🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlar Ve Örnek Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyonlar Ve Örnek Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki fonksiyonların rasyonel fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz. 👉 Unutmayın, rasyonel bir fonksiyon \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklinde yazılabilmeli ve \( Q(x) \neq 0 \) olmalıdır.
a) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \)
b) \( g(x) = x^3 - 2x + 1 \)
c) \( h(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 3} \)
d) \( k(x) = \frac{5}{x^2 + 1} \)
a) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \)
b) \( g(x) = x^3 - 2x + 1 \)
c) \( h(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 3} \)
d) \( k(x) = \frac{5}{x^2 + 1} \)
Çözüm:
Rasyonel bir fonksiyon, pay ve paydanın birer polinom olduğu bir kesirli ifadedir.
- a) \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x + 2} \):
Pay \( P(x) = x^2 - 4 \) bir polinomdur. Payda \( Q(x) = x + 2 \) bir polinomdur.
✅ Bu bir rasyonel fonksiyondur. - b) \( g(x) = x^3 - 2x + 1 \):
Bu fonksiyonu \( \frac{x^3 - 2x + 1}{1} \) şeklinde yazabiliriz. Pay \( P(x) = x^3 - 2x + 1 \) ve payda \( Q(x) = 1 \) birer polinomdur.
✅ Bu da bir rasyonel fonksiyondur (aynı zamanda bir polinom fonksiyondur). - c) \( h(x) = \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 3} \):
Pay \( P(x) = \sqrt{x} + 1 \) bir polinom değildir çünkü \( \sqrt{x} \) terimi vardır. Polinomların değişkenlerinin üsleri doğal sayı olmalıdır.
❌ Bu bir rasyonel fonksiyon değildir. - d) \( k(x) = \frac{5}{x^2 + 1} \):
Pay \( P(x) = 5 \) bir polinomdur (sabit polinom). Payda \( Q(x) = x^2 + 1 \) bir polinomdur.
✅ Bu bir rasyonel fonksiyondur.
Örnek 2:
Aşağıdaki rasyonel fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz. 💡 Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılardır.
a) \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 5} \)
b) \( g(x) = \frac{x^2 + 4}{x + 3} \)
a) \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 5} \)
b) \( g(x) = \frac{x^2 + 4}{x + 3} \)
Çözüm:
Tanım kümesini bulmak için paydadaki ifadenin sıfır olmaması gerektiğini kullanırız.
- a) \( f(x) = \frac{3x - 1}{x - 5} \)
Payda \( x - 5 \) sıfır olmamalıdır.
\( x - 5 = 0 \implies x = 5 \)
Bu durumda \( x = 5 \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar.
📌 Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{5\} \) - b) \( g(x) = \frac{x^2 + 4}{x + 3} \)
Payda \( x + 3 \) sıfır olmamalıdır.
\( x + 3 = 0 \implies x = -3 \)
Bu durumda \( x = -3 \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar.
📌 Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{-3\} \)
Örnek 3:
\( f(x) = \frac{x + 7}{x^2 - 4x - 12} \) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 🤔 Paydayı sıfır yapan değerleri bulmak için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabilirsiniz.
Çözüm:
Rasyonel fonksiyonun tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan değerleri reel sayılar kümesinden çıkarmalıyız.
- 👉 Paydayı sıfıra eşitleyelim:
\[ x^2 - 4x - 12 = 0 \] - 👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları \(-12\), toplamları \(-4\) olan iki sayı \(-6\) ve \(2\)'dir.
\[ (x - 6)(x + 2) = 0 \] - 👉 Bu denklemin kökleri (yani paydayı sıfır yapan değerler) şunlardır:
\( x - 6 = 0 \implies x = 6 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \) - ✅ Fonksiyon, \( x = 6 \) ve \( x = -2 \) değerleri için tanımsızdır.
Bu yüzden tanım kümesi, bu iki değer dışındaki tüm reel sayılardır.
📌 En Geniş Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 6\} \)
Örnek 4:
\( f(x) = \frac{5x^2 - 10x}{x - 2} \) rasyonel fonksiyonunu en sade biçimde yazınız.
Çözüm:
Bir rasyonel ifadeyi sadeleştirmek için pay ve paydayı çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirmemiz gerekir.
- 👉 Pay kısmını çarpanlarına ayıralım:
\( 5x^2 - 10x = 5x(x - 2) \) - 👉 Fonksiyonu yeniden yazalım:
\[ f(x) = \frac{5x(x - 2)}{x - 2} \] - 👉 Pay ve paydadaki ortak çarpan olan \( (x - 2) \)'yi sadeleştirelim. 💡 Unutmayın, sadeleştirme yaparken \( x - 2 \neq 0 \) yani \( x \neq 2 \) olmalıdır.
\[ f(x) = 5x \quad \text{ (ancak } x \neq 2 \text{ koşuluyla)} \] - ✅ En sade biçimi: \( f(x) = 5x \), \( x \neq 2 \) olmak üzere.
Örnek 5:
\( g(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 2x - 3} \) rasyonel ifadesini en sade biçimde yazınız.
Çözüm:
Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlarına ayırıp ortak çarpanları sadeleştirelim.
- 👉 Pay kısmını çarpanlarına ayıralım (İki Kare Farkı Özdeşliği):
\( x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) \) - 👉 Payda kısmını çarpanlarına ayıralım:
Çarpımları \(-3\), toplamları \(2\) olan iki sayı \(3\) ve \(-1\)'dir.
