🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Ve Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Ve Karekök Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir rasyonel fonksiyon olan \( f(x) = \frac{2x+1}{x-3} \) veriliyor. Bu fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
💡 Tanım kümesi, fonksiyonun paydasını sıfır yapmayan tüm reel sayılardan oluşur.
💡 Tanım kümesi, fonksiyonun paydasını sıfır yapmayan tüm reel sayılardan oluşur.
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonun paydasını belirleyelim. Payda \( x-3 \) ifadesidir.
- Adım 2: Paydayı sıfıra eşitleyerek tanımsız yapan değeri bulalım. \( x-3 = 0 \) denklemini çözersek \( x = 3 \) elde ederiz.
- Adım 3: Bu değer, fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
- Sonuç: Fonksiyonun tanım kümesi, 3 hariç tüm reel sayılardır. Küme gösterimiyle \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) veya aralık gösterimiyle \( (-\infty, 3) \cup (3, \infty) \) şeklinde ifade edilir.
Örnek 2:
\( \sqrt{16} \) ifadesinin değerini hesaplayınız.
📌 Karekök, kendisiyle çarpıldığında içindeki sayıyı veren pozitif sayıdır.
📌 Karekök, kendisiyle çarpıldığında içindeki sayıyı veren pozitif sayıdır.
Çözüm:
- Adım 1: Karekök içindeki sayının 16 olduğunu görüyoruz.
- Adım 2: Hangi sayının karesinin 16 olduğunu düşünelim.
- Adım 3: \( 4 \times 4 = 16 \) olduğundan, 4'ün karesi 16'dır.
- Sonuç: Bu nedenle, \( \sqrt{16} = 4 \) olur.
Örnek 3:
\( g(x) = \frac{x^2-4}{x+2} \) rasyonel fonksiyonunun sadeleştirilmiş halini ve tanım kümesini bulunuz.
💡 Pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapabiliriz.
💡 Pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak sadeleştirme yapabiliriz.
Çözüm:
- Adım 1: Pay kısmını çarpanlarına ayıralım. \( x^2-4 \) ifadesi iki kare farkıdır ve \( (x-2)(x+2) \) şeklinde yazılabilir.
- Adım 2: Fonksiyonu bu çarpanlarla yeniden yazalım: \( g(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x+2} \).
- Adım 3: Paydadaki \( x+2 \) ifadesi ile paydaki \( x+2 \) ifadesi sadeleşir, ancak bu sadeleştirme \( x+2 \neq 0 \) yani \( x \neq -2 \) koşuluyla geçerlidir.
- Adım 4: Sadeleşmiş fonksiyon \( g(x) = x-2 \) olur.
- Sonuç: Fonksiyonun tanım kümesi, paydasını sıfır yapan \( x = -2 \) değeri hariç tüm reel sayılardır. Yani, \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \) veya \( (-\infty, -2) \cup (-2, \infty) \). Sadeleşmiş hali \( g(x) = x-2 \) iken, tanım kümesi orijinal fonksiyon üzerinden belirlenir.
Örnek 4:
\( \sqrt{72} \) ifadesini en sade şekilde yazınız.
📌 Tam kare çarpanları bulmak, karekökü sadeleştirmenin anahtarıdır.
📌 Tam kare çarpanları bulmak, karekökü sadeleştirmenin anahtarıdır.
Çözüm:
- Adım 1: 72 sayısını, çarpanlarından biri tam kare olan sayılar şeklinde yazmaya çalışalım.
- Adım 2: 72'nin çarpanlarına bakalım: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72.
- Adım 3: Bu çarpanlar arasında en büyük tam kare 36'dır. 72'yi \( 36 \times 2 \) şeklinde yazabiliriz.
- Adım 4: Karekök özelliğini kullanarak ifadeyi ayırabiliriz: \( \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} \).
- Adım 5: \( \sqrt{36} = 6 \) olduğundan, sonuç \( 6\sqrt{2} \) olur.
Örnek 5:
Bir grafik tasarımcısı, bir logo tasarlarken \( f(x) = \frac{x+5}{x-1} \) rasyonel fonksiyonunu kullanıyor. Tasarımcının logo için kullanabileceği x değerlerinin kümesi nedir?
👉 Logo tasarımında fonksiyonun geçerli olduğu bölgeler önemlidir.
👉 Logo tasarımında fonksiyonun geçerli olduğu bölgeler önemlidir.
