💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel fonksiyonlarda grafik çizme Çözümlü Örnekler

Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için bazı temel noktaları ve özellikleri inceleyelim:

• Tanım Kümesi: Paydanın sıfır olmaması gerekir. Yani \( x \neq 0 \). Tanım kümesi \( \mathbb{R} - \{0\} \)'dır.
• Değer Kümesi: \( f(x) \) hiçbir zaman sıfır olamaz. Değer kümesi \( \mathbb{R} - \{0\} \)'dır.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: Paydanın sıfır olduğu \( x=0 \) doğrusudur.
  • Yatay Asimptot: Paydanın derecesi paydanın derecesinden küçük olduğu için \( y=0 \) doğrusudur (x-ekseni).
• Grafik Yorumu:
  • \( x > 0 \) için \( f(x) \) pozitiftir ve \( x \) büyüdükçe \( f(x) \) sıfıra yaklaşır.
  • \( x < 0 \) için \( f(x) \) negatiftir ve \( x \) küçüldükçe \( f(x) \) sıfıra yaklaşır.

Bu özelliklere göre, grafik birinci ve üçüncü bölgelerde yer alan, eksenlere yaklaşan ancak onlara değmeyen iki koldan oluşur. 💡

Bu fonksiyon, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni boyunca ötelenmiş halidir.

• Temel Fonksiyon: \( g(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiğini biliyoruz.
• Öteleme: Fonksiyonda \( x \) yerine \( x-2 \) yazıldığında, grafik \( x \) ekseni boyunca 2 birim sağa ötelenir.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: Paydayı sıfır yapan değer \( x-2=0 \Rightarrow x=2 \) doğrusudur.
  • Yatay Asimptot: \( g(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun yatay asimptotu \( y=0 \) idi. Bu öteleme yatay asimptotu etkilemez, dolayısıyla \( y=0 \) doğrusudur.

Grafik, \( x=2 \) dikey asimptotuna ve \( y=0 \) yatay asimptotuna sahip olacaktır. \( x > 2 \) için grafik birinci bölgede, \( x < 2 \) için grafik üçüncü bölgede yer alacaktır. 👉

Bu fonksiyon, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun hem yatay hem de dikey ötelemesiyle elde edilir.

• Temel Fonksiyon: \( g(x) = \frac{1}{x} \)
• Yatay Öteleme: \( x \) yerine \( x+1 \) yazılması, grafiği \( x \) ekseni boyunca 1 birim sola öteler.
• Dikey Öteleme: Fonksiyonun değerine 3 eklenmesi, grafiği \( y \) ekseni boyunca 3 birim yukarı öteler.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: Paydayı sıfır yapan değer \( x+1=0 \Rightarrow x=-1 \) doğrusudur.
  • Yatay Asimptot: Fonksiyonun tamamına eklenen sabit değer, yatay asimptotu belirler. Dolayısıyla \( y=3 \) doğrusudur.

Grafik, \( x=-1 \) dikey asimptotuna ve \( y=3 \) yatay asimptotuna sahip olacaktır. ✅

Bu fonksiyon, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun grafiğinin y-eksenine yaklaştırılması veya uzaklaştırılmasıyla elde edilir.

• Temel Fonksiyon: \( g(x) = \frac{1}{x} \)
• Çarpan Etkisi: Paydaki 3 katsayısı, grafiği y-eksenine doğru daraltır (veya y-ekseninden uzaklaştırır).
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: \( x=0 \)
  • Yatay Asimptot: \( y=0 \)
• Grafik Yorumu:
  • \( x > 0 \) için \( f(x) \) pozitiftir. Örneğin, \( x=1 \) iken \( f(1)=3 \), \( x=3 \) iken \( f(3)=1 \).
  • \( x < 0 \) için \( f(x) \) negatiftir.

Grafik, \( y=0 \) ve \( x=0 \) eksenlerine yaklaşan iki koldan oluşur, ancak \( \frac{1}{x} \) fonksiyonuna göre y-eksenine daha yakındır. 💡

Fonksiyonu polinom bölmesi veya basit cebirsel manipülasyonlarla ayrıştırabiliriz:

• Polinom Bölmesi: \( (x+5) \div (x-1) \). Bölüm 1, kalan 6 olur.
• Cebirsel Manipülasyon: \[ f(x) = \frac{x-1+6}{x-1} = \frac{x-1}{x-1} + \frac{6}{x-1} = 1 + \frac{6}{x-1} \]
• Yeni Form: \( f(x) = \frac{6}{x-1} + 1 \)
• Grafik Yorumu: Bu fonksiyon, \( g(x) = \frac{6}{x} \) fonksiyonunun grafiğinin \( x \) ekseni boyunca 1 birim sağa ve \( y \) ekseni boyunca 1 birim yukarı ötelenmiş halidir.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: \( x-1=0 \Rightarrow x=1 \)
  • Yatay Asimptot: \( y=1 \)

Bu bilgilerle grafiği kolayca çizebiliriz. 👉

Bu problemi bir rasyonel fonksiyonla modelleyebiliriz.

• Toplam Mesafe: 100 km
• Alınan Mesafe: \( x \) km
• Kalan Mesafe: \( 100 - x \) km
• Hız: 50 km/saat
• Kalan Mesafeyi Alma Süresi (t): \( t = \frac{\text{Kalan Mesafe}}{\text{Hız}} = \frac{100-x}{50} \)

Burada \( t(x) = \frac{100-x}{50} = 2 - \frac{x}{50} \) fonksiyonunu elde ederiz. Bu aslında doğrusal bir fonksiyondur, ancak mantıksal olarak rasyonel fonksiyonların temel mantığını anlamak için bir başlangıç noktası olabilir.

