💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonların Ters Orantı İlişkisi ve Gerçek Yaşam Uygulamaları Çözümlü Örnekler

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  İşçi sayısını \( x \) ile gösterelim.
  İşin bitirilme süresini \( y \) (gün) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir. Yani \( x \cdot y = k \) şeklindedir.
• ✅ Sabiti Bulma (\( k \)):
  Soruda verilen bilgiye göre, 1 işçi işi 12 günde bitiriyor. O halde \( x=1 \) iken \( y=12 \).
  Bu değerleri ters orantı denkleminde yerine koyalım: \( 1 \cdot 12 = k \)
  Buradan \( k = 12 \) bulunur.
• ✍️ Denklemi Yazma:
  Sabit \( k \) değerini yerine koyduğumuzda, işçi sayısı ile işin bitirilme süresi arasındaki ilişkiyi gösteren denklem:
  \[ x \cdot y = 12 \] veya \( y \) cinsinden ifade edersek:
  \[ y = \frac{12}{x} \] Bu denklem, işçi sayısı \( x \) ile işin bitirilme süresi \( y \) arasındaki ters orantı ilişkisini bir rasyonel fonksiyon olarak ifade eder.

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  Kişi sayısını \( x \) ile gösterelim.
  Her bir kişiye düşen para miktarını \( y \) (TL) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir: \( x \cdot y = k \).
• ✅ Sabiti Bulma (\( k \)):
  Verilen bilgilere göre, 3 kişi arasında paylaşıldığında her birine 80 TL düşüyor. Yani \( x=3 \) iken \( y=80 \).
  Bu değerleri denklemde yerine koyalım: \( 3 \cdot 80 = k \)
  Buradan \( k = 240 \) bulunur. Bu sabit, toplam para miktarını temsil eder.
• ✍️ Yeni Durumu Hesaplama:
  Şimdi, para 5 kişi arasında paylaştırılırsa her birine düşen para miktarını bulalım. Bu durumda \( x=5 \) olacaktır.
  Ters orantı denklemini kullanalım: \( x \cdot y = k \)
  \( 5 \cdot y = 240 \)
  Her iki tarafı 5'e böldüğümüzde:
  \[ y = \frac{240}{5} = 48 \]

✅ Sonuç olarak, para 5 kişi arasında paylaştırılırsa her birine 48 TL düşerdi.

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  Ortalama hızı \( v \) (km/saat) ile gösterelim.
  Yolculuk süresini \( t \) (saat) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı iki çokluğun çarpımı sabittir: \( v \cdot t = k \). Bu sabit, gidilen toplam mesafeyi temsil eder.
• ✅ Sabiti Bulma (\( k \)):
  Soruda verilen bilgiye göre, 90 km/saat hızla 4 saatte yol tamamlanıyor. Yani \( v=90 \) iken \( t=4 \).
  Bu değerleri denklemde yerine koyalım: \( 90 \cdot 4 = k \)
  Buradan \( k = 360 \) km bulunur. Bu, otomobilin gittiği toplam mesafedir.
• ✍️ Yeni Durumu Hesaplama:
  Şimdi, aynı yolu 6 saatte tamamlaması için gereken ortalama hızı bulalım. Bu durumda \( t=6 \) olacaktır.
  Ters orantı denklemini kullanalım: \( v \cdot t = k \)
  \( v \cdot 6 = 360 \)
  Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde:
  \[ v = \frac{360}{6} = 60 \]

✅ Sonuç olarak, aynı yolu 6 saatte tamamlaması için otomobilin ortalama hızı 60 km/saat olmalıdır.

• 👉 Ters Orantı Sabitini Bulma (\( k \)):
  Tablodaki ilk satırı kullanarak \( k \) sabitini bulabiliriz:
  \( x = 10 \) iken \( y = 18 \).
  \( k = x \cdot y = 10 \cdot 18 = 180 \).
  Yani, bu proje için toplam iş miktarı 180 işçi-ay olarak sabitlenmiştir.
• ✅ A Değerini Bulma:
  Tablonun ikinci satırında \( x = 15 \) iken \( y = A \)'dır.
  Ters orantı kuralını uygulayalım: \( x \cdot y = k \)
  \( 15 \cdot A = 180 \)
  Her iki tarafı 15'e böldüğümüzde:
  \[ A = \frac{180}{15} = 12 \] Demek ki, 15 işçi bu projeyi 12 ayda bitirebilir.
• ✍️ B Değerini Bulma:
  Tablonun üçüncü satırında \( x = B \) iken \( y = 6 \)'dır.
  Ters orantı kuralını tekrar uygulayalım: \( x \cdot y = k \)
  \( B \cdot 6 = 180 \)
  Her iki tarafı 6'ya böldüğümüzde:
  \[ B = \frac{180}{6} = 30 \] Yani, projenin 6 ayda bitirilmesi için 30 işçiye ihtiyaç vardır.

📌 Sonuç olarak, A = 12 ve B = 30'dur.

