💡 10. Sınıf Matematik: Permütasyon Çözümlü Örnekler

Bu tür problemler, sıralama ve dizilimle ilgili olduğu için permütasyon konusuna girer. Adım 1:* Elimizde sıralayacağımız 5 farklı nesne (bilye) var. Adım 2:* Bu 5 nesneyi bir sıraya dizmenin kaç farklı yolu olduğunu bulmak için permütasyon formülünü kullanırız. Birbirinden farklı n elemanın n'li permütasyonu \( P(n, n) = n! \) ile hesaplanır. Adım 3:* Burada n = 5'tir. Dolayısıyla, dizilim sayısı \( P(5, 5) = 5! \) olur. Adım 4:* 5! hesaplaması: \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \) Sonuç:* 5 farklı renkteki bilye, bir sırada 120 farklı şekilde dizilebilir. 💡

Bu soruda hem seçme hem de seçilenlerin kendi aralarındaki sıralaması önemlidir. Adım 1:* Seçilecek iki pozisyon var: Başkan ve Başkan Yardımcısı. Adım 2:* Aday sayısı 3'tür. Adım 3:* Bu 3 adaydan 2'sini seçip bu iki pozisyona yerleştirmenin kaç farklı yolu olduğunu bulmak için permütasyon formülünü kullanırız: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \). Burada n aday sayısı, k ise seçilecek pozisyon sayısıdır. Adım 4:* n = 3 ve k = 2'dir. Formülü uygularsak: \( P(3, 2) = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} \) Adım 5:* Hesaplama: \( \frac{3 \times 2 \times 1}{1} = 6 \) Sonuç:* 3 aday arasından bir başkan ve bir başkan yardımcısı 6 farklı şekilde seçilebilir. ✅

Bu soruda gruplama ve grupların kendi içindeki dizilimleri söz konusudur. Adım 1:* Önce kitap türlerini gruplayalım: (Matematik Kitapları), (Fizik Kitapları), (Kimya Kitapları). Bu 3 grubu kendi aralarında sıralayabiliriz. 3 farklı grubun sıralanması \( 3! \) farklı yolla olur. Adım 2:* Şimdi her grubun kendi içindeki dizilimini hesaplayalım: * 4 matematik kitabı kendi arasında \( 4! \) farklı şekilde dizilebilir. * 3 fizik kitabı kendi arasında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir. * 2 kimya kitabı kendi arasında \( 2! \) farklı şekilde dizilebilir. Adım 3:* Toplam farklı dizilim sayısını bulmak için bu olasılıkları çarparız: \( 3! \times 4! \times 3! \times 2! \) Adım 4:* Hesaplama: * \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \) * \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) * \( 2! = 2 \times 1 = 2 \) * Toplam: \( 6 \times 24 \times 6 \times 2 = 1728 \) Sonuç:* Kitaplar, aynı türden olanlar yan yana olmak koşuluyla rafta 1728 farklı şekilde dizilebilir. 🧐

Bu soruda tekrar eden harfler olup olmadığına dikkat etmeliyiz. Adım 1:* "SAAT" kelimesi 4 harften oluşmaktadır. Adım 2:* Harflere bakalım: S, A, A, T. Burada 'A' harfi 2 kez tekrar etmektedir. Adım 3:* Eğer tüm harfler farklı olsaydı, 4 harfli bir kelime \( 4! \) şekilde dizilebilirdi. Ancak tekrar eden harfler olduğu için bu sayıyı tekrar eden harflerin faktöriyel değerine bölmeliyiz. Adım 4:* Formül: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \), burada n toplam harf sayısı, \( n_i \) ise tekrar eden harflerin sayısıdır. Adım 5:* "SAAT" kelimesi için: \( n=4 \), 'A' harfi 2 kez tekrar ediyor (\( n_1=2 \)). Adım 6:* Hesaplama: \( \frac{4!}{2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = \frac{24}{2} = 12 \) Sonuç:* "SAAT" kelimesinin harfleri kullanılarak 12 farklı kelime yazılabilir. ✨