Daha uygun bir rasyonel fonksiyon örneği düşünelim: Bir fabrikanın üretim maliyetini ele alalım. Eğer sabit bir maliyet (örneğin 1000 TL) ve birim başına değişken maliyet (örneğin 2 TL) varsa, \( n \) adet ürün üretildiğinde toplam maliyet \( C(n) = 1000 + 2n \) olur. Birim başına ortalama maliyet ise \( A(n) = \frac{1000 + 2n}{n} = \frac{1000}{n} + 2 \) olur. Bu bir rasyonel fonksiyondur.

• Tanım Kümesi: Üretilebilecek ürün sayısı \( n \ge 1 \) olmalıdır.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: \( n=0 \), ancak bu fiziksel olarak mümkün değildir.
  • Yatay Asimptot: \( A(n) = \frac{1000}{n} + 2 \). \( n \) büyüdükçe \( \frac{1000}{n} \) sıfıra yaklaşır, bu nedenle yatay asimptot \( y=2 \) olur.

Bu, üretilen ürün sayısı arttıkça birim başına düşen ortalama maliyetin sabit bir değere (birim başına değişken maliyet) yaklaştığını gösterir. 💡 Günlük hayatta maliyet analizlerinde bu tür grafikler önemlidir.

İki fonksiyonun grafiklerinin kesiştiği noktalar, bu fonksiyonların eşit olduğu noktalardır.

• Eşitleme: \( f(x) = g(x) \)
• Denklem: \[ \frac{x+2}{x-3} = \frac{2x-1}{x-3} \]
• Çözüm: Her iki tarafı \( (x-3) \) ile çarparsak (burada \( x \neq 3 \) olmalı): \[ x+2 = 2x-1 \] \[ 2+1 = 2x-x \] \[ 3 = x \]
• Analiz: Bulduğumuz \( x=3 \) değeri, her iki fonksiyonun da tanım kümesinde değildir (paydaları sıfır yapar).

Bu demektir ki, bu iki fonksiyonun grafikleri kesişmez. Her ikisi de \( x=3 \) dikey asimptotuna sahiptir ve \( x \neq 3 \) için farklı değerler alırlar. 📌

Bu fonksiyon, \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonunun bazı dönüşümlerden geçirilmiş halidir.

• Temel Fonksiyon: \( g(x) = \frac{1}{x} \)
• Dikey Asimptotun Kayması: Paydadaki \( x+2 \), grafiği \( x \) ekseni boyunca 2 birim sola öteler. Dolayısıyla dikey asimptot \( x=-2 \) olur.
• Negatif Katsayı: Paydaki \( -1 \) katsayısı, grafiği hem \( x \) eksenine göre yansıtma ( \( y \to -y \) ) hem de \( y \) eksenine göre yansıtma ( \( x \to -x \) ) etkisine benzer şekilde, grafik kollarının yerini değiştirir.
• Asimptotlar:
  • Dikey Asimptot: \( x=-2 \)
  • Yatay Asimptot: \( y=0 \) (x-ekseni)
• Grafik Yorumu:
  • \( x > -2 \) için \( f(x) \) negatiftir.
  • \( x < -2 \) için \( f(x) \) pozitiftir.

Grafik, \( x=-2 \) dikey asimptotuna ve \( y=0 \) yatay asimptotuna sahip olacaktır. Kolları, \( y=0 \) ve \( x=-2 \) eksenlerine yaklaşırken ikinci ve dördüncü bölgelerde yer alacaktır. ✅

Grafik özelliklerinden yola çıkarak rasyonel fonksiyonun denklemini oluşturalım:

• Dikey Asimptot: Dikey asimptot, paydanın köküdür. Eğer \( cx+d \) payda ise, \( cx+d=0 \) denkleminin kökü \( x=2 \) olmalıdır. Buradan \( c(2)+d=0 \Rightarrow d = -2c \) elde ederiz.
• Yatay Asimptot: Yatay asimptot, \( \frac{a}{c} \) oranıdır (paydanın derecesi ile payın derecesi eşitse). Yani \( \frac{a}{c} = 3 \Rightarrow a = 3c \) elde ederiz.
• Fonksiyonun Yeni Hali: Bu bilgileri \( f(x) = \frac{ax+b}{cx+d} \) yerine yerleştirirsek: \[ f(x) = \frac{(3c)x+b}{cx+(-2c)} = \frac{3cx+b}{c(x-2)} \] Burada \( c \neq 0 \) olmalıdır.
• Geçtiği Nokta: Grafik \( (0, 1) \) noktasından geçiyor. Yani \( f(0) = 1 \) olmalıdır. \[ f(0) = \frac{3c(0)+b}{c(0-2)} = \frac{b}{-2c} = 1 \] Buradan \( b = -2c \) elde ederiz.
• Sonuç: Katsayıları \( c \) cinsinden ifade edersek:
  • \( a = 3c \)
  • \( b = -2c \)
  • \( c = c \) (serbest değişken)
  • \( d = -2c \)

Dolayısıyla, fonksiyon \( f(x) = \frac{3cx-2c}{cx-2c} = \frac{c(3x-2)}{c(x-2)} = \frac{3x-2}{x-2} \) biçimindedir (eğer \( c \neq 0 \) ise). Bu fonksiyonun dikey asimptotu \( x=2 \), yatay asimptotu \( y=3 \) ve \( f(0) = \frac{-2}{-2} = 1 \) olur. Bu da verilen bilgileri sağlar. 💡