🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Rasyonel fonksiyon nedir ve bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi nasıl bulunur? Aşağıdaki \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
\[ f(x) = \frac{x+3}{x-5} \]
\[ f(x) = \frac{x+3}{x-5} \]
Çözüm:
Bir fonksiyonun rasyonel fonksiyon olabilmesi için \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere, \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklinde yazılabilmesi ve paydanın sıfır olmaması gerekir. Tanım kümesini bulurken bu paydanın sıfır olmaması kuralına dikkat ederiz. ✅
- 👉 Verilen fonksiyon \( f(x) = \frac{x+3}{x-5} \) şeklindedir.
- 👉 Paydadaki ifade \( x-5 \)'tir.
- 👉 Tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan \( x \) değerini bulmalıyız: \[ x-5 = 0 \] \[ x = 5 \]
- 👉 Bu durumda \( x = 5 \) değeri fonksiyonun tanım kümesine dahil edilemez.
- ✅ Sonuç olarak, fonksiyonun tanım kümesi gerçek sayılar kümesinden 5 dışarıda bırakılarak elde edilir. \[ \text{Tanım Kümesi} = \mathbb{R} \setminus \{5\} \]
Örnek 2:
Bir rasyonel fonksiyonun belirli bir noktadaki değerini bulmak için o noktayı fonksiyonda yerine yazarız. 👇
\[ f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1} \] Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonu için \( f(2) \) değerini hesaplayınız. 💡
\[ f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1} \] Yukarıda verilen \( f(x) \) fonksiyonu için \( f(2) \) değerini hesaplayınız. 💡
Çözüm:
Verilen rasyonel fonksiyonda \( x \) yerine istenen değeri yazarak fonksiyonun o noktadaki görüntüsünü buluruz. 🧐
- 👉 Fonksiyonumuz \( f(x) = \frac{2x+1}{x^2+1} \) şeklindedir.
- 👉 Bizden \( f(2) \) değeri istendiği için fonksiyondaki her \( x \) yerine \( 2 \) yazalım: \[ f(2) = \frac{2(2)+1}{2^2+1} \]
- 👉 Pay kısmını hesaplayalım: \[ 2(2)+1 = 4+1 = 5 \]
- 👉 Payda kısmını hesaplayalım: \[ 2^2+1 = 4+1 = 5 \]
- ✅ Sonuç olarak, \( f(2) \) değeri: \[ f(2) = \frac{5}{5} = 1 \]
Örnek 3:
Rasyonel ifadeleri sadeleştirirken pay ve paydayı çarpanlarına ayırarak ortak çarpanları sadeleştirebiliriz. 🤔 Aşağıdaki rasyonel ifadeyi en sade haline getiriniz.
\[ \frac{x^2-9}{x-3} \]
\[ \frac{x^2-9}{x-3} \]
Çözüm:
Rasyonel ifadeleri sadeleştirmek için pay ve paydadaki polinomları çarpanlarına ayırmamız gerekir. ✂️
- 👉 Verilen ifade \( \frac{x^2-9}{x-3} \) şeklindedir.
- 👉 Pay kısmındaki \( x^2-9 \) ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir. Yani \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \) formülünü kullanabiliriz. \[ x^2-9 = x^2-3^2 = (x-3)(x+3) \]
- 👉 Şimdi bu ifadeyi rasyonel ifadenin payına yazalım: \[ \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} \]
- 👉 Pay ve paydada ortak olan \( (x-3) \) çarpanlarını sadeleştirebiliriz. Ancak bu sadeleştirmeyi yaparken \( x-3 \neq 0 \) yani \( x \neq 3 \) olduğunu unutmamalıyız. \[ \frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{(x-3)}} \]
- ✅ İfadenin en sade hali: \[ x+3 \]
Örnek 4:
Rasyonel denklemleri çözerken paydaları eşitleyerek veya içler dışlar çarpımı yaparak denklemi daha basit bir hale getirebiliriz. 🎯 Aşağıdaki denklemi çözünüz.
\[ \frac{x+2}{x-1} = 3 \]
\[ \frac{x+2}{x-1} = 3 \]
Çözüm:
Bu tür denklemleri çözerken, önce denklemi rasyonel ifadeden kurtarmaya çalışırız. 🚀
- 👉 Verilen denklem \( \frac{x+2}{x-1} = 3 \) şeklindedir.
