💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonların Tüm Özellikleri Çözümlü Örnekler

• 👉 Fonksiyonun paydası \( x - 3 \)'tür.
• 👉 Paydayı sıfır yapan \( x \) değerini bulmak için \( x - 3 = 0 \) denklemini çözeriz.
• 👉 Buradan \( x = 3 \) bulunur.
• ✅ Yani, \( x = 3 \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar. Bu nedenle, tanım kümesinden bu değeri çıkarmalıyız.

Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \)

• 👉 Öncelikle fonksiyonun payını sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 4 = 0 \).
• 👉 Bu ifadeyi çarpanlarına ayırırsak: \( (x - 2)(x + 2) = 0 \).
• 👉 Buradan \( x - 2 = 0 \) ise \( x_1 = 2 \) veya \( x + 2 = 0 \) ise \( x_2 = -2 \) bulunur.
• 👉 Şimdi bu değerlerin paydayı sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmeliyiz. Fonksiyonun paydası \( x + 2 \)'dir.
• 👉 \( x_1 = 2 \) için payda: \( 2 + 2 = 4 \neq 0 \). Yani \( x = 2 \) bir köktür.
• 👉 \( x_2 = -2 \) için payda: \( -2 + 2 = 0 \). 🛑 Bu değer paydayı sıfır yaptığı için fonksiyon bu noktada tanımsızdır ve dolayısıyla bir sıfırı olamaz.

• 👉 \( h(0) \) değerini hesaplayalım:
• \( h(0) = \frac{3(0) - 1}{0^2 + 2} \)
• \( h(0) = \frac{0 - 1}{0 + 2} \)
• \( h(0) = \frac{-1}{2} \)
• ✅ Yani, \( h(0) = -\frac{1}{2} \).

• 👉 \( h(-1) \) değerini hesaplayalım:
• \( h(-1) = \frac{3(-1) - 1}{(-1)^2 + 2} \)
• \( h(-1) = \frac{-3 - 1}{1 + 2} \)
• \( h(-1) = \frac{-4}{3} \)
• ✅ Yani, \( h(-1) = -\frac{4}{3} \).

• 1. Adım: Payın kökünü bulalım.
• \( x - 3 = 0 \implies x = 3 \)
• 2. Adım: Paydanın kökünü bulalım.
• \( x + 1 = 0 \implies x = -1 \)
• 3. Adım: İşaret tablosu oluşturalım.
• Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayalım: \( -1 \) ve \( 3 \).
• Tabloda \( x = -1 \) için fonksiyonun tanımsız olduğunu (\( \varnothing \)), \( x = 3 \) için ise sıfır olduğunu (\( 0 \)) belirtmeliyiz.
• En sağdaki aralıktan (yani \( x > 3 \)) başlayarak işaretleri belirleyelim. Örneğin \( x = 4 \) için: \( \frac{4 - 3}{4 + 1} = \frac{1}{5} > 0 \). Yani \( (3, \infty) \) aralığında pozitif.
• Köklerden geçerken işaret değişir (tek katlı kökler için).

x | -infinity -1 3 +infinity
----------------------------------------------------
x - 3 | - - 0 +
x + 1 | - 0 + +
----------------------------------------------------
k(x) | + (tanımsız) - 0 +


• 👉 Paydamız \( x^2 + ax + 9 \)'dur.
• 👉 Bu ifadenin kökleri olmaması için diskriminantının (\( \Delta \)) sıfırdan küçük olması gerekir. (10. Sınıf İkinci Dereceden Denklemler konusu)
• 👉 Diskriminant formülü: \( \Delta = b^2 - 4ac \). Burada \( a=1 \), \( b=a \), \( c=9 \).
• 👉 O halde, \( a^2 - 4(1)(9) < 0 \) olmalıdır.
• 👉 \( a^2 - 36 < 0 \)
• 👉 Bu eşitsizliği çözelim: \( (a - 6)(a + 6) < 0 \).
• 👉 Bu eşitsizliğin kökleri \( a = 6 \) ve \( a = -6 \)'dır.
• 👉 İşaret tablosu (veya basit eşitsizlik çözümü) ile \( a^2 - 36 < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi \( (-6, 6) \) aralığıdır.

