💡 10. Sınıf Matematik: Sabit fonksiyon Çözümlü Örnekler

Sabit fonksiyonun tanımını hatırlayalım: Tanım kümesindeki her elemanı aynı değere eşleyen fonksiyondur. Bu, fonksiyonda değişkenin (örneğin \( x \)) olmaması veya değişkenin katsayısının sıfır olması anlamına gelir.
Şimdi verilen fonksiyonları inceleyelim:

• \( f(x) = 3 \): Bu fonksiyonda \( x \) değişkeni bulunmamaktadır. Fonksiyonun değeri her zaman 3'tür. Dolayısıyla bu bir sabit fonksiyondur. ✅
• \( g(x) = x + 2 \): Bu fonksiyonda \( x \) değişkeni bulunmaktadır. \( x \) yerine farklı değerler koyduğumuzda fonksiyonun değeri değişir (örneğin \( g(1) = 1+2=3 \), \( g(2) = 2+2=4 \)). Dolayısıyla bu bir sabit fonksiyon değildir. ❌
• \( h(x) = 7 \): Bu fonksiyonda da \( x \) değişkeni bulunmamaktadır. Fonksiyonun değeri her zaman 7'dir. Dolayısıyla bu da bir sabit fonksiyondur. ✅

Sonuç olarak, \( f(x) \) ve \( h(x) \) fonksiyonları sabit fonksiyonlardır. 💡

Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için, fonksiyonun içindeki değişkenin katsayısının sıfır olması gerekir.
Verilen fonksiyonumuz \( f(x) = (a-2)x + 5 \).
Bu fonksiyonun sabit olması için, \( x \) teriminin katsayısı olan \( (a-2) \) ifadesi sıfır olmalıdır.
Şimdi bu eşitliği çözelim:

• \( a-2 = 0 \)
• \( a = 2 \)

Böylece \( a \) değerini bulmuş olduk. \( a=2 \) olduğunda fonksiyonumuz \( f(x) = (2-2)x + 5 = 0x + 5 = 5 \) olur ki bu da bir sabit fonksiyondur. ✅ Bu durumda \( a \) değeri 2'dir. 👉

Sabit fonksiyonun en önemli özelliği, tanım kümesindeki tüm elemanlar için aynı değere sahip olmasıdır. Yani, \( f(x) \) ifadesi \( x \)'e bağlı değildir.
Verilen fonksiyon \( f(x) = 3m - 7 \). Bu ifade \( x \) değişkenini içermediği için zaten bir sabit fonksiyondur. Fonksiyonun değeri, \( m \) sabitine bağlı olarak belirlenir.
Soruda bizden \( f(100) \) değeri isteniyor. Sabit fonksiyon olduğu için, tanım kümesindeki hangi elemanı verirsek verelim sonuç aynı olacaktır.
Dolayısıyla, \( f(100) \) değeri de fonksiyonun sabit değerine eşittir.
Yani, \( f(100) = 3m - 7 \) olur. ✅ Eğer \( m \) değeri verilmiş olsaydı, sayısal bir sonuç bulabilirdik. Ancak \( m \) bilinmediği için cevap \( 3m-7 \) olarak kalır. 📌

Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit bir değere eşler.
Bu örnekte, tanım kümemiz ürün adlarından oluşmaktadır (Akıllı Telefon, Tablet, Akıllı Saat).
Fonksiyonumuz \( f(\text{ürün adı}) = \text{kampanya sonrası fiyat} \) şeklinde tanımlanmıştır.
Şimdi fonksiyonun değerlerini inceleyelim:

• \( f(\text{Akıllı Telefon}) = 12.000 \) TL
• \( f(\text{Tablet}) = 6.000 \) TL
• \( f(\text{Akıllı Saat}) = 2.400 \) TL

Gördüğümüz gibi, tanım kümesindeki farklı elemanlar (ürün adları) için fonksiyon farklı değerlere ulaşmaktadır (12.000, 6.000, 2.400).
Bu durum, sabit fonksiyonun tanımına aykırıdır. Sabit fonksiyonda tüm çıktıların aynı olması gerekirdi.
Dolayısıyla, bu kampanya sonrası fiyatları gösteren \( f \) fonksiyonu sabit bir fonksiyon değildir. ❌

Evet, bu durumu bir fonksiyon olarak ifade edebiliriz.
Tanım kümemiz, yolculuk yapılan şehirler arasındaki mesafeler (kilometre cinsinden) olabilir. Değer kümemiz ise bilet fiyatlarıdır.
Fonksiyonumuzu şu şekilde tanımlayabiliriz: \( f(\text{mesafe}) = \text{bilet fiyatı} \).
Firma politikasına göre, mesafe ne olursa olsun bilet fiyatı her zaman 200 TL'dir.
Yani:

• \( f(100 \text{ km}) = 200 \) TL
• \( f(300 \text{ km}) = 200 \) TL
• \( f(500 \text{ km}) = 200 \) TL
• ... ve bunun gibi daha birçok mesafe için...