- 👉 Denklemin sol tarafındaki paydayı yok etmek için her iki tarafı \( (x-1) \) ile çarpabiliriz. Bu aynı zamanda içler dışlar çarpımı yapmak anlamına gelir (sağ tarafı \( \frac{3}{1} \) olarak düşünebiliriz). \[ x+2 = 3(x-1) \]
- 👉 Sağ taraftaki parantezi dağıtalım: \[ x+2 = 3x-3 \]
- 👉 \( x \) terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayalım: \[ 2+3 = 3x-x \] \[ 5 = 2x \]
- 👉 \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim: \[ x = \frac{5}{2} \]
- 👉 Çözümü bulduktan sonra, bu değerin rasyonel ifadenin paydasını sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmeliyiz. Burada payda \( x-1 \)'dir. \( x = \frac{5}{2} \) için \( \frac{5}{2}-1 = \frac{3}{2} \neq 0 \).
- ✅ Çözüm kümesi: \[ Ç.K. = \left\{ \frac{5}{2} \right\} \]
Örnek 5:
Rasyonel ifadelerde toplama veya çıkarma işlemi yaparken, tıpkı kesirlerde olduğu gibi paydaları eşitlememiz gerekir. ➕ Aşağıdaki işlemi yapınız.
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \]
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} \]
Çözüm:
İki rasyonel ifadeyi toplamak için önce paydalarını eşitlememiz gerekir. 🤝
- 👉 Verilen ifadeler \( \frac{1}{x} \) ve \( \frac{1}{x+1} \) şeklindedir.
- 👉 Ortak payda, \( x \) ve \( x+1 \) ifadelerinin çarpımı olan \( x(x+1) \) olacaktır.
- 👉 İlk ifadeyi \( (x+1) \) ile, ikinci ifadeyi \( x \) ile genişletelim: \[ \frac{1}{x} \cdot \frac{x+1}{x+1} + \frac{1}{x+1} \cdot \frac{x}{x} \] \[ \frac{x+1}{x(x+1)} + \frac{x}{x(x+1)} \]
- 👉 Şimdi paydalar eşit olduğu için payları toplayabiliriz: \[ \frac{(x+1) + x}{x(x+1)} \]
- 👉 Payı düzenleyelim: \[ \frac{2x+1}{x(x+1)} \]
- ✅ İşlemin sonucu: \[ \frac{2x+1}{x(x+1)} \]
Örnek 6:
Bazı rasyonel denklemler daha fazla işlem adımı gerektirebilir. Paydaları eşitledikten sonra karşımıza ikinci dereceden bir denklem çıkabilir. 🧐 Aşağıdaki denklemi çözünüz.
\[ \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = 1 \]
\[ \frac{x}{x-2} - \frac{1}{x} = 1 \]
Çözüm:
Bu denklemi çözmek için öncelikle sol taraftaki rasyonel ifadelerin paydalarını eşitlememiz gerekir. 🛠️
- 👉 Sol taraftaki ifadelerin paydaları \( x-2 \) ve \( x \)'tir. Ortak payda \( x(x-2) \) olacaktır.
- 👉 İlk ifadeyi \( x \) ile, ikinci ifadeyi \( (x-2) \) ile genişletelim: \[ \frac{x \cdot x}{x(x-2)} - \frac{1 \cdot (x-2)}{x(x-2)} = 1 \] \[ \frac{x^2 - (x-2)}{x(x-2)} = 1 \]
- 👉 Pay kısmını düzenleyelim: \[ \frac{x^2 - x + 2}{x(x-2)} = 1 \]
- 👉 Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak denklemi rasyonel ifadeden kurtaralım. Unutmayın, \( x \neq 0 \) ve \( x \neq 2 \) olmalıdır. \[ x^2 - x + 2 = 1 \cdot x(x-2) \] \[ x^2 - x + 2 = x^2 - 2x \]
- 👉 Denklemi basitleştirelim. Her iki taraftaki \( x^2 \) terimleri birbirini götürecektir: \[ -x + 2 = -2x \]
- 👉 \( x \) terimlerini bir tarafa toplayalım: \[ 2 = -2x + x \] \[ 2 = -x \] \[ x = -2 \]
- 👉 Bulduğumuz \( x = -2 \) değeri, paydaları sıfır yapmadığı için çözüm kümesine dahildir.
