💡 10. Sınıf Matematik: Polinom Çözümlü Örnekler

Harika bir başlangıç! Bu polinomu adım adım inceleyelim: 💡

• Polinomun Derecesi: Polinomdaki en yüksek üs 4'tür. Dolayısıyla, \( P(x) \) polinomunun derecesi 4'tür. Bunu \( \text{der}(P(x)) = 4 \) şeklinde gösterebiliriz.
• \( x^2 \) Teriminin Katsayısı: \( x^2 \) teriminin önündeki sayı -2'dir. Yani, \( x^2 \) teriminin katsayısı -2'dir.
• Sabit Terim: Değişken (\( x \)) içermeyen terimdir. Bu polinomda sabit terim -7'dir.

Unutmayın, katsayılar reel sayı olabilir ve üsler negatif olmayan tam sayılar olmalıdır. ✅

Bu işlemi adım adım gerçekleştirelim: 👉

\( P(x) + Q(x) \) Toplamı:

• Benzer terimleri gruplayalım:
• \( x^3 \) terimleri: \( 5x^3 + 2x^3 = (5+2)x^3 = 7x^3 \)
• \( x^2 \) terimleri: \( -2x^2 + 4x^2 = (-2+4)x^2 = 2x^2 \)
• \( x \) terimleri: \( 7x + (-3x) = (7-3)x = 4x \)
• Sabit terimler: \( 1 + 5 = 6 \)
• Sonuç olarak: \( P(x) + Q(x) = 7x^3 + 2x^2 + 4x + 6 \)

\( P(x) - Q(x) \) Farkı:

• Bu işlemde \( Q(x) \) polinomunun her teriminin işaretini değiştirmeyi unutmayın: \( -Q(x) = -2x^3 - 4x^2 + 3x - 5 \)
• Şimdi \( P(x) \) ile \( -Q(x) \) terimlerini toplayalım:
• \( x^3 \) terimleri: \( 5x^3 + (-2x^3) = (5-2)x^3 = 3x^3 \)
• \( x^2 \) terimleri: \( -2x^2 + (-4x^2) = (-2-4)x^2 = -6x^2 \)
• \( x \) terimleri: \( 7x + 3x = (7+3)x = 10x \)
• Sabit terimler: \( 1 + (-5) = 1 - 5 = -4 \)
• Sonuç olarak: \( P(x) - Q(x) = 3x^3 - 6x^2 + 10x - 4 \)

İşlem yaparken işaretlere dikkat etmek çok önemlidir! 👍

Çarpma işlemini adım adım yapalım: ✖️

• \( P(x) \) polinomunun her bir terimini \( Q(x) \) polinomunun her bir terimiyle çarpacağız:
• \( x \cdot (x^2 - 3x + 1) = x \cdot x^2 + x \cdot (-3x) + x \cdot 1 = x^3 - 3x^2 + x \)
• \( 2 \cdot (x^2 - 3x + 1) = 2 \cdot x^2 + 2 \cdot (-3x) + 2 \cdot 1 = 2x^2 - 6x + 2 \)
• Şimdi elde ettiğimiz bu iki sonucu toplayalım:
• \( (x^3 - 3x^2 + x) + (2x^2 - 6x + 2) \)
• Benzer terimleri bir araya getirelim:
• \( x^3 \) terimi: \( x^3 \)
• \( x^2 \) terimleri: \( -3x^2 + 2x^2 = -x^2 \)
• \( x \) terimleri: \( x - 6x = -5x \)
• Sabit terim: \( 2 \)
• Sonuç olarak: \( P(x) \cdot Q(x) = x^3 - x^2 - 5x + 2 \)

Her terimi doğru çarpmak ve benzer terimleri doğru toplamak bu işlemin anahtarıdır. ✨

Bu değerleri adım adım hesaplayalım: 🔢

\( P(2) \) Değerini Hesaplama:

• \( P(x) \) polinomunda \( x \) gördüğümüz her yere 2 yazalım:
• \( P(2) = 2(2)^3 - (2)^2 + 4(2) - 5 \)
• \( P(2) = 2(8) - 4 + 8 - 5 \)
• \( P(2) = 16 - 4 + 8 - 5 \)
• \( P(2) = 12 + 8 - 5 \)
• \( P(2) = 20 - 5 \)
• \( P(2) = 15 \)

\( P(-1) \) Değerini Hesaplama:

• \( P(x) \) polinomunda \( x \) gördüğümüz her yere -1 yazalım. Negatif sayıların üssünü alırken parantez kullanmaya dikkat edelim:
• \( P(-1) = 2(-1)^3 - (-1)^2 + 4(-1) - 5 \)
• \( P(-1) = 2(-1) - (1) + (-4) - 5 \)
• \( P(-1) = -2 - 1 - 4 - 5 \)
• \( P(-1) = -3 - 4 - 5 \)
• \( P(-1) = -7 - 5 \)
• \( P(-1) = -12 \)

