🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlardan Türetilen Fonksiyonların Gerçek Yaşam Uygulamaları Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlardan Türetilen Fonksiyonların Gerçek Yaşam Uygulamaları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir kargo şirketinin, gönderi ücretini belirlerken kullandığı bir formül düşünelim. Eğer gönderinin ağırlığı \(x\) kg ise, ücret \(f(x) = \frac{10x + 5}{x + 1}\) TL olarak hesaplanıyor. Bu formülün, gönderi ağırlığı arttıkça ücretin değişim hızını gösteren türevini inceleyelim.
Öncelikle, verilen rasyonel fonksiyonumuz \(f(x) = \frac{10x + 5}{x + 1}\).
Bu fonksiyonun türevini bulmak için bölüm kuralını kullanacağız: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Burada \(u = 10x + 5\) ve \(v = x + 1\).
Türevlerini alalım: \(u' = 10\) ve \(v' = 1\).
Şimdi bölüm kuralını uygulayalım:
💡 Bu tür rasyonel fonksiyonların türevleri, ekonomik modellerde (maliyet, gelir değişim hızları), fiziksel büyüklüklerin değişim oranlarını analiz etmede ve mühendislik problemlerinde sıkça kullanılır.
Öncelikle, verilen rasyonel fonksiyonumuz \(f(x) = \frac{10x + 5}{x + 1}\).
Bu fonksiyonun türevini bulmak için bölüm kuralını kullanacağız: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Burada \(u = 10x + 5\) ve \(v = x + 1\).
Türevlerini alalım: \(u' = 10\) ve \(v' = 1\).
Şimdi bölüm kuralını uygulayalım:
- \(f'(x) = \frac{(10)(x + 1) - (10x + 5)(1)}{(x + 1)^2}\)
- \(f'(x) = \frac{10x + 10 - 10x - 5}{(x + 1)^2}\)
- \(f'(x) = \frac{5}{(x + 1)^2}\)
💡 Bu tür rasyonel fonksiyonların türevleri, ekonomik modellerde (maliyet, gelir değişim hızları), fiziksel büyüklüklerin değişim oranlarını analiz etmede ve mühendislik problemlerinde sıkça kullanılır.
Çözüm:
Örnek 2:
Bir üretim tesisinin maliyet fonksiyonu \(C(x) = \frac{50x + 100}{x + 2}\) TL olarak veriliyor, burada \(x\) üretilen birim sayısını göstermektedir. Üretilen birim sayısı arttıkça marjinal maliyetin (bir ek birimin maliyeti) nasıl değiştiğini bulmak için maliyet fonksiyonunun türevini hesaplayınız.
Çözüm:
Sonuç: Maliyet fonksiyonunun türevi \(C'(x) = 0\) olarak bulundu. Bu, üretilen birim sayısı artsa bile marjinal maliyetin sabit kaldığı anlamına gelir. Bu özel durumda, ek bir birim üretmenin maliyeti değişmemektedir.
📌 Bu tür analizler, işletmelerin üretim kararlarını optimize etmelerine yardımcı olur.
- Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama
- Adım 2: Türev Kuralını Belirleme
- Adım 3: Pay ve Paydanın Türevlerini Alma
- Adım 4: Bölüm Kuralını Uygulama
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme
Verilen maliyet fonksiyonu: \(C(x) = \frac{50x + 100}{x + 2}\).
Rasyonel bir fonksiyon olduğu için bölüm kuralını kullanacağız: \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).
Burada \(u = 50x + 100\) ve \(v = x + 2\).
\(u' = \frac{d}{dx}(50x + 100) = 50\)
\(v' = \frac{d}{dx}(x + 2) = 1\)
\(C'(x) = \frac{(50)(x + 2) - (50x + 100)(1)}{(x + 2)^2}\)
\(C'(x) = \frac{50x + 100 - 50x - 100}{(x + 2)^2}\)
\(C'(x) = \frac{0}{(x + 2)^2}\)
\(C'(x) = 0\)
Sonuç: Maliyet fonksiyonunun türevi \(C'(x) = 0\) olarak bulundu. Bu, üretilen birim sayısı artsa bile marjinal maliyetin sabit kaldığı anlamına gelir. Bu özel durumda, ek bir birim üretmenin maliyeti değişmemektedir.
📌 Bu tür analizler, işletmelerin üretim kararlarını optimize etmelerine yardımcı olur.
