🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlardan Türetilen Ters Orantı Soruları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlardan Türetilen Ters Orantı Soruları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki pozitif tam sayının çarpımı 72'dir. Bu sayılardan biri 3 katına çıkarılırsa, diğer sayı ne olmalıdır ki çarpımları yine 72 olsun? 🤔
Çözüm:
Bu problem, ters orantı prensibini temel alır. İki sayının çarpımının sabit kalması, sayılar arasında ters orantı olduğunu gösterir.
- İlk olarak, verilen bilgiyi matematiksel olarak ifade edelim: Sayılarımız x ve y olsun. Çarpımları sabittir: \( x \cdot y = 72 \).
- Soruda, sayılardan biri (örneğin x) 3 katına çıkarılıyor. Yeni sayı \( 3x \) olur.
- Çarpımın yine 72 olması için diğer sayının (y'nin) ne olması gerektiğini bulmalıyız. Yeni denklemimiz: \( (3x) \cdot y' = 72 \), burada \( y' \) yeni sayıyı temsil eder.
- Bu iki denklemi karşılaştıralım:
- \( x \cdot y = 72 \)
- \( 3x \cdot y' = 72 \)
- Her iki denklem de 72'ye eşit olduğundan, sol taraflarını birbirine eşitleyebiliriz: \( x \cdot y = 3x \cdot y' \).
- Her iki tarafı da x'e bölelim (x pozitif tam sayı olduğu için sıfır olamaz): \( y = 3y' \).
- Buradan \( y' \) çekelim: \( y' = \frac{y}{3} \).
- Bu sonuç, diğer sayının ilk sayının \( \frac{1}{3} \) katı olması gerektiğini gösterir. Yani, diğer sayı 3'e bölünmelidir. ✅
Örnek 2:
Bir işi 6 işçi 12 günde bitirebiliyorsa, aynı işi 9 işçi kaç günde bitirebilir? ⏳
Çözüm:
Bu klasik bir ters orantı problemidir. İşçi sayısı arttıkça işin bitme süresi azalır.
- İşçi sayısı ile işin bitme süresi arasında ters orantı vardır. Bu, işçi sayısı ile gün sayısının çarpımının sabit olacağı anlamına gelir.
- İlk durumda: 6 işçi \( \cdot \) 12 gün = 72 (işçi-gün). Bu, toplam iş miktarını temsil eder.
- İkinci durumda: 9 işçi \( \cdot \) x gün = 72 (işçi-gün).
- x'i bulmak için denklemi çözelim: \( 9x = 72 \).
- Her iki tarafı 9'a bölersek: \( x = \frac{72}{9} \).
- Sonuç: \( x = 8 \) gün.
- Yani, 9 işçi aynı işi 8 günde bitirebilir. 👉
Örnek 3:
Bir depodaki benzin, 15 kamyonun her birinin 20 gün yeteceği miktardadır. Eğer depoya 5 kamyon daha eklenirse, aynı benzin kaç gün yeter? ⛽
Çözüm:
Bu problem, toplam benzin miktarının sabit olduğu bir ters orantı durumunu ele alır.
- İlk olarak, depodaki toplam benzin miktarını "kamyon-gün" birimiyle hesaplayalım.
- Başlangıçta 15 kamyon var ve benzin 20 gün yetiyor. Toplam benzin miktarı = \( 15 \text{ kamyon} \times 20 \text{ gün} = 300 \text{ kamyon-gün} \).
- Depoya 5 kamyon daha eklenirse, toplam kamyon sayısı \( 15 + 5 = 20 \) kamyon olur.
- Şimdi, 300 kamyon-günlük benzinin 20 kamyona kaç gün yeteceğini bulalım.
- Yeni durum için denklem: \( 20 \text{ kamyon} \times y \text{ gün} = 300 \text{ kamyon-gün} \).
- y'yi bulmak için denklemi çözeriz: \( y = \frac{300}{20} \).
- Sonuç: \( y = 15 \) gün.
- Demek ki, 20 kamyona benzin 15 gün yeter. 💡
Örnek 4:
Bir grup arkadaş, bir pastayı eşit şekilde paylaşmaya karar veriyor. Eğer gruba 2 kişi daha katılırsa, kişi başı düşen pasta miktarı \( \frac{1}{4} \) azalıyor. Başlangıçta grupta kaç kişi vardı? 🍰
Çözüm:
Bu, kişi sayısı ile kişi başı düşen pasta miktarı arasında ters orantı olduğunu gösteren bir problemdir.
- Başlangıçtaki kişi sayısına x diyelim. Kişi başı düşen pasta miktarı P olsun.
- Toplam pasta miktarı sabittir: \( x \cdot P = \text{Sabit} \).
- Gruba 2 kişi daha katılırsa, kişi sayısı \( x+2 \) olur.
- Kişi başı düşen pasta miktarı \( \frac{1}{4} \) azaldığına göre, yeni miktar \( P - \frac{1}{4}P = \frac{3}{4}P \) olur.
- Yeni durum için denklem: \( (x+2) \cdot \frac{3}{4}P = \text{Sabit} \).
- Sabit pasta miktarları eşit olduğundan: \( x \cdot P = (x+2) \cdot \frac{3}{4}P \).
- Her iki tarafı da P'ye bölelim (P sıfır olamaz): \( x = (x+2) \cdot \frac{3}{4} \).
- Denklemi çözelim:
- \( x = \frac{3}{4}x + \frac{6}{4} \)
- \( x - \frac{3}{4}x = \frac{6}{4} \)
- \( \frac{1}{4}x = \frac{6}{4} \)
- \( x = 6 \)
- Başlangıçta grupta 6 kişi vardı. ✅
Örnek 5:
\( y \), x ile ters orantılıdır ve \( x=4 \) iken \( y=6 \) oluyor. x'in değeri \( \frac{1}{2} \) katına inerse, y'nin değeri kaç katına çıkar? 📈
Çözüm:
Bu problemde, ters orantı sabitini kullanarak y'deki değişimi bulacağız.
