🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyon Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyon Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri rasyonel fonksiyondur? 🤔
- \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \)
- \( g(x) = x^2 - 3x + 5 \)
- \( h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1} \)
- \( k(x) = \frac{5}{x^2+1} \)
Çözüm:
Bir fonksiyonun rasyonel fonksiyon olabilmesi için \( P(x) \) ve \( Q(x) \) birer polinom olmak üzere, \( f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} \) şeklinde yazılabilmesi ve \( Q(x) \neq 0 \) olması gerekir. 📌
-
1. \( f(x) = \frac{x+1}{x-2} \)
Burada \( P(x) = x+1 \) ve \( Q(x) = x-2 \) birer polinomdur. Bu nedenle \( f(x) \) rasyonel fonksiyondur. ✅ -
2. \( g(x) = x^2 - 3x + 5 \)
Bu fonksiyonu \( \frac{x^2 - 3x + 5}{1} \) şeklinde yazabiliriz. \( P(x) = x^2 - 3x + 5 \) ve \( Q(x) = 1 \) birer polinomdur. Dolayısıyla \( g(x) \) de rasyonel fonksiyondur (aynı zamanda bir polinom fonksiyonudur). ✅ -
3. \( h(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1} \)
Burada \( \sqrt{x} \) bir polinom değildir. Polinomlarda değişkenin kuvveti doğal sayı olmalıdır. Bu nedenle \( h(x) \) rasyonel fonksiyon değildir. ❌ -
4. \( k(x) = \frac{5}{x^2+1} \)
Burada \( P(x) = 5 \) (sabit polinom) ve \( Q(x) = x^2+1 \) birer polinomdur. Bu nedenle \( k(x) \) rasyonel fonksiyondur. ✅
Örnek 2:
\( f(x) = \frac{3x+5}{x-4} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler hariç tüm gerçek sayılardır. Çünkü payda sıfır olursa ifade tanımsız olur. 🚫
-
Öncelikle payda kısmını sıfıra eşitleyelim:
\[ x - 4 = 0 \] -
Bu denklemi çözdüğümüzde:
\[ x = 4 \] -
Yani \( x = 4 \) değeri fonksiyonu tanımsız yapar. Bu değeri tanım kümesinden çıkarmalıyız. 🙅♀️
Dolayısıyla \( f(x) \) fonksiyonunun tanım kümesi, 4 dışındaki tüm gerçek sayılardır.
Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} \setminus \{4\} \) veya \( (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \) şeklinde ifade edilebilir. ✅
Örnek 3:
\( g(x) = \frac{x^2+1}{x^2-5x+6} \) fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine, rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için paydayı sıfır yapan değerleri gerçek sayılar kümesinden çıkarmamız gerekir. 🎯
-
Paydayı sıfıra eşitleyelim:
\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] -
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayıralım (çarpımları 6, toplamları -5 olan iki sayı -2 ve -3'tür):
\[ (x-2)(x-3) = 0 \] -
Bu denklemi sağlayan \( x \) değerleri şunlardır:
\[ x-2 = 0 \implies x = 2 \] \[ x-3 = 0 \implies x = 3 \] -
Yani \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) değerleri fonksiyonun paydasını sıfır yapar ve fonksiyonu tanımsız kılar. 🚫
Bu değerleri gerçek sayılar kümesinden çıkarmalıyız.