Örnek 3:
Bir kimya laboratuvarında, bir kimyasal reaksiyonun başlangıcından \(t\) saniye sonra oluşan ürün miktarını gösteren fonksiyon \(P(t) = \frac{10t}{t + 5}\) gram olarak verilmiştir. Reaksiyonun hızını (oluşan ürün miktarının zamana göre değişim oranı) temsil eden türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(P'(t) = \frac{50}{(t + 5)^2}\) fonksiyonu, reaksiyonun hızını gösterir. Zaman geçtikçe ( \(t\) büyüdükçe), payda \( (t+5)^2 \) değeri artar ve dolayısıyla reaksiyon hızı azalır. Bu, reaksiyonun başlangıçta daha hızlı olup zamanla yavaşladığını ifade eder.
💡 Kimyasal kinetikte reaksiyon hızlarının analizi için türevler temel araçlardır.
- Fonksiyon: \(P(t) = \frac{10t}{t + 5}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 10t \implies u' = 10\)
- Paydanın Türevi: \(v = t + 5 \implies v' = 1\)
- Türevi Hesaplama:
\(P'(t) = \frac{(10)(t + 5) - (10t)(1)}{(t + 5)^2}\)
\(P'(t) = \frac{10t + 50 - 10t}{(t + 5)^2}\)
\(P'(t) = \frac{50}{(t + 5)^2}\)
Yorum: \(P'(t) = \frac{50}{(t + 5)^2}\) fonksiyonu, reaksiyonun hızını gösterir. Zaman geçtikçe ( \(t\) büyüdükçe), payda \( (t+5)^2 \) değeri artar ve dolayısıyla reaksiyon hızı azalır. Bu, reaksiyonun başlangıçta daha hızlı olup zamanla yavaşladığını ifade eder.
💡 Kimyasal kinetikte reaksiyon hızlarının analizi için türevler temel araçlardır.
Örnek 4:
Bir akaryakıt istasyonunda, bir depoya yakıt doldurma hızı \(r(t) = \frac{20t}{t^2 + 1}\) litre/dakika olarak veriliyor, burada \(t\) geçen süreyi dakika cinsinden gösterir. Depodaki toplam yakıt miktarının zamana göre değişim oranını gösteren türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(r'(t) = \frac{20(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2}\) fonksiyonu, yakıt doldurma hızının değişim oranını gösterir. Eğer \(t < 1\) ise, \(r'(t) > 0\) olur ve bu, doldurma hızının arttığını gösterir. Eğer \(t > 1\) ise, \(r'(t) < 0\) olur ve bu, doldurma hızının azaldığını gösterir. \(t = 1\) anında hız değişimi sıfırdır.
📌 Bu analiz, yakıt ikmal süreçlerinin verimliliğini anlamak için önemlidir.
- Fonksiyon: \(r(t) = \frac{20t}{t^2 + 1}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 20t \implies u' = 20\)
- Paydanın Türevi: \(v = t^2 + 1 \implies v' = 2t\)
- Türevi Hesaplama:
\(r'(t) = \frac{(20)(t^2 + 1) - (20t)(2t)}{(t^2 + 1)^2}\)
\(r'(t) = \frac{20t^2 + 20 - 40t^2}{(t^2 + 1)^2}\)
\(r'(t) = \frac{20 - 20t^2}{(t^2 + 1)^2}\)
Yorum: \(r'(t) = \frac{20(1 - t^2)}{(t^2 + 1)^2}\) fonksiyonu, yakıt doldurma hızının değişim oranını gösterir. Eğer \(t < 1\) ise, \(r'(t) > 0\) olur ve bu, doldurma hızının arttığını gösterir. Eğer \(t > 1\) ise, \(r'(t) < 0\) olur ve bu, doldurma hızının azaldığını gösterir. \(t = 1\) anında hız değişimi sıfırdır.
📌 Bu analiz, yakıt ikmal süreçlerinin verimliliğini anlamak için önemlidir.
Örnek 5:
Bir sosyal medya platformunda, bir gönderinin görüntülenme sayısının zamanla değişimini modelleyen fonksiyon \(G(t) = \frac{1000t}{t + 10}\) olarak verilmiştir, burada \(t\) gönderinin yayınlanmasından sonra geçen saati temsil eder. Gönderinin görüntülenme hızının arttığı mı azaldığı mı olduğunu anlamak için, görüntülenme hızını veren \(G(t)\) fonksiyonunun türevini ve bu türevin değişimini inceleyiniz.
Çözüm:
✅ Bu, gönderilerin popülerliğinin başlangıçta hızla arttığını ancak zamanla bu artışın ivmesinin düştüğünü gösteren tipik bir durumdur.