• 1. Adım: Başlangıçtaki popülasyonu bulalım (\( t=0 \)).
• \( P(0) = \frac{100(0) + 50}{0 + 1} = \frac{50}{1} = 50 \) bin bakteri.
• 2. Adım: 4 saat sonraki popülasyonu bulalım (\( t=4 \)).
• \( P(4) = \frac{100(4) + 50}{4 + 1} = \frac{400 + 50}{5} = \frac{450}{5} = 90 \) bin bakteri.
• 3. Adım: Fonksiyonun artan mı azalan mı olduğunu yorumlayalım.
• Fonksiyonu daha basit hale getirebiliriz: \( P(t) = \frac{100(t+1) - 50}{t+1} = 100 - \frac{50}{t+1} \).
• \( t \) arttıkça \( t+1 \) artar, \( \frac{50}{t+1} \) değeri küçülür.
• Bu durumda \( 100 - \frac{50}{t+1} \) değeri büyür. Yani fonksiyon artan bir fonksiyondur.

• 1. Adım: 10 pizza üretildiğinde ortalama maliyeti hesaplayalım.
• \( M(10) = \frac{20(10) + 500}{10} \)
• \( M(10) = \frac{200 + 500}{10} = \frac{700}{10} = 70 \) TL.
• Yani, günde 10 pizza üretilirse, bir pizzanın ortalama maliyeti 70 TL'dir.

• 2. Adım: 100 pizza üretildiğinde ortalama maliyeti hesaplayalım.
• \( M(100) = \frac{20(100) + 500}{100} \)
• \( M(100) = \frac{2000 + 500}{100} = \frac{2500}{100} = 25 \) TL.
• Yani, günde 100 pizza üretilirse, bir pizzanın ortalama maliyeti 25 TL'dir.

• 1. Adım: x-eksenini kestiği noktayı bulalım.
• x-eksenini kesen noktada \( y = 0 \) olmalıdır. Yani \( m(x) = 0 \) olmalıdır.
• Bir rasyonel fonksiyonun değeri sıfır ise, payı sıfır olmalıdır (payda sıfır olmamak şartıyla).
• \( x - 6 = 0 \implies x = 6 \).
• \( x = 6 \) değeri paydayı \( 6 + 2 = 8 \neq 0 \) yaptığı için geçerlidir.
• ✅ x-eksenini kestiği nokta: \( \mathbf{(6, 0)} \).
• 2. Adım: y-eksenini kestiği noktayı bulalım.
• y-eksenini kesen noktada \( x = 0 \) olmalıdır.
• \( m(0) = \frac{0 - 6}{0 + 2} = \frac{-6}{2} = -3 \).
• ✅ y-eksenini kestiği nokta: \( \mathbf{(0, -3)} \).
• 3. Adım: Tanımsız olduğu noktayı bulalım.
• Fonksiyonun tanımsız olduğu nokta, paydasını sıfır yapan \( x \) değeridir.
• \( x + 2 = 0 \implies x = -2 \).
• ✅ Fonksiyonun tanımsız olduğu nokta: \( \mathbf{x = -2} \). Bu noktada fonksiyon grafiği kesintiye uğrar.

• 👉 Fonksiyon: \( I(R) = \frac{V_0}{R + r} \)
• 👉 Verilen değerler: \( I(R) = 3 \) amper, \( V_0 = 12 \) volt, \( r = 2 \) ohm.
• 👉 Bu değerleri fonksiyonda yerine yazalım:
• \( 3 = \frac{12}{R + 2} \)
• 👉 Şimdi bu denklemi \( R \) için çözelim. Paydayı karşı tarafa çarpım olarak atabiliriz ( \( R+2 \neq 0 \) olduğunu varsayarak, ki direnç negatif olamayacağından bu varsayım geçerlidir):
• \( 3(R + 2) = 12 \)
• 👉 Parantezi açalım:
• \( 3R + 6 = 12 \)
• 👉 \( 6 \)'yı karşıya atalım:
• \( 3R = 12 - 6 \)
• \( 3R = 6 \)
• 👉 Her iki tarafı \( 3 \)'e bölelim:
• \( R = \frac{6}{3} \)
• \( R = 2 \) ohm.