Çözüm:
- Adım 1: Rasyonel fonksiyonun geçerli olabilmesi için paydasının sıfır olmaması gerekir.
- Adım 2: Fonksiyonun paydası \( x-1 \) ifadesidir.
- Adım 3: Paydayı sıfıra eşitleyen değeri bulalım: \( x-1 = 0 \), buradan \( x = 1 \) bulunur.
- Adım 4: Bu \( x=1 \) değeri, fonksiyonun tanım kümesinden çıkarılmalıdır.
- Sonuç: Tasarımcı, \( x=1 \) değeri dışındaki tüm reel sayıları kullanabilir. Bu küme, \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \) veya \( (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \) olarak ifade edilir.
Örnek 6:
Bir inşaat mühendisi, bir yapının maliyetini hesaplamak için \( M(t) = \sqrt{t^2 + 9} \) formülünü kullanıyor, burada \( t \) geçen zamanı (yıl olarak) temsil ediyor. Mühendisin kullanabileceği \( t \) değerleri için hangi koşul geçerlidir?
💡 Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
💡 Karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
Çözüm:
- Adım 1: Karekök fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir.
- Adım 2: Formüldeki karekök içi ifade \( t^2 + 9 \) şeklindedir.
- Adım 3: \( t \) bir zamanı temsil ettiği için reel bir sayıdır. Reel sayıların karesi her zaman negatif olmayan bir sayıdır (\( t^2 \ge 0 \)).
- Adım 4: Bu nedenle, \( t^2 + 9 \) ifadesi her zaman \( 0 + 9 = 9 \) veya daha büyük olacaktır. Yani, \( t^2 + 9 \ge 9 \) olur.
- Sonuç: Karekök içindeki ifade her zaman pozitiftir, bu yüzden \( t \) her türlü reel sayı değeri alabilir. Ancak zaman negatif olamayacağı için \( t \ge 0 \) olmalıdır.
Örnek 7:
Bir süpermarket, indirimli ürünlerin fiyatını \( F(x) = \frac{100}{x} \) TL olarak hesaplıyor, burada \( x \) ürünün orijinal fiyatıdır. Bir ürünün indirimli fiyatının hesaplanabilmesi için orijinal fiyatı (x) ne olmalıdır?
📌 Fiyatlar negatif olamaz ve sıfıra bölünemez.
📌 Fiyatlar negatif olamaz ve sıfıra bölünemez.
Çözüm:
- Adım 1: Fonksiyonun paydası \( x \) olduğundan, \( x \) sıfır olamaz. Çünkü sıfıra bölme tanımsızdır.
- Adım 2: Ürünlerin orijinal fiyatları ( \( x \) ) negatif olamaz, yani \( x > 0 \) olmalıdır.
- Adım 3: Bu nedenle, \( x \) pozitif reel sayılar kümesinde olmalıdır.
- Sonuç: Bir ürünün indirimli fiyatının hesaplanabilmesi için orijinal fiyatı pozitif bir reel sayı olmalıdır. Yani, \( x \in \mathbb{R}^+ \) veya \( x > 0 \).
Örnek 8:
Bir kimya laboratuvarında, bir çözeltinin pH değerini hesaplamak için \( \sqrt{0.0001} \) işlemi yapılıyor. Bu işlemin sonucu kaçtır?
💡 Ondalık sayılarda karekök almak, kesirli hale getirerek veya sayının üslü yazımıyla kolaylaşır.
💡 Ondalık sayılarda karekök almak, kesirli hale getirerek veya sayının üslü yazımıyla kolaylaşır.
Çözüm:
- Adım 1: Karekök içindeki \( 0.0001 \) sayısını kesirli olarak yazalım. \( 0.0001 = \frac{1}{10000} \).
- Adım 2: Karekök özelliğini kullanarak ifadeyi ayırabiliriz: \( \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{10000}} \).
- Adım 3: \( \sqrt{1} = 1 \) olduğunu biliyoruz.
- Adım 4: \( \sqrt{10000} \) değerini bulalım. \( 100 \times 100 = 10000 \) olduğundan, \( \sqrt{10000} = 100 \)'dür.
- Adım 5: Sonucu hesaplayalım: \( \frac{1}{100} \).
- Sonuç: \( \sqrt{0.0001} = \frac{1}{100} = 0.01 \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-ve-karekok-fonksiyonlar/sorular