\( x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) \) - 👉 Fonksiyonu yeniden yazalım:
\[ g(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} \] - 👉 Pay ve paydadaki ortak çarpan olan \( (x + 3) \)'ü sadeleştirelim. 💡 Sadeleştirme yaparken \( x + 3 \neq 0 \) yani \( x \neq -3 \) olmalıdır. Ayrıca paydanın orijinal hali için \( x - 1 \neq 0 \) yani \( x \neq 1 \) de geçerlidir.
\[ g(x) = \frac{x - 3}{x - 1} \quad \text{ (ancak } x \neq -3 \text{ ve } x \neq 1 \text{ koşullarıyla)} \] - ✅ En sade biçimi: \( g(x) = \frac{x - 3}{x - 1} \), \( x \neq -3 \) ve \( x \neq 1 \) olmak üzere.
Örnek 6:
\( f(x) = \frac{x^2 + 2x - 8}{x - 2} \) fonksiyonu için \( f(3) \) değerini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun \( x = 3 \) noktasındaki değerini bulmak için, \( x \) yerine \( 3 \) yazıp ifadeyi hesaplamalıyız.
- 👉 Öncelikle, \( x = 3 \) değerinin fonksiyonun tanım kümesinde olup olmadığını kontrol edelim. Paydayı sıfır yapan değer \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \)'dir. \( x = 3 \) bu değerden farklı olduğu için fonksiyon \( x = 3 \) noktasında tanımlıdır.
- 👉 \( x \) yerine \( 3 \) yazalım:
\[ f(3) = \frac{(3)^2 + 2(3) - 8}{3 - 2} \] - 👉 Pay ve paydayı ayrı ayrı hesaplayalım:
Pay: \( 3^2 + 2 \cdot 3 - 8 = 9 + 6 - 8 = 15 - 8 = 7 \)
Payda: \( 3 - 2 = 1 \) - 👉 Sonucu bulalım:
\[ f(3) = \frac{7}{1} = 7 \] - ✅ Buna göre, \( f(3) = 7 \)'dir.
Örnek 7:
Tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{a, 3\} \) olan bir \( f(x) = \frac{x + 5}{x^2 - 4x + b} \) rasyonel fonksiyonu verilmiştir. Buna göre \( a + b \) değerini bulunuz. 🧠 Tanım kümesindeki çıkarılan değerler, paydayı sıfır yapan köklerdir.
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler dışındaki tüm reel sayılardır. Soruda tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{a, 3\} \) olarak verildiği için, paydadaki \( x^2 - 4x + b \) ifadesini sıfır yapan değerler \( a \) ve \( 3 \) olmalıdır.
- 👉 Paydanın kökleri \( a \) ve \( 3 \)'tür. İkinci dereceden bir denklemin kökleri bilindiğinde, denklem \( (x - \text{kök}_1)(x - \text{kök}_2) = 0 \) şeklinde yazılabilir.
- 👉 Kökler \( a \) ve \( 3 \) olduğuna göre, payda şu şekilde olmalıdır:
\[ (x - a)(x - 3) = 0 \] - 👉 Bu ifadeyi açalım:
\( (x - a)(x - 3) = x^2 - 3x - ax + 3a = x^2 - (3 + a)x + 3a \) - 👉 Bu ifadeyi verilen payda ile eşitleyelim: \( x^2 - 4x + b \)
\[ x^2 - (3 + a)x + 3a = x^2 - 4x + b \] - 👉 Katsayıları karşılaştıralım:
\( - (3 + a) = -4 \implies 3 + a = 4 \implies a = 1 \)
\( 3a = b \) - 👉 \( a = 1 \) değerini \( 3a = b \) denklemine yerine yazalım:
\( 3(1) = b \implies b = 3 \) - 👉 Son olarak, \( a + b \) değerini bulalım:
\( a + b = 1 + 3 = 4 \) - ✅ Buna göre, \( a + b = 4 \)'tür.
Örnek 8:
Bir fabrika, belirli bir ürünün \( x \) adetini üretmek için toplam \( C(x) = x^2 + 50x + 1000 \) TL maliyet harcamaktadır. Üretilen bir adet ürünün ortalama maliyetini veren rasyonel fonksiyonu \( M(x) \) olarak ifade ediniz ve 100 adet ürün üretildiğinde birim başına düşen ortalama maliyeti bulunuz. 🏭
Çözüm:
Ortalama maliyet, toplam maliyetin üretilen adet sayısına bölünmesiyle bulunur.
- 👉 Toplam maliyet fonksiyonu \( C(x) = x^2 + 50x + 1000 \)'dir.
- 👉 Üretilen adet sayısı \( x \)'tir.
- 👉 Ortalama maliyet fonksiyonu \( M(x) \) şu şekilde ifade edilir:
\[ M(x) = \frac{\text{Toplam Maliyet}}{\text{Üretilen Adet Sayısı}} = \frac{C(x)}{x} \] \[ M(x) = \frac{x^2 + 50x + 1000}{x} \] 💡 Burada \( x \neq 0 \) olmalıdır, çünkü adet sayısı sıfır olamaz. - 👉 Şimdi 100 adet ürün üretildiğinde birim başına düşen ortalama maliyeti bulmak için \( M(100) \) değerini hesaplayalım:
\[ M(100) = \frac{(100)^2 + 50(100) + 1000}{100} \] - 👉 Hesaplamaları yapalım:
Pay: \( 10000 + 5000 + 1000 = 16000 \)
Payda: \( 100 \) - 👉 Ortalama maliyeti bulalım:
\[ M(100) = \frac{16000}{100} = 160 \] - ✅ Buna göre, 100 adet ürün üretildiğinde birim başına düşen ortalama maliyet 160 TL'dir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyonlar-ve-ornek/sorular