- ✅ Çözüm kümesi: \[ Ç.K. = \{-2\} \]
Örnek 7:
👷♂️ Ahmet bir işi tek başına \( x \) günde bitirebilmektedir. Mehmet ise aynı işi Ahmet'ten 3 gün daha uzun sürede, yani \( x+3 \) günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte bu işi 2 günde bitirebildiklerine göre, Ahmet bu işi tek başına kaç günde bitirebilir? ⏳
Çözüm:
Bu bir işçi problemidir ve rasyonel denklemlerle çözülür. Bir kişinin bir işi tamamlama süresi \( T \) ise, birim zamanda yaptığı iş miktarı (hızı) \( \frac{1}{T} \) olarak ifade edilir. 💡
- 👉 Ahmet'in bir günde yaptığı iş miktarı: \( \frac{1}{x} \)
- 👉 Mehmet'in bir günde yaptığı iş miktarı: \( \frac{1}{x+3} \)
- 👉 İkisi birlikte çalıştıklarında bir günde yaptıkları iş miktarı: \( \frac{1}{2} \)
- 👉 İkisinin birim zamandaki iş miktarlarının toplamı, birlikte yaptıkları iş miktarına eşit olmalıdır: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+3} = \frac{1}{2} \]
- 👉 Denklemi çözmek için paydaları eşitleyelim. Ortak payda \( 2x(x+3) \) olacaktır. \[ \frac{2(x+3)}{2x(x+3)} + \frac{2x}{2x(x+3)} = \frac{x(x+3)}{2x(x+3)} \]
- 👉 Payları eşitleyelim (paydalar eşit olduğunda paylar da eşit olmalıdır): \[ 2(x+3) + 2x = x(x+3) \]
- 👉 Parantezleri dağıtalım: \[ 2x + 6 + 2x = x^2 + 3x \] \[ 4x + 6 = x^2 + 3x \]
- 👉 Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \[ x^2 + 3x - 4x - 6 = 0 \] \[ x^2 - x - 6 = 0 \]
- 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \[ (x-3)(x+2) = 0 \]
- 👉 Buradan iki olası çözüm çıkar: \( x=3 \) veya \( x=-2 \).
- 👉 İş bitirme süresi negatif olamayacağı için \( x = -2 \) çözümü geçersizdir.
- ✅ Sonuç olarak, Ahmet bu işi tek başına 3 günde bitirebilir.
Örnek 8:
🧪 Bir kimya laboratuvarında 200 ml'lik bir çözeltinin %20'si tuzdur. Bu çözeltinin tuz oranını %10'a düşürmek için kaç ml saf su eklenmelidir? Bu problemi rasyonel bir denklem kurarak çözünüz. 💧
Çözüm:
Bu problem, karışımdaki madde miktarının toplam karışıma oranının (yani konsantrasyonun) rasyonel bir ifadeyle gösterilmesine dayanır. 🧂
- 👉 Başlangıçtaki çözeltinin toplam miktarı: 200 ml
- 👉 Başlangıçtaki tuz oranı: %20
- 👉 Çözeltideki tuz miktarı: \( 200 \text{ ml} \times 0.20 = 40 \text{ ml} \)
- 👉 Eklenmesi gereken saf su miktarına \( y \) ml diyelim.
- 👉 Su eklendiğinde tuz miktarı değişmez, hala 40 ml'dir.
- 👉 Su eklendiğinde çözeltinin toplam miktarı: \( 200 + y \) ml
- 👉 Yeni tuz oranı %10 olması istendiği için, yeni tuz miktarının yeni toplam miktara oranı 0.10 olmalıdır: \[ \frac{\text{Tuz Miktarı}}{\text{Toplam Çözelti Miktarı}} = \text{Yeni Tuz Oranı} \] \[ \frac{40}{200+y} = 0.10 \]
- 👉 Denklemi çözmek için \( 0.10 \) sayısını \( \frac{1}{10} \) olarak düşünebiliriz veya direkt içler dışlar çarpımı yapabiliriz: \[ 40 = 0.10 \times (200+y) \]
- 👉 Sağ tarafı dağıtalım: \[ 40 = 20 + 0.1y \]
- 👉 Sabit terimi diğer tarafa atalım: \[ 40 - 20 = 0.1y \] \[ 20 = 0.1y \]
- 👉 \( y \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 0.1 \)e bölelim: \[ y = \frac{20}{0.1} \] \[ y = 200 \]
- ✅ Sonuç olarak, çözeltinin tuz oranını %10'a düşürmek için karışıma 200 ml saf su eklenmelidir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlar/sorular