Gördüğümüz gibi, tanım kümesindeki farklı elemanlar (farklı mesafeler) için fonksiyonun değeri hep aynıdır (200 TL).
Bu, sabit fonksiyonun tanımına uymaktadır. ✅ Dolayısıyla, bu otobüs firmasının sabit ücretlendirme politikası, bir sabit fonksiyon ile ifade edilebilir. 💡

Bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için, değişken içeren terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir.
Verilen fonksiyonumuz \( f(x) = (k-1)x^2 + (m+3)x + 5 \).
Bu fonksiyonun sabit olması için, hem \( x^2 \) teriminin katsayısı hem de \( x \) teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
Şimdi bu koşulları kullanarak \( k \) ve \( m \) değerlerini bulalım:

1. \( x^2 \) teriminin katsayısı sıfır olmalı:
   • \( k-1 = 0 \)
   • \( k = 1 \)
2. \( x \) teriminin katsayısı sıfır olmalı:
   • \( m+3 = 0 \)
   • \( m = -3 \)

Şimdi \( k \) ve \( m \) değerlerini bulduğumuza göre, fonksiyonumuzun sabit halini yazabiliriz:
\( f(x) = (1-1)x^2 + (-3+3)x + 5 \) \( f(x) = 0x^2 + 0x + 5 \) \( f(x) = 5 \)
Fonksiyonumuzun sabit değerinin 5 olduğunu bulduk. ✅
Soruda bizden \( f(k+m) \) değeri isteniyor. \( k=1 \) ve \( m=-3 \) olduğuna göre, \( k+m = 1 + (-3) = -2 \) olur.
Sabit fonksiyon olduğu için, hangi değeri verirsek verelim sonuç 5 olacaktır.
Yani, \( f(k+m) = f(-2) = 5 \). 👉

Evet, bu tanımlanan \( G \) fonksiyonu sabit bir fonksiyondur. ✅
Nedenine gelince:

• Tanım Kümesi: Fonksiyonumuzun tanım kümesi, fabrikada üretilen ürünlerin miktarıdır (örneğin, 100 adet, 500 adet, 1000 adet gibi).
• Değer Kümesi: Fonksiyonumuzun değer kümesi ise fabrikanın sabit giderleridir.

Soruda belirtildiği gibi, fabrikanın sabit giderleri (kira, maaşlar vb.) üretim miktarı ne olursa olsun her zaman aynıdır. Bu, sabit fonksiyonun temel özelliğidir.
Yani, üretim miktarı değişse bile, bu giderleri temsil eden \( G \) fonksiyonunun çıktısı hep aynı sabit bir sayı olacaktır.
Örneğin, eğer sabit giderler toplamı 50.000 TL ise:

• \( G(100 \text{ adet}) = 50.000 \) TL
• \( G(500 \text{ adet}) = 50.000 \) TL
• \( G(1000 \text{ adet}) = 50.000 \) TL

Bu durum, tanım kümesindeki farklı elemanların (üretim miktarları) hep aynı değere (sabit giderler) eşlendiğini göstermektedir. Bu da bir sabit fonksiyonun tanımıdır. 💡

Sabit fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanı aynı sabit bir değere eşler.
Verilen fonksiyonumuz \( f(x) = 2x - 2x + 9 \).
Bu ifadeyi sadeleştirelim:

• \( 2x - 2x = 0 \)

Dolayısıyla, fonksiyonumuz \( f(x) = 0 + 9 \) haline gelir.
Yani, \( f(x) = 9 \) olur. ✅
Bu fonksiyon, \( x \) değişkenini içermeyen bir sabit sayıdır (9). Bu da bir sabit fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Soruda bizden \( f(5) \) değeri isteniyor. Sabit fonksiyon olduğu için, \( x \) yerine hangi sayıyı koyarsak koyalım, fonksiyonun değeri hep aynı kalacaktır.
Bu durumda, \( f(5) \) değeri de 9'a eşittir. 👉