Negatif sayılarla işlem yaparken işaretlere ekstra özen göstermek gerekir. 👍

Bu sorunun cevabını bulmak için sabit polinomun tanımını hatırlayalım: 🧐

• Sabit Polinom: Derecesi 0 olan, yani sadece bir sabit sayıdan oluşan polinomlardır.
• Şimdi seçenekleri inceleyelim:
• A) \( P(x) = 5x + 3 \): Bu polinomun derecesi 1'dir, çünkü en yüksek üs 1'dir. Bu bir sabit polinom değildir.
• B) \( Q(x) = 10 \): Bu polinomda \( x \) değişkeni yoktur ve sadece sabit bir sayı (10) vardır. Dolayısıyla, bu bir sabit polinomdur. Derecesi 0'dır.
• C) \( R(x) = x^2 - 1 \): Bu polinomun derecesi 2'dir. Sabit polinom değildir.
• D) \( S(x) = 0 \): Bu sıfır polinomudur. Sabit polinom tanımına tam olarak uymaz çünkü derecesi belirsizdir.
• Sonuç olarak, doğru cevap B seçeneğidir.

Sabit polinomlar, değişken içermeyen ve sadece bir sayıdan oluşan polinomlardır. ✅

Bu günlük hayat problemini bir polinom fonksiyonu ile modelleyelim: 🛍️ Öncelikle, müşterinin ödeyeceği tutarı belirlemek için iki farklı durum söz konusudur:

Durum 1: Toplam Alışveriş Tutarı 500 TL veya Daha Az İse

• Eğer \( T \le 500 \) ise, sadece %20 indirim uygulanır.
• %20 indirim demek, fiyatın \( 100% - 20% = 80% \) 'i kadar ödeneceği anlamına gelir.
• Bu durumda ödenecek tutar: \( 0.80 \cdot T \)
• Yani, \( F(T) = 0.80T \) olur.

Durum 2: Toplam Alışveriş Tutarı 500 TL'den Fazla İse

• Eğer \( T > 500 \) ise, önce %20 indirim uygulanır, ardından ek 50 TL indirim yapılır.
• Önce %20 indirimli fiyat: \( 0.80T \)
• Bu indirimli fiyat üzerinden ek 50 TL daha indirim yapılır.
• Yani, ödenecek tutar: \( (0.80T) - 50 \)
• Bu durumda, \( F(T) = 0.80T - 50 \) olur.

Fonksiyonun Tamamı:

Bu iki durumu birleştirerek \( F(T) \) fonksiyonunu parçalı bir fonksiyon olarak yazabiliriz: \[ F(T) = \begin{cases} 0.80T & \text{eğer } T \le 500 \\ 0.80T - 50 & \text{eğer } T > 500 \end{cases} \] Bu fonksiyon, müşterinin ödeyeceği tutarı sepetin etiket fiyatına göre hesaplar. Bu tür parçalı fonksiyonlar, gerçek hayattaki indirim ve kampanya kurallarını modellemek için oldukça kullanışlıdır. 💯

Polinomun köklerini bulmak için, polinomu sıfıra eşitlememiz gerekir: 🎯

• Polinomumuz: \( P(x) = x^2 - 4 \)
• Polinomu sıfıra eşitleyelim: \( x^2 - 4 = 0 \)
• Bu denklemde \( x^2 \) terimini yalnız bırakalım: \( x^2 = 4 \)
• Şimdi her iki tarafın karekökünü alalım. Unutmayalım ki, bir sayının karesi pozitifse, o sayının hem pozitif hem de negatif iki kökü olabilir:
• \( x = \sqrt{4} \) veya \( x = -\sqrt{4} \)
• \( x = 2 \) veya \( x = -2 \)
• Dolayısıyla, \( P(x) = x^2 - 4 \) polinomunun kökleri 2 ve -2'dir.

Bu kökleri kontrol edebiliriz:

• \( P(2) = (2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \)
• \( P(-2) = (-2)^2 - 4 = 4 - 4 = 0 \)

Gördüğünüz gibi, bu değerler polinomu sıfır yapıyor. ✅

Dikdörtgenin alanını hesaplamak için uzun kenar ile kısa kenarı çarpmamız gerekir. Bu problemi adım adım çözelim: 🌳

• Verilenler:
• Uzun kenar: \( (x+5) \) metre
• Kısa kenar: \( (x+2) \) metre
• Dikdörtgenin Alanı = Uzun Kenar × Kısa Kenar
• Alan = \( (x+5) \cdot (x+2) \)
• Şimdi bu iki polinomu çarpalım (dağılma özelliğini kullanarak):
• \( x \cdot (x+2) = x \cdot x + x \cdot 2 = x^2 + 2x \)
• \( 5 \cdot (x+2) = 5 \cdot x + 5 \cdot 2 = 5x + 10 \)
• Elde ettiğimiz bu iki ifadeyi toplayalım:
• \( (x^2 + 2x) + (5x + 10) \)
• Benzer terimleri bir araya getirelim:
• \( x^2 \) terimi: \( x^2 \)
• \( x \) terimleri: \( 2x + 5x = 7x \)
• Sabit terim: \( 10 \)
• Sonuç olarak, bahçenin alanını veren polinom: \( A(x) = x^2 + 7x + 10 \) metrekaredir.

Bu polinom, \( x \) değerine bağlı olarak bahçenin alanını hesaplamamızı sağlar. Örneğin, eğer \( x=3 \) ise, alan \( (3)^2 + 7(3) + 10 = 9 + 21 + 10 = 40 \) metrekare olur. 🌱