🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonların ters orantıyla ilişkisi Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonların ters orantıyla ilişkisi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki değişkenin ters orantılı olması ne anlama gelir? Eğer \( x \) ve \( y \) ters orantılı ise, bu ilişkiyi matematiksel olarak nasıl ifade ederiz? 💡
Çözüm:
- İki nicelikten biri artarken diğerinin aynı oranda azalması durumuna ters orantı denir.
- Eğer \( x \) ve \( y \) ters orantılı ise, bu demektir ki çarpımları sabittir.
- Bu sabit sayıya orantı sabiti denir ve genellikle \( k \) harfi ile gösterilir.
- Matematiksel olarak bu ilişki şu şekilde ifade edilir: \( x \cdot y = k \), burada \( k \neq 0 \) bir sabittir.
- Bu aynı zamanda \( y = \frac{k}{x} \) veya \( x = \frac{k}{y} \) şeklinde de yazılabilir. Bu form, \( y \)'nin \( x \)'in bir fonksiyonu olduğunu ve \( \frac{1}{x} \) ile doğru orantılı olduğunu gösterir.
Örnek 2:
Bir işçi, bir işi tek başına 12 günde bitirebiliyor. Aynı işi 3 işçi birlikte yaparsa kaç günde bitirebilirler? (İşçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır.) ⏳
Çözüm:
- Bu problemde işçi sayısı ile işin bitme süresi ters orantılıdır.
- Orantı sabiti \( k \) olsun.
- Tek başına çalışan işçi için: \( 1 \text{ işçi} \cdot 12 \text{ gün} = k \). Buradan \( k = 12 \) bulunur.
- Şimdi 3 işçi için aynı sabiti kullanalım: \( 3 \text{ işçi} \cdot x \text{ gün} = k \).
- \( 3 \cdot x = 12 \) denklemini çözersek, \( x = \frac{12}{3} = 4 \) gün buluruz.
- Yani, 3 işçi aynı işi 4 günde bitirebilir. ✅
Örnek 3:
\( y \), \( x \) ile ters orantılıdır ve \( x = 3 \) iken \( y = 6 \) olmaktadır. Buna göre \( x = 9 \) iken \( y \) kaç olur? 🤔
Çözüm:
- \( y \), \( x \) ile ters orantılı olduğu için çarpımları sabittir: \( x \cdot y = k \).
- Verilen ilk duruma göre \( k \) değerini bulalım: \( 3 \cdot 6 = k \). Buradan \( k = 18 \) bulunur.
- Şimdi \( x = 9 \) iken \( y \) değerini bulmak için aynı sabitli denklemi kullanalım: \( 9 \cdot y = 18 \).
- Bu denklemi çözerek \( y \) değerini buluruz: \( y = \frac{18}{9} = 2 \).
- Sonuç olarak, \( x = 9 \) iken \( y = 2 \) olur. 👉
Örnek 4:
Bir aracın sabit bir mesafeyi alması için gereken süre ( \( t \) ), aracın hızı ( \( v \) ) ile ters orantılıdır. Eğer araç \( 60 \) km/sa hızla giderse mesafeyi \( 4 \) saatte alıyorsa, \( 80 \) km/sa hızla giderse mesafeyi kaç saatte alır? 🚗
Çözüm:
- Süre ( \( t \) ) ve hız ( \( v \) ) ters orantılı olduğu için çarpımları sabittir: \( v \cdot t = k \).
- İlk durumdaki hız ve süre ile orantı sabitini bulalım: \( 60 \text{ km/sa} \cdot 4 \text{ saat} = k \). Buradan \( k = 240 \) km (bu, alınan mesafedir).
- Şimdi yeni hızla ( \( 80 \) km/sa) süreyi bulalım: \( 80 \text{ km/sa} \cdot t = 240 \text{ km} \).
- Denklemi çözerek \( t \) değerini buluruz: \( t = \frac{240}{80} = 3 \) saat.
- Yani, araç \( 80 \) km/sa hızla giderse mesafeyi \( 3 \) saatte alır. ✅
Örnek 5:
Bir havuzu doldurmak için kullanılan musluk sayısı ( \( n \) ) ile her bir musluğun açık kalma süresi ( \( t \) ) ters orantılıdır. Eğer \( 5 \) musluk havuzu \( 12 \) dakikada dolduruyorsa, aynı havuzu \( 3 \) musluk kaç dakikada doldurur? 💧
Çözüm:
- Musluk sayısı ( \( n \) ) ile her bir musluğun açık kalma süresi ( \( t \) ) ters orantılıdır.
- Bu durumda çarpımları sabittir: \( n \cdot t = k \).
- İlk durumda \( n = 5 \) ve \( t = 12 \) dakika. Orantı sabitini bulalım: \( 5 \cdot 12 = k \). Buradan \( k = 60 \) bulunur. Bu sabit, havuzun tamamını doldurmak için gereken toplam "musluk-dakika" iş miktarıdır.
