💡 10. Sınıf Matematik: Referans fonksiyonlar ve tersleri Çözümlü Örnekler

Birim fonksiyon, her elemanı kendisine eşleyen fonksiyondur, yani \( f(x) = x \) şeklindedir.
Bu durumda fonksiyonun kuralındaki \( x \)'li terimin katsayısı 1, sabit terim ise 0 olmalıdır.

• \( x \)'li terimin katsayısı: \( a - 3 = 1 \implies a = 4 \)
• Sabit terim: \( b + 5 = 0 \implies b = -5 \)

Bizden istenen \( a \cdot b \) değeri:
\[ 4 \cdot (-5) = -20 \] olarak bulunur. ✅

Rasyonel şekilde verilen bir fonksiyonun sabit fonksiyon olabilmesi için pay ve paydadaki aynı dereceli terimlerin katsayıları oranının birbirine eşit olması gerekir.
Buna göre:
\[ \frac{4}{2} = \frac{k}{-3} \] eşitliğini kurarız.

• İçler dışlar çarpımı yapalım: \( 4 \cdot (-3) = 2 \cdot k \)
• \( -12 = 2k \)
• \( k = -6 \)

Sonuç olarak \( k = -6 \) bulunur. 🎯

Doğrusal fonksiyonlar \( f(x) = ax + b \) formundadır.
Verilen değerleri denklemde yerine koyalım:

• \( f(1) = a \cdot 1 + b = 7 \implies a + b = 7 \)
• \( f(2) = a \cdot 2 + b = 11 \implies 2a + b = 11 \)

Bu iki denklemi taraf tarafa çıkaralım:
\[ (2a + b) - (a + b) = 11 - 7 \] \[ a = 4 \] Şimdi \( a = 4 \) değerini ilk denklemde yerine koyarak \( b \)'yi bulalım:
\[ 4 + b = 7 \implies b = 3 \] Fonksiyonun kuralı: \( f(x) = 4x + 3 \) olur.
Bizden istenen \( f(4) \) değeri:
\[ f(4) = 4 \cdot 4 + 3 = 16 + 3 = 19 \] olarak hesaplanır. ✅

Bir fonksiyonun tersini bulmak için \( y = f(x) \) eşitliğinde \( x \) yalnız bırakılır ve sonra \( x \) ile \( y \) yer değiştirilir.

• Adım 1: \( y = 5x - 8 \)
• Adım 2: \( -8 \)'i karşıya atalım: \( y + 8 = 5x \)
• Adım 3: Her iki tarafı 5'e bölelim: \( x = \frac{y + 8}{5} \)
• Adım 4: \( x \) yerine \( f^{-1}(x) \), \( y \) yerine \( x \) yazalım.

Sonuç olarak:
\[ f^{-1}(x) = \frac{x + 8}{5} \] bulunur. ✨

Rasyonel fonksiyonların tersini alırken kısa yol kullanabiliriz:
\( f(x) = \frac{ax + b}{cx + d} \) ise \( f^{-1}(x) = \frac{-dx + b}{cx - a} \) kuralı uygulanır.
Bu kurala göre paydaki \( x \)'li terimin katsayısı ile paydadaki sabit sayı hem yer hem işaret değiştirir.

• Fonksiyonumuz: \( f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2} \)
• Burada \( a = 3 \) ve \( d = -2 \)'dir.
• Yer ve işaret değiştirelim: \( -2 \) yukarıya \( +2 \) olarak, \( 3 \) aşağıya \( -3 \) olarak geçer.

\[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{x - 3} \] elde edilir. ✅

Parçalı fonksiyonlarda, istenen değerin hangi aralığa düştüğüne bakılarak ilgili kural seçilir.

• f(5) için: \( 5 \ge 3 \) olduğu için üstteki kural kullanılır.
  \( f(5) = 5 + 4 = 9 \)
• f(0) için: \( 0 < 3 \) olduğu için alttaki kural kullanılır.
  \( f(0) = 2 \cdot 0 - 1 = -1 \)

Toplamı bulalım:
\[ 9 + (-1) = 8 \] Sonuç 8'dir. 🌟

a) Fonksiyonun Yazılması:
Sabit bir başlangıç ücreti ve her birim artış için eklenen bir miktar olduğu için bu bir doğrusal fonksiyondur.
\[ f(x) = 15x + 20 \] Burada \( x \) gidilen kilometreyi, \( f(x) \) ise toplam ücreti temsil eder.

b) Ters Fonksiyonun Bulunması:

• \( y = 15x + 20 \)
• \( y - 20 = 15x \)
• \( x = \frac{y - 20}{15} \)

Ters fonksiyon: \( f^{-1}(x) = \frac{x - 20}{15} \) olur.
Anlamı: Ters fonksiyon, ödenen toplam ücret bilindiğinde gidilen mesafeyi (kilometreyi) hesaplamaya yarar. 🛣️

Fonksiyonun tersi ile kendisi arasındaki temel ilişki şudur:
\( f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a \)
Bu kuralı sorumuza uygulayalım:

• \( f(2x - 3) = 4x + 5 \implies f^{-1}(4x + 5) = 2x - 3 \)
• Bizden \( f^{-1}(13) \) isteniyor. Bu yüzden parantez içini 13'e eşitlemeliyiz:
• \( 4x + 5 = 13 \)
• \( 4x = 8 \)
• \( x = 2 \)

Şimdi bulduğumuz \( x = 2 \) değerini sağ taraftaki ifadede yerine yazalım:
\[ f^{-1}(13) = 2 \cdot 2 - 3 \] \[ f^{-1}(13) = 4 - 3 = 1 \] Cevabımız 1 olarak bulunur. ✅