel karşılıkları verilmiştir:

Sözel İfade	Matematiksel Karşılığı
Bir sayının \( 5 \) fazlası	\( x + 5 \)
Bir sayının \( 3 \) katı	\( 3x \)
Bir sayının \( 2 \) katının \( 7 \) eksiği	\( 2x - 7 \)
Bir sayının \( 7 \) eksiğinin \( 2 \) katı	\( 2(x - 7) \)
Bir sayının karesinin \( 4 \) fazlası	\( x^2 + 4 \)
Toplamları \( 30 \) olan iki sayı	\( x \) ve \( 30 - x \)

Önemli Not: "Bir sayının \( 2 \) katının \( 7 \) eksiği" ile "Bir sayının \( 7 \) eksiğinin \( 2 \) katı" ifadeleri birbirinden tamamen farklıdır. İşlem sırasına dikkat edilmelidir. İlkinde önce çarpma, ikincisinde ise önce çıkarma işlemi yapılır.

Sayı Problemleri Çözüm Adımları 🎯

Sayı problemlerini hatasız çözmek için şu adımları sırasıyla uygulamak kolaylık sağlar:

• Değişkeni Belirleme: Soruda bizden istenen veya bilinmeyen değere \( x \) gibi bir sembol verilir.
• Denklemi Kurma: Sorudaki Türkçe ifadeler, yukarıdaki dönüşüm kurallarına göre matematiksel eşitlik haline getirilir.
• Denklemi Çözme: Bilinenler bir tarafa, bilinmeyenler diğer tarafa toplanarak değişkenin değeri bulunur.
• Kontrol Etme: Bulunan değerin sorudaki şartları sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir.

Çözümlü Örnekler ✏️

Örnek 1

Bir sayının \( 4 \) katının \( 5 \) eksiği, aynı sayının \( 2 \) katının \( 11 \) fazlasına eşittir. Bu sayıyı bulunuz.

Çözüm:

Bilinmeyen sayımıza \( x \) diyelim.

Sayının \( 4 \) katının \( 5 \) eksiği: \( 4x - 5 \)

Aynı sayının \( 2 \) katının \( 11 \) fazlası: \( 2x + 11 \)

Bu iki ifade birbirine eşit olduğuna göre denklemi kuralım:

\[ 4x - 5 = 2x + 11 \]

Denklemi çözmek için \( 2x \) ifadesini sol tarafa, \( -5 \) ifadesini sağ tarafa geçirelim:

\[ 4x - 2x = 11 + 5 \] \[ 2x = 16 \] \[ x = 8 \]

Aradığımız sayı \( 8 \) olarak bulunur.

Örnek 2

Toplamları \( 80 \) olan iki sayıdan büyüğü, küçüğünün \( 3 \) katından \( 8 \) fazladır. Bu sayıların büyüğünü bulunuz.

Çözüm:

Küçük sayıya \( x \) diyelim.

Toplamları \( 80 \) olduğu için büyük sayı \( 80 - x \) olur.

Soruda büyük sayının, küçük sayının \( 3 \) katından \( 8 \) fazla olduğu belirtilmiştir. Denklemi kuralım:

\[ 80 - x = 3x + 8 \]

Denklemi çözmek için \( -x \) ifadesini sağ tarafa, \( 8 \) ifadesini sol tarafa geçirelim:

\[ 80 - 8 = 3x + x \] \[ 72 = 4x \] \[ x = 18 \]

Küçük sayı \( 18 \) olarak bulunur. Bizden büyük sayı istendiği için:

Büyük sayı = \( 80 - 18 = 62 \) olur.

Örnek 3

Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişerli oturduklarında \( 6 \) öğrenci ayakta kalıyor. Eğer sıralara üçerli otururlarsa \( 2 \) sıra boş kalıyor. Sınıftaki öğrenci sayısını bulunuz.

Çözüm:

Sınıftaki sıra sayısına \( x \) diyelim.

Öğrenciler sıralara ikişerli oturduğunda \( 6 \) öğrenci ayakta kalıyorsa, öğrenci sayısı:

\[ 2x + 6 \]

Öğrenciler sıralara üçerli oturduğunda \( 2 \) sıra boş kalıyorsa, kullanılan sıra sayısı \( x - 2 \) olur. Bu durumda öğrenci sayısı:

\[ 3(x - 2) \]

Sınıftaki öğrenci sayısı değişmeyeçeği için bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:

\[ 2x + 6 = 3(x - 2) \]

Parantezi dağıtalım:

\[ 2x + 6 = 3x - 6 \]

Denklemi çözelim:

\[ 6 + 6 = 3x - 2x \] \[ x = 12 \]

Sıra sayısı \( 12 \) olarak bulunur. Öğrenci sayısını bulmak için herhangi bir ifadede \( x \) yerine \( 12 \) yazalım:

Öğrenci sayısı = \( 2\times 12 + 6 = 24 + 6 = 30 \) olur.

Örnek 4

Bir kumbarada sadece \( 10 \) TL ve \( 20 \) TL'lik banknotlardan oluşan toplam \( 25 \) adet kağıt para vardır. Kumbaradaki paraların toplam değeri \( 370 \) TL olduğuna göre, kumbarada kaç adet \( 10 \) TL'lik banknot vardır?

Çözüm:

Bizden istenen \( 10 \) TL'lik banknotların sayısına \( x \) diyelim.

Toplam banknot sayısı \( 25 \) olduğuna göre, \( 20 \) TL'lik banknotların sayısı \( 25 - x \) olur.

Kumbaradaki toplam para miktarını veren denklemi kuralım:

\[ 10x + 20(25 - x) = 370 \]

Parantezi dağıtalım:

\[ 10x + 500 - 20x = 370 \] \[ 500 - 10x = 370 \] \[ 500 - 370 = 10x \] \[ 130 = 10x \] \[ x = 13 \]

Kumbarada \( 13 \) adet \( 10 \) TL'lik banknot bulunmaktadır.