💡 10. Sınıf Matematik: Pisagor ve öklid teoremi Çözümlü Örnekler

Dikdörtgenin köşegeni, dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Bu dik üçgenin dik kenarları dikdörtgenin kenarlarıdır.

• 1. Adım: Dik üçgende Pisagor teoremi formülünü yazalım:
  \[ d^2 = a^2 + b^2 \]
• 2. Adım: Verilen kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım:
  \[ d^2 = 6^2 + 8^2 \]
• 3. Adım: Kareleri hesaplayıp toplayalım:
  \[ d^2 = 36 + 64 \]
  \[ d^2 = 100 \]
• 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alarak köşegen uzunluğunu bulalım:
  \[ d = \sqrt{100} = 10 \] cm

✅ Dikdörtgenin köşegen uzunluğu 10 cm olarak bulunur. (Bu üçgen ünlü \( 3-4-5 \) üçgeninin \( 2 \) katı olan \( 6-8-10 \) özel üçgenidir.)

Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların uzunluklarının çarpımına eşittir.

• 1. Adım: Öklid yükseklik bağıntısını yazalım:
  \[ |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \]
• 2. Adım: Verilen değerleri formülde yerine yerleştirelim:
  \[ x^2 = 4 \cdot 9 \]
• 3. Adım: Çarpma işlemini yapalım:
  \[ x^2 = 36 \]
• 4. Adım: Her iki tarafın karekökünü alalım:
  \[ x = \sqrt{36} = 6 \] cm

✅ Yükseklik uzunluğu \( |AH| = 6 \) cm olarak elde edilir.

Öklid'in kenar bağıntısına göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir.

• 1. Adım: Hipotenüsün toplam uzunluğunu bulalım:
  \[ |BC| = |BH| + |HC| = 2 + 6 = 8 \] cm
• 2. Adım: Öklid yan kenar formülünü uygulayalım:
  \[ |AB|^2 = |BH| \cdot |BC| \]
• 3. Adım: Değerleri yerine koyalım:
  \[ c^2 = 2 \cdot 8 \]
  \[ c^2 = 16 \]
• 4. Adım: Karekök alarak sonucu bulalım:
  \[ c = \sqrt{16} = 4 \] cm

✅ \( |AB| \) kenarının uzunluğu 4 cm olarak hesaplanır.

Soruda ortak hipotenüse sahip iki adet dik üçgen bulunmaktadır. Adım adım Pisagor teoremini uygulayalım:

• 1. Adım: ABC dik üçgeninde Pisagor teoremini kullanarak ortak kenar olan [AC] köşegenini bulalım:
  \[ |AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 \]
  \[ |AC|^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
  \[ |AC| = 5 \] cm (Ünlü \( 3-4-5 \) üçgeni)
• 2. Adım: Şimdi ACD dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayarak \( |AD| = x \) uzunluğunu bulalım:
  \[ |AD|^2 = |AC|^2 + |CD|^2 \]
  \[ x^2 = 5^2 + 12^2 \]
  \[ x^2 = 25 + 144 = 169 \]
• 3. Adım: Karekök alma işlemini gerçekleştirelim:
  \[ x = \sqrt{169} = 13 \] cm

✅ Bilinmeyen kenar uzunluğu \( |AD| = 13 \) cm olarak bulunur. (Bu da \( 5-12-13 \) özel dik üçgenidir.)

Bu problemi, duvar ile zemin arasındaki dik açıyı (\( 90^\circ \)) baz alarak bir dik üçgen modeliyle çözebiliriz.

• 1. Adım: Merdiven hipotenüs (\( 10 \) m), alt ucun duvara uzaklığı yatay kenar (\( 6 \) m) ve duvar yüksekliği dikey kenar (\( h \)) olsun.
• 2. Adım: Pisagor teoremini kuralım:
  \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \]
• 3. Adım: Sayıların karelerini hesaplayalım:
  \[ h^2 + 36 = 100 \]
• 4. Adım: Bilinmeyeni yalnız bırakalım:
  \[ h^2 = 100 - 36 \]
  \[ h^2 = 64 \]
  \[ h = \sqrt{64} = 8 \] metre

✅ Merdivenin üst ucunun yerden yüksekliği 8 metre olarak hesaplanır.

Soruda atletin aldığı toplam yol ile en kısa kuş uçuşu mesafe arasındaki fark sorulmaktadır.

• 1. Adım: Atletin fiilen koştuğu toplam yolu hesaplayalım:
  Yol = \( 8 + 15 = 23 \) metre
• 2. Adım: Kuzey ve doğu yönleri birbirine dik olduğu için en kısa mesafe (\( d \)) Pisagor teoremi ile bulunur:
  \[ d^2 = 8^2 + 15^2 \]
  \[ d^2 = 64 + 225 = 289 \]
  \[ d = \sqrt{289} = 17 \] metre (Bu bir \( 8-15-17 \) özel üçgenidir)
• 3. Adım: Aradaki farkı bularak ne kadar az koşacağını hesaplayalım:
  Fark = Fiili Yol - En Kısa Yol
  Fark = \( 23 - 17 = 6 \) metre

✅ Atlet en kısa yoldan gitseydi 6 metre daha az koşmuş olurdu.

Öklid teoreminin yükseklik bağıntısını kullanarak cebirsel denklemi çözelim.

• 1. Adım: Öklid formülünü yazalım:
  \[ |AH|^2 = |BH| \cdot |HC| \]
• 2. Adım: Değerleri yerine yerleştirelim:
  \[ 6^2 = x \cdot (x + 5) \]
  \[ 36 = x^2 + 5x \]
• 3. Adım: İkinci dereceden denklemi düzenleyelim:
  \[ x^2 + 5x - 36 = 0 \]
• 4. Adım: Denklemi çarpanlarına ayıralım:
  \[ (x + 9)(x - 4) = 0 \]
• 5. Adım: Uzunluk negatif olamayacağı için pozitif kökü seçelim:
  \( x = 4 \) cm (Çünkü \( x = -9 \) olamaz)
• 6. Adım: Hipotenüsün toplam uzunluğunu bulalım:
  \[ |BC| = |BH| + |HC| = x + (x + 5) = 4 + 9 = 13 \] cm

✅ Hipotenüsün toplam uzunluğu 13 cm olarak bulunur.

Rampanın yüzeyi ile yer düzlemi dik üçgen oluşturduğundan ve tepe noktasından dikme indirildiğinden Öklid teoremi uygulanabilir.

• 1. Adım: Rampanın yüksekliğine \( h \) diyelim.
• 2. Adım: Öklid yükseklik bağıntısına göre yüksekliğin karesi, tabanda ayrılan parçaların çarpımına eşittir:
  \[ h^2 = 3 \cdot 12 \]
• 3. Adım: Çarpımı hesaplayalım:
  \[ h^2 = 36 \]
• 4. Adım: Karekök alarak yüksekliği bulalım:
  \[ h = \sqrt{36} = 6 \] metre

✅ Rampanın destek direğinin yüksekliği 6 metre olmalıdır.