Bu soruda belirli kişilerin yan yana ve belirli bir sırada oturma şartı vardır. Adım 1:* Ali, Veli ve Can'ın oturma düzeni sabittir: Can - Veli - Ali (CVA). Bu üçlü bir blok olarak düşünülmelidir. Adım 2:* Bu CVA bloğu, diğer 3 arkadaşla birlikte toplamda 4 birim (1 blok + 3 kişi) olarak düşünülebilir. Adım 3:* Bu 4 birimi yan yana olan 6 koltuğa yerleştirmenin kaç farklı yolu olduğunu bulalım. Bu 4 birim kendi aralarında \( 4! \) şekilde sıralanabilir. Adım 4:* CVA bloğunun kendi içindeki sıralaması sabittir (Can-Veli-Ali). Eğer bu sıralama değişebilseydi, \( 3! \) ile çarpmamız gerekirdi, ancak soruda belirli bir sıra verilmiş. Adım 5:* Hesaplama: \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Sonuç:* Ali, Veli ve Can'ın belirtilen şekilde oturma şartıyla, 6 arkadaş 24 farklı şekilde oturabilir. 🎟️

Bu, gruplama ve grupların kendi içindeki dizilimlerini içeren bir permütasyon problemidir. Adım 1:* Kitap türlerini gruplayalım: (Romanlar Grubu), (Dergiler Grubu), (Şiir Kitapları Grubu). Bu 3 grubu kendi aralarında sıralayabiliriz. 3 farklı grubun sıralanması \( 3! \) farklı yolla olur. Adım 2:* Her grubun kendi içindeki dizilimini hesaplayalım: * 5 farklı roman kendi arasında \( 5! \) farklı şekilde dizilebilir. * 4 farklı dergi kendi arasında \( 4! \) farklı şekilde dizilebilir. * 3 farklı şiir kitabı kendi arasında \( 3! \) farklı şekilde dizilebilir. Adım 3:* Toplam farklı dizilim sayısını bulmak için bu olasılıkları çarparız: \( 3! \times 5! \times 4! \times 3! \) Adım 4:* Hesaplama: * \( 3! = 6 \) * \( 5! = 120 \) * \( 4! = 24 \) * Toplam: \( 6 \times 120 \times 24 \times 6 = 103,680 \) Sonuç:* Kitaplar, türlerine göre gruplanıp bir arada olmak koşuluyla rafta 103,680 farklı şekilde dizilebilir. 📚

Bu, temel sayma prensibiyle çözülen bir permütasyon uygulamasıdır. Adım 1:* Başlangıç seçimi için 3 farklı seçenek vardır. Adım 2:* Ana yemek seçimi için 4 farklı seçenek vardır. Adım 3:* Tatlı seçimi için 2 farklı seçenek vardır. Adım 4:* Toplam farklı öğün sayısını bulmak için bu seçenek sayılarını çarparız (Temel Sayma Prensibi). Adım 5:* Hesaplama: \( 3 \times 4 \times 2 = 24 \) Sonuç:* Bir kişi, bu menüden 24 farklı şekilde bir öğün oluşturabilir. 😋

Bu problem, belirli bir kümeden seçilen farklı elemanların sıralanmasıdır. Adım 1:* Şifre 3 rakamdan oluşacak ve rakamlar farklı olacak. Adım 2:* Kullanabileceğimiz rakamlar kümesi {0, 1, 2, 3, 4, 5}'tir. Bu kümede 6 farklı rakam bulunmaktadır. Adım 3:* Bu 6 rakamdan 3'ünü seçip sıralayarak şifre oluşturacağız. Bu, 6 elemanın 3'lü permütasyonudur. Adım 4:* Permütasyon formülünü kullanırız: \( P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} \). Burada n=6 (toplam rakam sayısı) ve k=3 (şifre uzunluğu). Adım 5:* Hesaplama: \( P(6, 3) = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 6 \times 5 \times 4 = 120 \) Sonuç:* Bu kümedeki rakamlarla 120 farklı şifre oluşturulabilir. 🔑