- y, x ile ters orantılı ise, \( y = \frac{k}{x} \) şeklinde yazılabilir, burada k ters orantı sabitidir.
- Verilen \( x=4 \) ve \( y=6 \) değerlerini kullanarak k'yı bulalım: \( 6 = \frac{k}{4} \).
- Buradan k'yı çekersek: \( k = 6 \times 4 = 24 \).
- O halde, ilişki \( y = \frac{24}{x} \) şeklindedir.
- Şimdi, x'in değeri \( \frac{1}{2} \) katına inerse ne olur?
- Yeni x değeri \( x_{yeni} = \frac{1}{2}x = \frac{1}{2}(4) = 2 \) olur.
- Bu yeni x değeri için y'nin yeni değerini hesaplayalım: \( y_{yeni} = \frac{24}{x_{yeni}} = \frac{24}{2} = 12 \).
- Başlangıçtaki y değeri 6 idi, yeni y değeri ise 12 oldu.
- y'nin kaç katına çıktığını bulmak için yeni değeri ilk değere bölelim: \( \frac{y_{yeni}}{y_{ilk}} = \frac{12}{6} = 2 \).
- Demek ki, y'nin değeri 2 katına çıkar. 💯
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasındaki mahsulü toplamak için 5 işçi tutuyor ve işin 10 günde biteceğini hesaplıyor. Eğer çiftçi işi 5 günde bitirmek isterse, kaç işçi çalıştırmalıdır? 🧑🌾
Çözüm:
Bu, işçi sayısı ile işin bitme süresi arasındaki ters orantıyı gösteren basit bir problemdir.
- İşçi sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır. Yani, \( \text{İşçi Sayısı} \times \text{Gün Sayısı} = \text{Sabit} \).
- İlk durumda: 5 işçi \( \times \) 10 gün = 50 (işçi-gün). Bu, toplam iş miktarını temsil eder.
- İkinci durumda, işin 5 günde bitmesi isteniyor. Çalıştırılması gereken işçi sayısına N diyelim.
- Denklem: \( N \text{ işçi} \times 5 \text{ gün} = 50 \text{ işçi-gün} \).
- N'yi bulmak için denklemi çözeriz: \( N = \frac{50}{5} \).
- Sonuç: \( N = 10 \) işçi.
- Yani, işin 5 günde bitmesi için 10 işçi çalıştırmalıdır. ✅
Örnek 7:
Bir miktar parayı 4 kişi eşit paylaşırsa kişi başı 30 TL düşüyor. Aynı para 6 kişi tarafından paylaşılırsa kişi başı kaç TL düşer? 💰
Çözüm:
Bu problemde, kişi sayısı ile kişi başı düşen para miktarı arasında ters orantı vardır.
- Toplam para miktarı sabittir. Kişi sayısı ile kişi başı düşen para miktarı çarpımı bu toplam parayı verir.
- İlk durumda: 4 kişi \( \times \) 30 TL/kişi = 120 TL. Bu, paylaşılacak toplam paradır.
- İkinci durumda, aynı para 6 kişi tarafından paylaşılacaktır. Kişi başı düşen miktarı M ile gösterelim.
- Denklem: 6 kişi \( \times \) M TL/kişi = 120 TL.
- M'yi bulmak için denklemi çözeriz: \( M = \frac{120}{6} \).
- Sonuç: \( M = 20 \) TL.
- Demek ki, aynı para 6 kişi tarafından paylaşılırsa kişi başı 20 TL düşer. 👉
Örnek 8:
Bir su deposunu 10 musluk 6 saatte doldurabiliyor. Depo aynı sürede (6 saatte) dolması isteniyorsa ve 4 musluk arızalanırsa, kaç tane daha musluk çalıştırmak gerekir? 💧
Çözüm:
Bu problem, musluk sayısı ile depoyu doldurma süresi arasındaki ters orantıyı ele alır.
- Musluk sayısı ile depoyu doldurma süresi ters orantılıdır. Yani, \( \text{Musluk Sayısı} \times \text{Süre} = \text{Sabit} \).
- İlk durumda: 10 musluk \( \times \) 6 saat = 60 (musluk-saat). Bu, deponun toplam hacmini veya doldurma kapasitesini temsil eder.
- Deponun yine 6 saatte dolması isteniyor.
- 4 musluk arızalandığına göre, çalışan musluk sayısı \( 10 - 4 = 6 \) musluk kalır.
- Ancak, soruda "kaç tane daha musluk çalıştırmak gerekir" diye soruluyor. Bu, başlangıçtaki 10 musluğa göre eklenen musluk sayısını bulmamız gerektiğini gösterir.
- Eğer depo 6 saatte dolacaksa ve toplam kapasite 60 musluk-saat ise, gereken toplam musluk sayısı \( \frac{60}{6} = 10 \) musluk olur.
- Zaten 10 musluk vardı ve 4'ü arızalandı, yani 6 musluk çalışır durumda.
- Deponun 6 saatte dolması için 10 musluğa ihtiyaç var. Şu anda 6 musluk çalışıyor.
- Eklenmesi gereken musluk sayısı = Gerekli musluk sayısı - Çalışır durumda olan musluk sayısı.
- Ek musluk sayısı = \( 10 - 6 = 4 \) musluk.
- Dolayısıyla, 4 tane daha musluk çalıştırmak gerekir. 💡
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlardan-turetilen-ters-oranti-sorulari/sorular