💡 10. Sınıf Matematik: Rasyonel Fonksiyon Problemleri Çözümlü Örnekler

✅ Bir fonksiyonun rasyonel fonksiyon olabilmesi için pay ve paydasının polinom olması gerekir.

• Pay: \( x^2 - 4 \) bir polinomdur.
• Payda: \( x - 2 \) bir polinomdur.

Her iki ifade de polinom olduğu için, \( f(x) \) bir rasyonel fonksiyondur.

💡 Unutmayın, rasyonel fonksiyonlarda paydanın sıfır olduğu noktalar fonksiyonun tanımsız olduğu noktalardır.

👉 Rasyonel fonksiyonları sadeleştirmek için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmalıyız.

• Payı çarpanlarına ayıralım: \( x^2 - 9 \) iki kare farkıdır ve \( (x - 3)(x + 3) \) olarak yazılabilir.
• Payda zaten \( x + 3 \) şeklindedir.

Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım:

\( g(x) = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3} \)

Pay ve paydadaki ortak çarpan olan \( (x + 3) \) sadeleşir (tabii ki \( x \neq -3 \) olmak koşuluyla).

Sonuç olarak fonksiyonun en sade hali:

\( g(x) = x - 3 \), \( x \neq -3 \)

📌 Tanım kümesini bulmak için paydanın sıfır olduğu değerleri bulup reel sayılardan çıkarmalıyız.

• Payda: \( x^2 - 5x + 6 \). Bu ifadeyi sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
• Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x - 2)(x - 3) = 0 \).
• Buradan kökler \( x = 2 \) ve \( x = 3 \) bulunur.

Bu değerler fonksiyonu tanımsız yapar. Bu nedenle, tanım kümesi tüm reel sayılardan 2 ve 3'ün çıkarılmasıyla elde edilir.

Tanım Kümesi: \( \mathbb{R} \setminus \{2, 3\} \)

Veya aralık gösterimiyle: \( (-\infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty) \)

💡 İlk olarak verilen rasyonel fonksiyonu sadeleştirelim.

• Payı çarpanlarına ayıralım: \( t^2 + 3t - 4 = (t + 4)(t - 1) \).
• Payda: \( t + 1 \).

Fonksiyonun ilk hali \( s(t) = \frac{(t + 4)(t - 1)}{t + 1} \) şeklinde sadeleşmez. Ancak soruda bir hata olabilir, paydanın \( t+1 \) olması yerine payın \( t+1 \) ile sadeleşebilecek bir çarpan içermesi beklenir. Varsayalım ki fonksiyon \( s(t) = \frac{t^2 + 5t + 4}{t + 1} \) olsaydı:

Pay: \( t^2 + 5t + 4 = (t + 1)(t + 4) \)

Sadeleşmiş hali: \( s(t) = t + 4 \), \( t \neq -1 \)

Eğer fonksiyon \( s(t) = \frac{t^2 + 5t + 4}{t + 1} \) ise, 3 saniye sonraki konumu:

\( s(3) = 3 + 4 = 7 \) birim olur.

Not: Orijinal sorudaki \( s(t) = \frac{t^2 + 3t - 4}{t + 1} \) fonksiyonu \( t = -1 \) için tanımsızdır ve pay \( (t+4)(t-1) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır, bu da \( t+1 \) ile sadeleşmez. Sorunun bu haliyle doğrudan \( t=3 \) için hesaplama yapmak mümkündür: \( s(3) = \frac{3^2 + 3(3) - 4}{3 + 1} = \frac{9 + 9 - 4}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \). Ancak genellikle bu tür sorularda sadeleşme beklenir.

💡 Rasyonel fonksiyonları sadeleştirmek için pay ve paydayı çarpanlarına ayırmalıyız.

• Payı ele alalım: \( 1000x + 5000 \). Buradan ortak çarpan olan 1000'i dışarı alabiliriz: \( 1000(x + 5) \).
• Payda zaten \( x + 5 \) şeklindedir.

Şimdi fonksiyonu yeniden yazalım:

\( M(x) = \frac{1000(x + 5)}{x + 5} \)

Pay ve paydadaki ortak çarpan olan \( (x + 5) \) sadeleşir (tabii ki \( x \neq -5 \) olmak koşuluyla. Üretim birimi negatif olamayacağı için bu koşul genellikle sağlanır).

Fonksiyonun en sade hali:

\( M(x) = 1000 \), \( x \neq -5 \)

Yorum: Bu sonuç, fabrikanın ürettiği birim sayısından bağımsız olarak, her birim için maliyetin sabit olduğunu gösterir. Yani, her birim ürünün maliyeti 1000 TL'dir. Bu durum, sabit maliyetlerin (örneğin fabrika kirası, makine amortismanı gibi) üretim miktarına göre dağıldığı ve değişken maliyetlerin (örneğin hammadde, işçilik gibi) birim başına sabit olduğu bir senaryoyu yansıtabilir.

📌 Soruda verilen bilgileri ve formülü kullanalım.

• Başlangıçtaki kişi sayısı: \( n = 4 \).
• Toplam bilet ücreti: 240 TL.
• Gruba katılan yeni kişi sayısı: 2.

Yeni toplam kişi sayısı: \( n + 2 = 4 + 2 = 6 \) kişi olur.

Kişi başı düşen yeni ücreti hesaplamak için rasyonel fonksiyonu kullanalım:

Yeni Kişi Başı Ücret = \( \frac{240}{n + 2} \)

Değerleri yerine koyalım:

Yeni Kişi Başı Ücret = \( \frac{240}{4 + 2} = \frac{240}{6} \)

Hesaplama yaparsak:

Yeni Kişi Başı Ücret = 40 TL

✅ Yani, gruba 2 kişi daha katılırsa kişi başı 40 TL ödeme yapılması gerekir.

💡 Yatay asimptotları bulmak için payın ve paydanın derecelerini karşılaştırırız.

• Payın derecesi: 2 (\( 3x^2 \)).
• Paydanın derecesi: 2 (\( x^2 \)).

Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse, yatay asimptot payın baş katsayısının paydanın baş katsayısına oranıdır.

Payın baş katsayısı = 3

Paydanın baş katsayısı = 1

Yatay Asimptot = \( \frac{\text{Payın Baş Katsayısı}}{\text{Paydanın Baş Katsayısı}} = \frac{3}{1} = 3 \)

✅ Dolayısıyla, \( k(x) \) fonksiyonunun yatay asimptotu \( y = 3 \) doğrusudur.

📌 Sorunun iki kısmını ayrı ayrı inceleyelim.

• Deney başladığında (t=0):

Fonksiyonda \( t=0 \) değerini yerine koyalım:

\( M(0) = \frac{50(0) + 100}{0 + 10} = \frac{100}{10} = 10 \) gram.

Yani, deney başladığında 10 gram reaktif vardır.



• Deney çok uzun süre devam ettiğinde (t \(\to\) \(\infty\)):

Bu durum, fonksiyonun yatay asimptotunu bulmak anlamına gelir.

Fonksiyon: \( M(t) = \frac{50t + 100}{t + 10} \)

Payın derecesi (1) ile paydanın derecesi (1) eşittir. Bu durumda yatay asimptot, baş katsayıların oranıdır.

Yatay Asimptot = \( \frac{50}{1} = 50 \).

Bu, deney çok uzun süre devam ettiğinde reaktiften yaklaşık 50 gram kalacağı anlamına gelir.

✅ Sonuç olarak, deney başladığında 10 gram reaktif vardır ve deneyin sonunda kalan miktar 50 gram civarında olacaktır.