💡 10. Sınıf Matematik: Sayı Basamakları Çözümlü Örnekler

Sayı basamakları, bir sayıyı oluşturan rakamların bulunduğu yere göre aldığı değeri ifade eder.

• 💡 İki basamaklı \(ab\) sayısında, a onlar basamağında, b ise birler basamağındadır.
• Bu durumda, \(ab\) sayısının çözümlenmiş hali:
• \[ ab = 10 \cdot a + 1 \cdot b = 10a + b \]
• 📌 Üç basamaklı \(xyz\) sayısında ise x yüzler, y onlar, z birler basamağındadır.
• Bu sayının çözümlenmiş hali:
• \[ xyz = 100 \cdot x + 10 \cdot y + 1 \cdot z = 100x + 10y + z \]
• ✅ Sayı çözümleme, basamak değerlerini anlamanın temelidir!

• 📌 Üç basamaklı en küçük doğal sayıyı bulmak için yüzler basamağını mümkün olduğunca küçük, diğer basamakları ise uygun şekilde ayarlamalıyız.
• Sayımız \(abc\) olsun. Rakamları toplamı \(a+b+c=12\) olmalıdır.
• En küçük üç basamaklı sayı için yüzler basamağını (a) en küçük olan 1 seçeriz (çünkü 0 olamaz).
• Şimdi kalan \(b+c=11\) olmalıdır.
• Onlar basamağını (b) da en küçük yapmak isteriz, ancak \(c\) rakam olmalı (0-9 arası).
• Eğer \(b=0\) dersek, \(c=11\) olur ki bu bir rakam değildir.
• Eğer \(b=1\) dersek, \(c=10\) olur ki bu da bir rakam değildir.
• Eğer \(b=2\) dersek, \(c=9\) olur. Bu durumda sayımız \(129\) olur. Rakamları toplamı \(1+2+9=12\)'dir.
• Eğer \(b\) değerini daha büyük seçseydik, sayı da daha büyük olurdu.
• ✅ Bu koşulu sağlayan en küçük üç basamaklı sayı 129'dur. Bu sayının onlar basamağındaki rakam 2'dir.

• 💡 İki basamaklı \(AB\) sayısını çözümleyelim: \(10A + B\).
• Soruda verilen bilgiye göre, sayı rakamları toplamının 5 katına eşit:
• \[ 10A + B = 5 \cdot (A + B) \]
• Şimdi denklemi çözelim:
• \[ 10A + B = 5A + 5B \]
• \(5A\)'yı sol tarafa, \(B\)'yi sağ tarafa atalım:
• \[ 10A - 5A = 5B - B \]
• \[ 5A = 4B \]
• 📌 Bu eşitliği sağlayan \(A\) ve \(B\) rakamlarını bulmalıyız. \(A\) ve \(B\) birer rakam ve \(A\) sıfırdan farklı olmalıdır (iki basamaklı sayı olduğu için).
• Eğer \(A=4\) olursa, \(5 \cdot 4 = 4B \Rightarrow 20 = 4B \Rightarrow B = 5\).
• Bu durumda sayımız \(AB = 45\) olur.
• Kontrol edelim: Rakamları toplamı \(4+5=9\). Sayı \(45\), rakamları toplamının 5 katı \(9 \cdot 5 = 45\).
• ✅ Koşulu sağlayan \(AB\) sayısı 45'tir.

• 💡 Sayıları çözümleyerek denklemi kuralım:
• \(KL\) sayısı: \(10K + L\)
• \(LK\) sayısı: \(10L + K\)
• Soruda verilen fark denklemini yazalım:
• \[ (10K + L) - (10L + K) = 27 \]
• Şimdi parantezleri açıp benzer terimleri gruplayalım:
• \[ 10K + L - 10L - K = 27 \]
• \[ (10K - K) + (L - 10L) = 27 \]
• \[ 9K - 9L = 27 \]
• Her iki tarafı 9 ile bölelim:
• \[ \frac{9(K - L)}{9} = \frac{27}{9} \]
• \[ K - L = 3 \]
• ✅ \(K - L\) farkı 3'tür.