- Şimdi \( n = 3 \) musluk için \( t \) değerini bulalım: \( 3 \cdot t = 60 \).
- Denklemi çözerek \( t \) değerini buluruz: \( t = \frac{60}{3} = 20 \) dakika.
- Sonuç olarak, \( 3 \) musluk aynı havuzu \( 20 \) dakikada doldurur. 💡
Örnek 6:
Bir grup arkadaş, bir piknik sepetini eşit şekilde paylaşmaya karar veriyor. Eğer kişi sayısı artarsa, kişi başına düşen yiyecek miktarı ne olur? Bu durumu rasyonel fonksiyonlar ve ters orantı ile nasıl açıklayabiliriz? 🧺
Çözüm:
- Bu durumda, toplam yiyecek miktarı (sabit) ile kişi sayısı ters orantılıdır.
- Kişi başına düşen yiyecek miktarı, toplam yiyecek miktarının kişi sayısına bölünmesiyle bulunur.
- Eğer toplam yiyecek miktarı \( M \) ve kişi sayısı \( n \) ise, kişi başına düşen yiyecek miktarı \( y \) olsun.
- Bu ilişkiyi matematiksel olarak \( y = \frac{M}{n} \) şeklinde ifade edebiliriz.
- Bu denklem, \( y \) ile \( n \) arasında bir ters orantı olduğunu gösterir. Çünkü \( n \) (kişi sayısı) artarsa, \( y \) (kişi başına düşen yiyecek miktarı) azalır.
- Burada \( M \) bizim orantı sabitimizdir.
- Örneğin, \( M = 100 \) birim yiyecek olsun.
- Eğer \( n = 10 \) kişi olursa, kişi başına \( y = \frac{100}{10} = 10 \) birim yiyecek düşer.
- Eğer kişi sayısı \( n = 20 \) olursa, kişi başına \( y = \frac{100}{20} = 5 \) birim yiyecek düşer.
- Gördüğümüz gibi, kişi sayısı arttıkça kişi başına düşen yiyecek miktarı azalmaktadır. Bu, rasyonel fonksiyonların ters orantıdaki rolünü gösterir. 🍎
Örnek 7:
\( y = \frac{a}{x} \) fonksiyonunda \( x \) değeri \( 2 \) katına çıkarılırsa, \( y \) değeri nasıl değişir? Bu değişimi ters orantı kavramıyla açıklayınız. 📈
Çözüm:
- Verilen fonksiyon \( y = \frac{a}{x} \) şeklindedir. Burada \( a \) bir sabittir ve bu fonksiyon \( y \) ile \( x \) arasında bir ters orantı olduğunu gösterir.
- Başlangıçta \( y_1 = \frac{a}{x_1} \) olsun.
- Şimdi \( x \) değerini \( 2 \) katına çıkaralım. Yeni \( x \) değeri \( x_2 = 2x_1 \) olur.
- Yeni \( y \) değerini hesaplayalım: \( y_2 = \frac{a}{x_2} = \frac{a}{2x_1} \).
- Bu ifadeyi \( y_1 \) cinsinden yazarsak: \( y_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{x_1} = \frac{1}{2} y_1 \).
- Sonuç olarak, \( x \) değeri \( 2 \) katına çıktığında, \( y \) değeri yarıya iner.
- Bu durum, ters orantının temel özelliğidir: bir değişken \( k \) katına çıkarsa, diğer değişken \( \frac{1}{k} \) katına iner. Burada \( k=2 \) olmuştur. 📉
Örnek 8:
Bir grup öğrenci, bir proje için eşit miktarda malzeme alacaktır. Eğer öğrenci sayısı \( 4 \) iken kişi başına \( 15 \) birim malzeme düşüyorsa, aynı miktarda malzemeyi \( 6 \) öğrenciye eşit olarak dağıtmak istersek, kişi başına kaç birim malzeme düşer? 📦
Çözüm:
- Bu problemde öğrenci sayısı ile kişi başına düşen malzeme miktarı ters orantılıdır.
- Orantı sabiti \( k \) olsun.
- İlk duruma göre: \( 4 \text{ öğrenci} \cdot 15 \text{ birim/öğrenci} = k \). Buradan toplam malzeme miktarı \( k = 60 \) birim bulunur.
- Şimdi \( 6 \) öğrenci için kişi başına düşen malzeme miktarını ( \( x \) ) bulalım: \( 6 \text{ öğrenci} \cdot x \text{ birim/öğrenci} = 60 \text{ birim} \).
- Denklemi çözersek: \( x = \frac{60}{6} = 10 \) birim.
- Yani, \( 6 \) öğrenciye eşit olarak dağıtıldığında kişi başına \( 10 \) birim malzeme düşer. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlarin-ters-orantiyla-iliskisi/sorular