🎓 10. Sınıf
📚 10. Sınıf Matematik
💡 10. Sınıf Matematik: Polinomlarda çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler
10. Sınıf Matematik: Polinomlarda çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki polinomu çarpanlarına ayırınız: \( x^2 + 5x + 6 \)
Çözüm:
Bu polinomu çarpanlarına ayırmak için, çarpımları sabit terimi (6) ve toplamları x'in katsayısını (5) veren iki sayı bulmalıyız. 💡
- Bu sayılar 2 ve 3'tür. Çünkü \( 2 \times 3 = 6 \) ve \( 2 + 3 = 5 \).
- Bu nedenle, polinom \( (x+2)(x+3) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
Örnek 2:
\( a^2 - b^2 \) şeklindeki iki kare farkı özdeşliğini kullanarak \( 9y^2 - 16 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
İki kare farkı özdeşliği \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) şeklindedir. 📌
- Verilen ifadede \( a^2 = 9y^2 \) ve \( b^2 = 16 \) olarak düşünebiliriz.
- Buradan \( a = \sqrt{9y^2} = 3y \) ve \( b = \sqrt{16} = 4 \) elde ederiz.
- Özdeşliği uygulayarak: \( 9y^2 - 16 = (3y - 4)(3y + 4) \) olur.
Örnek 3:
\( x^3 - 8 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. (İki küp farkı özdeşliğini kullanınız.)
Çözüm:
İki küp farkı özdeşliği \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) \) şeklindedir. 💡
- Verilen ifadede \( a^3 = x^3 \) ve \( b^3 = 8 \) olarak düşünebiliriz.
- Buradan \( a = x \) ve \( b = \sqrt[3]{8} = 2 \) elde ederiz.
- Özdeşliği uygulayarak: \( x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + x \cdot 2 + 2^2) \) olur.
- İfadeyi düzenlersek: \( x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \) elde ederiz.
Örnek 4:
Gruplandırma yöntemini kullanarak \( ax + ay + bx + by \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Gruplandırma yöntemi, ortak çarpan parantezine alma işleminin birkaç adımda yapılmasıdır. 👉
- İlk iki terimi \( a \) ortak parantezine alalım: \( a(x+y) \).
- Son iki terimi \( b \) ortak parantezine alalım: \( b(x+y) \).
- İfade \( a(x+y) + b(x+y) \) haline gelir.
- Şimdi \( (x+y) \) ortak parantezine alabiliriz: \( (x+y)(a+b) \).
Örnek 5:
Bir kenar uzunluğu \( (x+5) \) cm olan kare şeklindeki bir bahçenin içine, kenar uzunluğu \( (x+2) \) cm olan kare şeklinde bir havuz yapılmıştır. Havuzun dışındaki alanın kaç \( m^2 \) olduğunu, çarpanlara ayırma yöntemini kullanarak bulunuz.
Çözüm:
Bu soruda, bahçenin alanından havuzun alanını çıkararak havuzun dışındaki alanı bulacağız. Bu fark, iki kare farkı özdeşliği ile kolayca hesaplanabilir. 💡
- Bahçenin alanı: \( A_{bahçe} = (x+5)^2 \)
- Havuzun alanı: \( A_{havuz} = (x+2)^2 \)
- Havuzun dışındaki alan: \( A_{dış} = A_{bahçe} - A_{havuz} = (x+5)^2 - (x+2)^2 \)
- İki kare farkı özdeşliğini \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) kullanarak:
- Burada \( a = (x+5) \) ve \( b = (x+2) \).
- \( A_{dış} = [(x+5) - (x+2)][(x+5) + (x+2)] \)
- \( A_{dış} = (x+5-x-2)(x+5+x+2) \)
- \( A_{dış} = (3)(2x+7) \)
- \( A_{dış} = 6x + 21 \) \( m^2 \)
Örnek 6:
\( x^2 - 6x + 9 \) polinomunu çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Bu ifade, tam kare özdeşliğinin bir örneğidir. \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) veya \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) formlarını arıyoruz. 📌
- Verilen ifadede \( x^2 \) ve \( 9 \) terimleri tam karelerdir.
- \( x^2 \) terimi \( x \)'in karesidir.
- \( 9 \) terimi \( 3 \)'ün karesidir.
- Ortadaki \( -6x \) terimi, \( -2 \times x \times 3 \) şeklinde yazılabilir.
- Bu, \( (x-3)^2 \) tam kare özdeşliğine uyar.
Örnek 7:
Ortak çarpan parantezine alma yöntemini kullanarak \( 4a^2b - 6ab^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
Bu ifadede hem katsayılar hem de değişkenler için ortak çarpanlar bulunmaktadır. 👉
- Katsayılar 4 ve 6'dır. En büyük ortak bölenleri 2'dir.
- Değişkenler \( a^2b \) ve \( ab^2 \)'dir. Ortak çarpanlar \( a \) ve \( b \)'dir.
- En büyük ortak çarpan \( 2ab \)'dir.
- İfadeyi \( 2ab \) parantezine alırsak: \( 2ab(2a - 3b) \) elde ederiz.
Örnek 8:
Bir manav, elindeki \( x^2 + 7x + 10 \) adet elmayı, her birinde eşit sayıda elma olacak şekilde paketlemek istiyor. Eğer her pakette \( (x+2) \) adet elma olursa, kaç paket yapabilir?
Çözüm:
Bu problemde, toplam elma sayısını (polinomu) bir paketteki elma sayısına (çarpanlardan birine) bölerek paket sayısını bulacağız. 💡
- Toplam elma sayısı: \( x^2 + 7x + 10 \)
- Bir paketteki elma sayısı: \( x+2 \)
- Paket sayısını bulmak için \( (x^2 + 7x + 10) \) ifadesini \( (x+2) \) ile çarpanlarına ayırmalıyız.
- Çarpımları 10, toplamları 7 olan iki sayı bulalım: 5 ve 2.
- Yani, \( x^2 + 7x + 10 = (x+2)(x+5) \).
- Toplam elma sayısı \( (x+2)(x+5) \) olduğuna göre ve her pakette \( (x+2) \) elma olduğuna göre, paket sayısı \( (x+5) \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/10-sinif-matematik-polinomlarda-carpanlara-ayirma/sorular