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  Usta sayısını \( u \) ile gösterelim.
  Hazırlanma süresini \( t \) (saat) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: \( u \cdot t = k \).
• ✅ Sabiti Bulma (\( k \)):
  Verilen bilgilere göre, 2 usta bir pastayı 3 saatte hazırlıyor. Yani \( u=2 \) iken \( t=3 \).
  Bu değerleri denklemde yerine koyalım: \( 2 \cdot 3 = k \)
  Buradan \( k = 6 \) bulunur. Bu sabit, bir pastanın hazırlanması için gereken toplam "usta-saat" miktarını temsil eder.
• ✍️ Yeni Durumu Hesaplama:
  Pastayı 1 saat 30 dakikada hazırlamak istiyoruz. Öncelikle süreyi saat cinsinden ifade edelim:
  1 saat 30 dakika = \( 1 + \frac{30}{60} \) saat = \( 1 + 0.5 \) saat = \( 1.5 \) saat.
  Bu durumda \( t = 1.5 \) olacaktır.
  Ters orantı denklemini kullanalım: \( u \cdot t = k \)
  \( u \cdot 1.5 = 6 \)
  Her iki tarafı 1.5'e böldüğümüzde:
  \[ u = \frac{6}{1.5} = \frac{60}{15} = 4 \]

✅ Sonuç olarak, aynı pastayı 1 saat 30 dakikada hazırlamak için 4 ustaya ihtiyaç vardır.

• 1️⃣ \( f(x) = 3x + 5 \)
  Bu, doğrusal bir fonksiyondur. \( x \) arttıkça \( f(x) \) de artar. Ters orantı ilişkisi değildir.
• 2️⃣ \( g(x) = \frac{10}{x} \)
  Bu fonksiyon, \( y = \frac{k}{x} \) formundadır, burada \( k=10 \) sabit bir sayıdır. \( x \) değeri arttıkça \( g(x) \) değeri azalır ve \( x \) değeri azaldıkça \( g(x) \) değeri artar. Bu, ters orantı ilişkisini belirtir. Aynı zamanda rasyonel bir fonksiyondur.
• 3️⃣ \( h(x) = x^2 \)
  Bu, parabolik bir fonksiyondur. \( x \) arttıkça \( h(x) \) de artar (pozitif \( x \) değerleri için). Ters orantı ilişkisi değildir.
• 4️⃣ \( k(x) = \frac{x}{2} \)
  Bu fonksiyon \( k(x) = 0.5x \) olarak da yazılabilir ve doğrusal bir fonksiyondur. \( x \) arttıkça \( k(x) \) de artar. Doğru orantı ilişkisidir (\( y = mx \) formu). Ters orantı ilişkisi değildir.

✅ Bu durumda, yalnızca \( g(x) = \frac{10}{x} \) fonksiyonu ters orantı ilişkisi belirtmektedir.

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  Musluk sayısını \( m \) ile gösterelim.
  Deponun dolma süresini \( t \) (saat) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: \( m \cdot t = k \).
• ✅ Sabiti Bulma (\( k \)):
  Verilen bilgilere göre, 4 musluk bir depoyu 6 saatte dolduruyor. Yani \( m=4 \) iken \( t=6 \).
  Bu değerleri denklemde yerine koyalım: \( 4 \cdot 6 = k \)
  Buradan \( k = 24 \) bulunur. Bu sabit, deponun dolması için gereken toplam "musluk-saat" miktarını temsil eder.
• ✍️ Yeni Durumu Hesaplama (Gereken Toplam Musluk Sayısı):
  Deponun 2 saatte dolmasını istiyoruz. Bu durumda \( t = 2 \) olacaktır.
  Ters orantı denklemini kullanalım: \( m \cdot t = k \)
  \( m \cdot 2 = 24 \)
  Her iki tarafı 2'ye böldüğümüzde:
  \[ m = \frac{24}{2} = 12 \] Demek ki, deponun 2 saatte dolması için toplam 12 musluğa ihtiyaç vardır.
• 💡 Ek Musluk Sayısını Bulma:
  Başlangıçta 4 musluk vardı. Şimdi 12 musluğa ihtiyacımız var.
  Ek musluk sayısı = Toplam gereken musluk sayısı - Mevcut musluk sayısı
  Ek musluk sayısı = \( 12 - 4 = 8 \)

✅ Sonuç olarak, deponun 2 saatte dolması için 8 tane daha musluğa ihtiyaç vardır.

• 👉 Değişkenleri Belirle:
  Kamptaki kişi sayısını \( k \) ile gösterelim.
  Yiyecek stoğunun yetme süresini \( s \) (gün) ile gösterelim.
• 📌 Ters Orantı Kuralı:
  Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir: \( k \cdot s = C \). (Burada C, toplam kişi-gün yiyecek miktarını temsil eder.)
• ✅ Sabiti Bulma (\( C \)):
  Verilen bilgilere göre, 10 kişilik bir gruba yiyecek stoğu 12 gün yetiyor. Yani \( k=10 \) iken \( s=12 \).
  Bu değerleri denklemde yerine koyalım: \( 10 \cdot 12 = C \)
  Buradan \( C = 120 \) bulunur. Bu, toplam yiyecek stoğunun 120 kişi-günlük olduğunu gösterir.
• ✍️ Yeni Durumu Hesaplama:
  Şimdi, 15 kişilik bir kamp grubuna aynı yiyecek stoğunun kaç gün yeteceğini bulalım. Bu durumda \( k=15 \) olacaktır.
  Ters orantı denklemini kullanalım: \( k \cdot s = C \)
  \( 15 \cdot s = 120 \)
  Her iki tarafı 15'e böldüğümüzde:
  \[ s = \frac{120}{15} = 8 \]

✅ Sonuç olarak, aynı yiyecek stoğu 15 kişilik bir kamp grubuna 8 gün yeter.