- Adım 1: Görüntülenme Fonksiyonu
- Adım 2: Görüntülenme Hızını Veren Türev Fonksiyonunu Hesaplama
- Adım 3: Görüntülenme Hızının Değişimini İnceleme (Türevin Türevi)
- Adım 4: Sonuçları Yorumlama
\(G(t) = \frac{1000t}{t + 10}\)
Pay: \(u = 1000t \implies u' = 1000\)
Payda: \(v = t + 10 \implies v' = 1\)
Bölüm Kuralı: \(G'(t) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
\(G'(t) = \frac{(1000)(t + 10) - (1000t)(1)}{(t + 10)^2}\)
\(G'(t) = \frac{1000t + 10000 - 1000t}{(t + 10)^2}\)
\(G'(t) = \frac{10000}{(t + 10)^2}\)
Bu \(G'(t)\) fonksiyonu, gönderinin görüntülenme hızını gösterir.
Görüntülenme hızının değişimini anlamak için \(G'(t)\) fonksiyonunun türevini almalıyız.
\(G'(t) = 10000(t + 10)^{-2}\)
Şimdi \(G'(t)\) fonksiyonunun türevini (yani \(G''(t)\) 'yi) hesaplayalım:
\(G''(t) = 10000 \cdot (-2) \cdot (t + 10)^{-3} \cdot \frac{d}{dt}(t + 10)\)
\(G''(t) = -20000 (t + 10)^{-3} \cdot 1\)
\(G''(t) = \frac{-20000}{(t + 10)^3}\)
\(G'(t) = \frac{10000}{(t + 10)^2}\) her zaman pozitiftir, bu da görüntülenme hızının sürekli arttığını gösterir.
Ancak, \(G''(t) = \frac{-20000}{(t + 10)^3}\) fonksiyonu, \(t > 0\) için her zaman negatiftir. Bu, görüntülenme hızının artış hızının azaldığını gösterir. Yani, görüntülenme sayısı artmaya devam etse de, bu artışın hızı zamanla yavaşlamaktadır.
✅ Bu, gönderilerin popülerliğinin başlangıçta hızla arttığını ancak zamanla bu artışın ivmesinin düştüğünü gösteren tipik bir durumdur.
Örnek 6:
Bir çevrimiçi mağazanın, bir ürünün fiyatı \(p\) TL iken talep edilen miktarını \(q(p) = \frac{500}{p + 5}\) adet olarak gösteren bir talep fonksiyonu vardır. Fiyat arttıkça talep edilen miktarın değişim oranını gösteren türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(q'(p) = \frac{-500}{(p + 5)^2}\) fonksiyonu, fiyat \(p\) arttıkça talep edilen miktarın azalma oranını gösterir. Türevin negatif olması, fiyat artışıyla birlikte talebin azaldığı klasik talep eğrisi özelliğini yansıtır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, talep o kadar hızlı düşer.
💡 Ekonomide talep esnekliği gibi kavramlar, bu tür türev analizleriyle yakından ilişkilidir.
- Fonksiyon: \(q(p) = \frac{500}{p + 5}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 500 \implies u' = 0\)
- Paydanın Türevi: \(v = p + 5 \implies v' = 1\)
- Türevi Hesaplama:
\(q'(p) = \frac{(0)(p + 5) - (500)(1)}{(p + 5)^2}\)
\(q'(p) = \frac{0 - 500}{(p + 5)^2}\)
\(q'(p) = \frac{-500}{(p + 5)^2}\)
Yorum: \(q'(p) = \frac{-500}{(p + 5)^2}\) fonksiyonu, fiyat \(p\) arttıkça talep edilen miktarın azalma oranını gösterir. Türevin negatif olması, fiyat artışıyla birlikte talebin azaldığı klasik talep eğrisi özelliğini yansıtır. Fiyat ne kadar yüksek olursa, talep o kadar hızlı düşer.
💡 Ekonomide talep esnekliği gibi kavramlar, bu tür türev analizleriyle yakından ilişkilidir.
Örnek 7:
Bir biyoloji deneyinde, bir bakteri popülasyonunun büyüklüğü \(N(t) = \frac{200t}{t + 10}\) olarak veriliyor, burada \(t\) saat cinsinden geçen zamandır. Popülasyonun büyüme hızının (birim zamanda artış miktarı) zamana göre değişimini gösteren türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(N'(t) = \frac{2000}{(t + 10)^2}\) fonksiyonu, bakteri popülasyonunun büyüme hızını gösterir. Zaman geçtikçe \(t\) değeri artar, bu da paydanın \( (t+10)^2 \) değerini artırır. Sonuç olarak, büyüme hızı azalır. Bu, popülasyonun başlangıçta daha hızlı büyüdüğünü ancak zamanla büyüme hızının yavaşladığını gösterir.