• 📌 Başlangıçtaki \(ABC\) sayısının çözümlenmiş hali:
• \[ ABC = 100A + 10B + C \]
• Yapılan değişiklikleri yeni sayı üzerinde gösterelim:
• Yüzler basamağı \(A+3\) olur.
• Onlar basamağı \(B-2\) olur.
• Birler basamağı \(C+1\) olur.
• Yeni sayının çözümlenmiş hali:
• \[ 100(A+3) + 10(B-2) + (C+1) \]
• Parantezleri açalım:
• \[ 100A + 300 + 10B - 20 + C + 1 \]
• Benzer terimleri gruplayalım:
• \[ (100A + 10B + C) + (300 - 20 + 1) \]
• \[ ABC + (281) \]
• ✅ Görüldüğü gibi, sayının ilk değerine 281 eklenmiş oldu. Yani sayının değeri 281 artar.

• 💡 Müşterinin paketi 38 kg ağırlığındadır.
• Bu sayının onlar basamağındaki rakam \(3\)'tür.
• Bu sayının birler basamağındaki rakam \(8\)'dir.
• Fiyatlandırma kuralına göre:
• Onlar basamağındaki rakamın 2 katı: \(3 \cdot 2 = 6\)
• Birler basamağındaki rakamın 3 katı: \(8 \cdot 3 = 24\)
• Toplam ödeme miktarı bu iki değerin toplamıdır:
• \[ 6 + 24 = 30 \]
• ✅ Müşteri 38 kg'lık paket için 30 TL ödeme yapar.

• 📌 Bu problem, sayı basamakları mantığıyla benzer bir şekilde çözülebilir.
• Ali'nin kumbarasındaki 10 TL'lik banknot sayısına \(x\) diyelim.
• Ali'nin kumbarasındaki 5 TL'lik banknot sayısına \(y\) diyelim.
• Toplam banknot sayısı 15 olduğu için ilk denklemimiz:
• \[ x + y = 15 \]
• Toplam para miktarı 125 TL olduğu için ikinci denklemimiz:
• \[ 10x + 5y = 125 \]
• Şimdi bu iki denklemi birlikte çözelim. İlk denklemden \(y = 15 - x\) yazabiliriz.
• Bu ifadeyi ikinci denklemde yerine koyalım:
• \[ 10x + 5(15 - x) = 125 \]
• Parantezi açalım:
• \[ 10x + 75 - 5x = 125 \]
• Benzer terimleri toplayalım:
• \[ 5x + 75 = 125 \]
• 75'i karşıya atalım:
• \[ 5x = 125 - 75 \]
• \[ 5x = 50 \]
• Her iki tarafı 5'e bölelim:
• \[ x = 10 \]
• ✅ Ali'nin kumbarasında 10 adet 10 TL'lik banknot vardır.

• 💡 İki basamaklı \(MN\) sayısının rakamları toplamı 13'tür, yani:
• \[ M + N = 13 \quad \text{(Denklem 1)} \]
• Sayının rakamları yer değiştirildiğinde oluşan yeni sayı \(NM\) olur.
• Soruda, \(MN\) sayısının değerinin 27 azaldığı belirtiliyor, yani:
• \[ MN - NM = 27 \]
• Sayıları çözümleyerek bu denklemi yazalım:
• \[ (10M + N) - (10N + M) = 27 \]
• Parantezleri açıp düzenleyelim:
• \[ 10M + N - 10N - M = 27 \]
• \[ 9M - 9N = 27 \]
• Her iki tarafı 9'a bölelim:
• \[ M - N = 3 \quad \text{(Denklem 2)} \]
• Şimdi elimizde iki denklemden oluşan bir sistem var:
• 1. \(M + N = 13\)
• 2. \(M - N = 3\)
• Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım:
• \[ (M + N) + (M - N) = 13 + 3 \]
• \[ 2M = 16 \]
• \[ M = 8 \]
• \(M = 8\) değerini ilk denklemde yerine koyalım:
• \[ 8 + N = 13 \]
• \[ N = 13 - 8 \]
• \[ N = 5 \]
• ✅ Buna göre, \(MN\) sayısı 85'tir.