Tanım Kümesi = \( \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} \). ✅
Örnek 4:
\( f(x) = \frac{x^2-3}{x+1} \) fonksiyonu veriliyor. Buna göre \( f(2) + f(-2) \) ifadesinin değerini bulunuz. ➕
Çözüm:
Fonksiyonun değerini bulmak için, verilen \( x \) değerlerini fonksiyonda yerine yazmamız yeterlidir. 👉
-
Önce \( f(2) \) değerini hesaplayalım:
\( x \) yerine 2 yazarsak:
\[ f(2) = \frac{2^2-3}{2+1} = \frac{4-3}{3} = \frac{1}{3} \] -
Şimdi de \( f(-2) \) değerini hesaplayalım:
\( x \) yerine -2 yazarsak:
\[ f(-2) = \frac{(-2)^2-3}{-2+1} = \frac{4-3}{-1} = \frac{1}{-1} = -1 \] -
Son olarak, \( f(2) + f(-2) \) ifadesinin değerini bulalım:
\[ f(2) + f(-2) = \frac{1}{3} + (-1) = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3} \] Cevap: \( -\frac{2}{3} \). ✅
Örnek 5:
\( h(x) = \frac{x^2-4}{x^2-x-6} \) rasyonel fonksiyonunu en sade biçimde yazınız. ✏️
Çözüm:
Bir rasyonel ifadeyi en sade biçimde yazmak için, pay ve paydayı çarpanlarına ayırırız ve varsa ortak çarpanları sadeleştiririz. ✂️
-
Öncelikle pay kısmını çarpanlarına ayıralım:
\( x^2-4 \) ifadesi iki kare farkı özdeşliğidir: \( a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \).
\[ x^2-4 = (x-2)(x+2) \] -
Şimdi de payda kısmını çarpanlarına ayıralım:
\( x^2-x-6 \) ifadesini çarpanlarına ayıralım (çarpımları -6, toplamları -1 olan iki sayı -3 ve 2'dir):
\[ x^2-x-6 = (x-3)(x+2) \] -
Fonksiyonu çarpanlarına ayrılmış şekilde yeniden yazalım:
\[ h(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-3)(x+2)} \] -
Ortak çarpan olan \( (x+2) \) ifadesini sadeleştirelim. Ancak unutmayalım ki sadeleştirme yaparken, sadeleştirilen ifadenin sıfır olmaması gerektiğini belirtmeliyiz. Yani \( x \neq -2 \) olmalıdır. ⚠️
\[ h(x) = \frac{x-2}{x-3} \] Bu fonksiyonun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\} \) olacaktır. En sade hali \( \frac{x-2}{x-3} \) dir. ✅
Örnek 6:
\( f(x) = \frac{2x+7}{x^2+ax+9} \) rasyonel fonksiyonunun tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) olduğuna göre, \( a \) değeri kaçtır? 🤔
Çözüm:
Rasyonel bir fonksiyonun tanım kümesi, paydayı sıfır yapan değerler hariç tüm gerçek sayılardır. Tanım kümesinin \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) olması, paydanın sadece \( x=3 \) değerinde sıfır olduğu anlamına gelir. 🎯
-
Bu durumda, payda ifadesi olan \( x^2+ax+9 \) polinomu, \( x=3 \) için sıfır olmalıdır. Ayrıca bu, paydanın sadece bir kökü olduğu anlamına gelir, yani \( x=3 \) çift katlı kök olmalıdır. 💡
Önce \( x=3 \) değerini paydada yerine yazalım:
\[ 3^2 + a(3) + 9 = 0 \] \[ 9 + 3a + 9 = 0 \] \[ 18 + 3a = 0 \] \[ 3a = -18 \] \[ a = -6 \] -
Şimdi bulduğumuz \( a = -6 \) değerini paydada yerine yazarak kontrol edelim. Payda \( x^2 - 6x + 9 \) olur.
Bu ifade \( (x-3)^2 \) özdeşliğidir.
\[ (x-3)^2 = 0 \] Bu denklemin tek kökü \( x=3 \) tür. Bu da tanım kümesinin \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \) olmasını sağlar. ✅ - Dolayısıyla, \( a \) değeri \( -6 \) olmalıdır. ✅
Örnek 7:
Bir araç, A şehrinden B şehrine \( x \) km/saat hızla gidip, B şehrinden A şehrine \( (x+20) \) km/saat hızla geri dönmüştür. Gidiş ve dönüş mesafesi toplam 240 km'dir. Bu aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızını veren fonksiyonu yazınız ve \( x=40 \) için ortalama hızı hesaplayınız. 🚗💨
Çözüm:
Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır. Öncelikle gidiş ve dönüş sürelerini bulmamız gerekiyor. ⏱️
-
Toplam yol 240 km ise, A'dan B'ye gidiş mesafesi 120 km, B'den A'ya dönüş mesafesi de 120 km'dir.