💡 Biyolojide popülasyon dinamiklerini anlamak için türevler kullanılır.
- Fonksiyon: \(N(t) = \frac{200t}{t + 10}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 200t \implies u' = 200\)
- Paydanın Türevi: \(v = t + 10 \implies v' = 1\)
- Türevi Hesaplama:
\(N'(t) = \frac{(200)(t + 10) - (200t)(1)}{(t + 10)^2}\)
\(N'(t) = \frac{200t + 2000 - 200t}{(t + 10)^2}\)
\(N'(t) = \frac{2000}{(t + 10)^2}\)
Yorum: \(N'(t) = \frac{2000}{(t + 10)^2}\) fonksiyonu, bakteri popülasyonunun büyüme hızını gösterir. Zaman geçtikçe \(t\) değeri artar, bu da paydanın \( (t+10)^2 \) değerini artırır. Sonuç olarak, büyüme hızı azalır. Bu, popülasyonun başlangıçta daha hızlı büyüdüğünü ancak zamanla büyüme hızının yavaşladığını gösterir.
💡 Biyolojide popülasyon dinamiklerini anlamak için türevler kullanılır.
Örnek 8:
Bir mühendis, bir köprünün taşıma kapasitesini \(C(x) = \frac{1000x}{x + 50}\) ton olarak modelliyor, burada \(x\) köprünün yapımında kullanılan malzemenin miktarını (ton cinsinden) temsil ediyor. Kullanılan malzeme miktarı arttıkça taşıma kapasitesinin değişim hızını gösteren türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(C'(x) = \frac{50000}{(x + 50)^2}\) fonksiyonu, kullanılan malzeme miktarı arttıkça köprünün taşıma kapasitesinin artış hızını gösterir. Bu değer her zaman pozitiftir, yani malzeme miktarı arttıkça taşıma kapasitesi de artar. Ancak, payda \( (x+50)^2 \) değeri büyüdükçe, bu artış hızı azalır. Bu, mühendislikte verimlilik ve maliyet analizlerinde önemli bir faktördür.
📌 Yapı mühendisliğinde malzeme seçimi ve optimizasyonu için türevler kullanılır.
- Fonksiyon: \(C(x) = \frac{1000x}{x + 50}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 1000x \implies u' = 1000\)
- Paydanın Türevi: \(v = x + 50 \implies v' = 1\)
- Türevi Hesaplama:
\(C'(x) = \frac{(1000)(x + 50) - (1000x)(1)}{(x + 50)^2}\)
\(C'(x) = \frac{1000x + 50000 - 1000x}{(x + 50)^2}\)
\(C'(x) = \frac{50000}{(x + 50)^2}\)
Yorum: \(C'(x) = \frac{50000}{(x + 50)^2}\) fonksiyonu, kullanılan malzeme miktarı arttıkça köprünün taşıma kapasitesinin artış hızını gösterir. Bu değer her zaman pozitiftir, yani malzeme miktarı arttıkça taşıma kapasitesi de artar. Ancak, payda \( (x+50)^2 \) değeri büyüdükçe, bu artış hızı azalır. Bu, mühendislikte verimlilik ve maliyet analizlerinde önemli bir faktördür.
📌 Yapı mühendisliğinde malzeme seçimi ve optimizasyonu için türevler kullanılır.
Örnek 9:
Bir yayıncı, bir video oyununun satışlarını zamanla \(S(t) = \frac{5000t}{t^2 + 25}\) adet olarak modellemektedir, burada \(t\) oyunun piyasaya sürülmesinden sonra geçen haftayı temsil eder. Oyunun satış hızının en yüksek olduğu haftayı bulmak için, satış hızını veren \(S(t)\) fonksiyonunun türevini ve bu türevin değişimini inceleyiniz.
Çözüm:
✅ Bu analiz, oyunun pazarlama stratejilerini planlamak için kritik öneme sahiptir.
- Adım 1: Satış Fonksiyonu
- Adım 2: Satış Hızını Veren Türev Fonksiyonunu Hesaplama
- Adım 3: Satış Hızının Maksimum Olduğu Haftayı Bulma (Türevin Türevi)
- Adım 4: Sonuçları Yorumlama
\(S(t) = \frac{5000t}{t^2 + 25}\)
Pay: \(u = 5000t \implies u' = 5000\)
Payda: \(v = t^2 + 25 \implies v' = 2t\)
Bölüm Kuralı: \(S'(t) = \frac{u'v - uv'}{v^2}\)
\(S'(t) = \frac{(5000)(t^2 + 25) - (5000t)(2t)}{(t^2 + 25)^2}\)
\(S'(t) = \frac{5000t^2 + 125000 - 10000t^2}{(t^2 + 25)^2}\)
\(S'(t) = \frac{125000 - 5000t^2}{(t^2 + 25)^2}\)
Bu \(S'(t)\) fonksiyonu, oyunun satış hızını gösterir.
Satış hızının en yüksek olduğu anı bulmak için, satış hızının değişim oranını (yani, \(S'(t)\) fonksiyonunun türevini, \(S''(t)\)'yi) sıfıra eşitlemeliyiz.
\(S'(t) = \frac{5000(25 - t^2)}{(t^2 + 25)^2}\)
\(S''(t)\) hesaplamak için bölüm kuralını tekrar kullanacağız. Bu biraz karmaşık olabilir, bu yüzden \(S'(t)\)'yi \( f(t) / g(t) \) olarak düşünelim:
\(f(t) = 125000 - 5000t^2 \implies f'(t) = -10000t\)
\(g(t) = (t^2 + 25)^2 \implies g'(t) = 2(t^2 + 25) \cdot (2t) = 4t(t^2 + 25)\)
\(S''(t) = \frac{f'(t)g(t) - f(t)g'(t)}{[g(t)]^2}\)
\(S''(t) = \frac{(-10000t)(t^2 + 25)^2 - (125000 - 5000t^2)(4t(t^2 + 25))}{((t^2 + 25)^2)^2}\)
\(S''(t) = \frac{(-10000t)(t^2 + 25) - (125000 - 5000t^2)(4t)}{(t^2 + 25)^3}\) (Pay ve paydadaki \( (t^2+25) \) sadeleşti)
\(S''(t) = \frac{-10000t^3 - 250000t - 500000t + 20000t^3}{(t^2 + 25)^3}\)
\(S''(t) = \frac{10000t^3 - 750000t}{(t^2 + 25)^3}\)
Satış hızının maksimum olduğu anı bulmak için \(S''(t) = 0\) denklemini çözeriz:
\(10000t^3 - 750000t = 0\)
\(10000t(t^2 - 75) = 0\)
Buradan \(t = 0\) veya \(t^2 = 75\) elde ederiz. \(t\) zamanı temsil ettiği için pozitif olmalıdır.
\(t^2 = 75 \implies t = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\) hafta.
Satış hızı \(S'(t)\) fonksiyonunun türevi \(S''(t)\) sıfıra eşit olduğunda \(t = 5\sqrt{3}\) hafta bulunur. Bu, satış hızının maksimum olduğu zamandır. Yaklaşık olarak \(5 \times 1.732 = 8.66\) hafta sonra satış hızı en yüksektir.
✅ Bu analiz, oyunun pazarlama stratejilerini planlamak için kritik öneme sahiptir.
Örnek 10:
Bir fabrikanın, ürettiği bir ürünün birim başına maliyeti \(M(x) = \frac{100}{x + 10}\) TL olarak veriliyor, burada \(x\) üretilen ürün sayısını gösterir. Üretim miktarı arttıkça birim maliyetin azalma oranını gösteren türev fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
Yorum: \(M'(x) = \frac{-100}{(x + 10)^2}\) fonksiyonu, üretilen ürün sayısı arttıkça birim maliyetin azalma oranını gösterir. Türevin negatif olması, üretim arttıkça birim maliyetin düştüğünü ifade eder. Bu, ölçek ekonomilerinin bir sonucudur.
💡 Üretim maliyetlerinin optimizasyonu için bu tür analizler önemlidir.
- Fonksiyon: \(M(x) = \frac{100}{x + 10}\)
- Türev Kuralı: Bölüm Kuralı \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)
- Payın Türevi: \(u = 100 \implies u' = 0\)
- Paydanın Türevi: \(v = x + 10 \implies v' = 1\)
- Türevi Hesaplama:
\(M'(x) = \frac{(0)(x + 10) - (100)(1)}{(x + 10)^2}\)
\(M'(x) = \frac{0 - 100}{(x + 10)^2}\)
\(M'(x) = \frac{-100}{(x + 10)^2}\)
Yorum: \(M'(x) = \frac{-100}{(x + 10)^2}\) fonksiyonu, üretilen ürün sayısı arttıkça birim maliyetin azalma oranını gösterir. Türevin negatif olması, üretim arttıkça birim maliyetin düştüğünü ifade eder. Bu, ölçek ekonomilerinin bir sonucudur.
💡 Üretim maliyetlerinin optimizasyonu için bu tür analizler önemlidir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlardan-turetilen-fonksiyonlarin-gercek-yasam-uygulamalari/sorular