Yol = Hız \( \times \) Zaman formülünden Zaman = Yol / Hız bulunur. -
Gidiş süresi (\( t_1 \)):
Gidiş mesafesi = 120 km, Hız = \( x \) km/saat.
\[ t_1 = \frac{120}{x} \] -
Dönüş süresi (\( t_2 \)):
Dönüş mesafesi = 120 km, Hız = \( (x+20) \) km/saat.
\[ t_2 = \frac{120}{x+20} \] -
Toplam süre (\( T_{toplam} \)):
\[ T_{toplam} = t_1 + t_2 = \frac{120}{x} + \frac{120}{x+20} \] Paydaları eşitleyerek toplayalım:
\[ T_{toplam} = \frac{120(x+20) + 120x}{x(x+20)} = \frac{120x + 2400 + 120x}{x^2+20x} = \frac{240x + 2400}{x^2+20x} \] - Toplam yol (\( S_{toplam} \)): 240 km.
-
Ortalama hız fonksiyonu (\( V_{ortalama}(x) \)):
\[ V_{ortalama}(x) = \frac{S_{toplam}}{T_{toplam}} = \frac{240}{\frac{240x + 2400}{x^2+20x}} \] Rasyonel ifadeyi düzenleyelim:
\[ V_{ortalama}(x) = 240 \times \frac{x^2+20x}{240x + 2400} = 240 \times \frac{x(x+20)}{240(x+10)} \] \[ V_{ortalama}(x) = \frac{x(x+20)}{x+10} \] Bu, ortalama hızı veren rasyonel fonksiyondur. Hız negatif olamayacağı için \( x > 0 \) olmalıdır. 📈 -
\( x=40 \) için ortalama hızı hesaplayalım:
\[ V_{ortalama}(40) = \frac{40(40+20)}{40+10} = \frac{40 \times 60}{50} = \frac{2400}{50} = 48 \] Yani, araç 40 km/saat hızla gidip 60 km/saat hızla dönerse, ortalama hızı 48 km/saat olur. ✅
Örnek 8:
Bir mühendis, bir makinenin verimliliğini \( V(t) = \frac{100t}{t^2-4t+3} \) fonksiyonu ile modellemiştir. Burada \( t \), makinenin çalışmaya başladığı andan itibaren geçen süreyi (saat cinsinden) ifade etmektedir. Makinenin verimliliğinin tanımlı olduğu zaman aralığını bulunuz. (Süre negatif olamaz.) ⚙️
Çözüm:
Makinenin verimlilik fonksiyonunun tanımlı olduğu zaman aralığı, fonksiyonun tanım kümesi ile ilgilidir. Rasyonel bir fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar, paydayı sıfır yapan noktalardır. Ayrıca süre negatif olamayacağı için \( t \ge 0 \) koşulunu da göz önünde bulundurmalıyız. ⏳
-
Öncelikle payda kısmını sıfıra eşitleyelim:
\[ t^2-4t+3 = 0 \] -
Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım (çarpımları 3, toplamları -4 olan sayılar -1 ve -3'tür):
\[ (t-1)(t-3) = 0 \] -
Bu denklemi sağlayan \( t \) değerleri şunlardır:
\[ t-1 = 0 \implies t = 1 \] \[ t-3 = 0 \implies t = 3 \] - Yani \( t=1 \) ve \( t=3 \) saatlerinde makinenin verimlilik fonksiyonu tanımsızdır. Bu, makinenin bu zamanlarda verimlilik açısından bir sorun yaşadığını veya modelin bu noktalarda geçerli olmadığını gösterir. 🚫
- Süre negatif olamayacağı için \( t \ge 0 \) koşulunu da eklemeliyiz.
-
Bu durumda, makinenin verimliliğinin tanımlı olduğu zaman aralığı, 0'dan başlayıp 1 ve 3 dışındaki tüm pozitif gerçek sayılardır.
Tanımlı zaman aralığı: \( [0, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty) \) şeklinde ifade edilir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-rasyonel-fonksiyon/sorular